高等數(shù)學(xué)第六版(上冊(cè))第一章課后習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版（上冊(cè)）第一章課后習(xí)題答案及解析習(xí)題1-11.設(shè)A=(-,-5)(5,+),B=[-10,3),寫出AB,AB,A\B及A\(A\B)的表達(dá)式.解AB=(-,3)(5,+),AB=[-10,-5),A\B=(-,-10)(5,+),A\(A\B)=[-10,-5).2.設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合,證明對(duì)偶律:(AB)C=ACBC.證明因?yàn)閤(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC,所以(AB)C=ACBC.3.設(shè)映射f:XY,AX,BX.證明(1)f(AB)=f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).證明因?yàn)閥f(AB)xAB,使f(x)=y(因?yàn)閤A或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)=f(A)f(B).(2)因?yàn)閥f(AB)xAB,使f(x)=y(因?yàn)閤A且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).4.設(shè)映射f:XY,若存在一個(gè)映射g:YX,使,,其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射,即對(duì)于每一個(gè)xX,有IXx=x;對(duì)于每一個(gè)yY,有IYy=y.證明:f是雙射,且g是f的逆映射:g=f-1.證明因?yàn)閷?duì)于任意的yY,有x=g(y)X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f為X到Y(jié)的滿射.又因?yàn)閷?duì)于任意的x1x2,必有f(x1)f(x2),否則若f(x1)=f(x2)g[f(x1)]=g[f(x2)]x1=x2.因此f既是單射,又是滿射,即f是雙射.對(duì)于映射g:YX,因?yàn)閷?duì)每個(gè)yY,有g(shù)(y)=xX,且滿足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定義,g是f的逆映射.5.設(shè)映射f:XY,AX.證明:(1)f-1(f(A))A;(2)當(dāng)f是單射時(shí),有f-1(f(A))=A.證明(1)因?yàn)閤Af(x)=yf(A)f-1(y)=xf-1(f(A)),所以f-1(f(A))A.(2)由(1)知f-1(f(A))A.另一方面,對(duì)于任意的xf-1(f(A))存在yf(A),使f-1(y)=xf(x)=y.因?yàn)閥f(A)且f是單射,所以xA.這就證明了f-1(f(A))A.因此f-1(f(A))=A.6.求下列函數(shù)的自然定義域:(1);解由3x+20得.函數(shù)的定義域?yàn)?(2);解由1-x20得x1.函數(shù)的定義域?yàn)?-,-1)(-1,1)(1,+).(3);解由x0且1-x20得函數(shù)的定義域D=[-1,0)(0,1].(4);解由4-x20得|x|2.函數(shù)的定義域?yàn)?-2,2).(5);解由x0得函數(shù)的定義D=[0,+￥).(6)y=tan(x+1);解由(k=0,1,2,)得函數(shù)的定義域?yàn)?k=0,1,2,).(7)y=arcsin(x-3);解由|x-3|1得函數(shù)的定義域D=[2,4].(8);解由3-x0且x0得函數(shù)的定義域D=(-￥,0)è(0,3).(9)y=ln(x+1);解由x+10得函數(shù)的定義域D=(-1,+￥).(10).解由x0得函數(shù)的定義域D=(-￥,0)è(0,+￥).7.下列各題中,函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=;(3),.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解(1)不同.因?yàn)槎x域不同.(2)不同.因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同,x0時(shí),g(x)=-x.(3)相同.因?yàn)槎x域、對(duì)應(yīng)法則均相相同.(4)不同.因?yàn)槎x域不同.8.設(shè),求,,,j(-2),并作出函數(shù)y=j(x)的圖形.解,,,.9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性:(1),(-,1);(2)y=x+lnx,(0,+).證明(1)對(duì)于任意的x1,x2(-,1),有1-x10,1-x20.因?yàn)楫?dāng)x1x2時(shí),,所以函數(shù)在區(qū)間(-,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.(2)對(duì)于任意的x1,x2(0,+),當(dāng)x1x2時(shí),有,所以函數(shù)y=x+lnx在區(qū)間(0,+)內(nèi)是單調(diào)增加的.10.設(shè)f(x)為定義在(-l,l)內(nèi)的奇函數(shù),若f(x)在(0,l)內(nèi)單調(diào)增加,證明f(x)在(-l,0)內(nèi)也單調(diào)增加.證明對(duì)于"x1,x2?(-l,0)且x1<x2,有-x1,-x2?(0,l)且-x1-x2.因?yàn)閒(x)在(0,l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù),所以f(-x2)f(-x1),-f(x2)-f(x1),f(x2)f(x1),這就證明了對(duì)于"x1,x2?(-l,0),有f(x1)f(x2),所以f(x)在(-l,0)內(nèi)也單調(diào)增加.11.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對(duì)稱區(qū)間(-l,l)上的,證明:(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù),兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù);(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù),兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù),偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).證明(1)設(shè)F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù),則F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù),即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù),則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數(shù),即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).(2)設(shè)F(x)=f(x)×g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù),則F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù),即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù),則F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù),即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).如果f(x)是偶函數(shù),而g(x)是奇函數(shù),則F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數(shù),即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù),哪些是奇函數(shù),哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1)y=x2(1-x2);(2)y=3x2-x3;(3);(4)y=x(x-1)(x+1);(5)y=sinx-cosx+1;(6).解(1)因?yàn)閒(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).(2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(3)因?yàn)?所以f(x)是偶函數(shù).(4)因?yàn)閒(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(6)因?yàn)?所以f(x)是偶函數(shù).13.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù),指出其周期:(1)y=cos(x-2);解是周期函數(shù),周期為l=2p.(2)y=cos4x;解是周期函數(shù),周期為.(3)y=1+sinpx;解是周期函數(shù),周期為l=2.(4)y=xcosx;解不是周期函數(shù).(5)y=sin2x.解是周期函數(shù),周期為l=p.14.求下列函數(shù)的反函數(shù):(1)eq\r(3,x+1)eq\r(3,x+1);解由得x=y3-1,所以的反函數(shù)為y=x3-1.(2)eq\f(1-x,1+x);解由得,所以的反函數(shù)為.(3)(ad-bc0);解由得,所以的反函數(shù)為.(4)y=2sin3x;解由y=2sin3x得,所以y=2sin3x的反函數(shù)為.(5)y=1+ln(x+2);解由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2,所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex-1-2.(6).解由得,所以的反函數(shù)為.15.設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義,試證:函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.證明先證必要性.設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界,則存在正數(shù)M,使|f(x)|M,即-Mf(x)M.這就證明了f(x)在X上有下界-M和上界M.再證充分性.設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1f(x)K2.取M=max{|K1|,|K2|},則-MK1f(x)K2M,即|f(x)|M.這就證明了f(x)在X上有界.16.在下列各題中,求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值:(1)y=u2,u=sinx,,;解y=sin2x,,.(2)y=sinu,u=2x,,;解y=sin2x,,.(3),u=1+x2,x1=1,x2=2;解,,.(4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;解,,.(5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1.解y=e2x,y1=e2×1=e2,y2=e2×(-1)=e-2.17.設(shè)f(x)的定義域D=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域:(1)f(x2);解由0x21得|x|1,所以函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)閇-1,1].(2)f(sinx);解由0sinx1得2npx(2n+1)p(n=0,1,2),所以函數(shù)f(sinx)的定義域?yàn)閇2np,(2n+1)p](n=0,1,2).(3)f(x+a)(a>0);解由0x+a1得-ax1-a,所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)閇-a,1-a].(4)f(x+a)+f(x-a)(a0).解由0x+a1且0x-a1得:當(dāng)時(shí),ax1-a;當(dāng)時(shí),無解.因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閇a,1-a],當(dāng)時(shí)函數(shù)無意義.18.設(shè),g(x)=exeq\s\up(x),求f[g(x)]和g[f(x)],并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.解,即.,即.19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形,斜角j=40(圖1-37).當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí),求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式,并指明其定義域.圖1-37解,又從得,所以.自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h0,確定,定義域?yàn)?20.收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元,成本為60元.廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購,決定凡是訂購量超過100臺(tái)以上的,每多訂購1臺(tái),售價(jià)就降低1分,但最低價(jià)為每臺(tái)75元.(1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購量x的函數(shù);(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù);(3)某一商行訂購了1000臺(tái),廠方可獲利潤多少？解(1)當(dāng)0x100時(shí),p=90.令0.01(x0-100)=90-75,得x0=1600.因此當(dāng)x1600時(shí),p=75.當(dāng)100x1600時(shí),p=90-(x-100)0.01=91-0.01x.綜合上述結(jié)果得到.(2).(3)P=311000-0.0110002=21000(元).習(xí)題121.觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢,寫出它們的極限:(1);解當(dāng)n?￥時(shí),?0,.(2);解當(dāng)n?￥時(shí),?0,.(3);解當(dāng)n?￥時(shí),?2,.(4);解當(dāng)n?￥時(shí),?0,.(5)xnn(1)n.解當(dāng)n?￥時(shí),xnn(1)n沒有極限.2.設(shè)數(shù)列{xn}的一般項(xiàng).問=?求出N,使當(dāng)n>N時(shí),xn與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e,當(dāng)0.001時(shí),求出數(shù)N.解."e>0,要使|xn-0|<e,只要,也就是.取,則"n>N,有|xn-0|<e.當(dāng)e=0.001時(shí),=1000.3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1);分析要使,只須,即.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)n>N時(shí),有,所以.(2);分析要使,只須,即.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)n>N時(shí),有,所以.(3)分析要使,只須.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)"n>N時(shí),有,所以.(4).分析要使|0.99×××9-1|,只須<e,即.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)"n>N時(shí),有|0.99×××9-1|<e,所以.4.,證明.并舉例說明:如果數(shù)列{|xn|}有極限,但數(shù)列{xn}未必有極限.證明因?yàn)?所以e>0,NN,當(dāng)n>N時(shí),有,從而||un||a|||una|.這就證明了.數(shù)列{|xn|}有極限,但數(shù)列{xn}未必有極限.例如,但不存在.5.設(shè)數(shù)列{xn}有界,又,證明:.證明因?yàn)閿?shù)列{xn}有界,所以存在M,使nZ,有|xn|M.又,所以e>0,NN,當(dāng)n>N時(shí),有.從而當(dāng)n>N時(shí),有,所以.6.對(duì)于數(shù)列{xn}若x2k1?a(k?￥),x2k?a(k?￥),證明:xn?a(n?￥).證明因?yàn)閤2k1?a(k?￥),x2k?a(k?￥),所以e>0,K1,當(dāng)2k1>2K11時(shí),有|x2k1a|<e;K2,當(dāng)2k>2K2時(shí),有|x2ka|<e取Nmax{2K11,2K2},只要n>N,就有|xna|<e.因此xn?a(n?￥).習(xí)題1-31.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1);分析因?yàn)閨(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|所以要使|(3x-1)-8|<e,只須.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)0<|x-3|<d時(shí),有|(3x-1)-8|<e,所以.(2);分析因?yàn)閨(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|所以要使|(5x+2)-12|<e,只須.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)0<|x-2|<d時(shí),有|(5x+2)-12|<e,所以.(3);分析因?yàn)樗砸?只須.證明因?yàn)?e0,$,當(dāng)0<|x-(-2)|<d時(shí),有,所以.(4).分析因?yàn)樗砸?只須.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)時(shí),有,所以.2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1);分析因?yàn)樗砸?只須,即.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)|x|>X時(shí),有,所以.(2).分析因?yàn)樗砸?只須,即.證明因?yàn)?e>0,$,當(dāng)x>X時(shí),有,所以.3.當(dāng)x?2時(shí),y=x2?4.問d等于多少,使當(dāng)|x-2|<d時(shí),|y-4|<0.001？解由于當(dāng)x?2時(shí),|x-2|?0,故可設(shè)|x-2|<1,即1<x<3.要使|x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,只要取d=0.0002,則當(dāng)0<|x-2|<d時(shí),就有|x2-4|<0.001.4.當(dāng)x?￥時(shí),,問X等于多少,使當(dāng)|x|X時(shí),|y-1|0.01?解要使,只要,故.5.證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x?0時(shí)極限為零.證明因?yàn)閨f(x)0|||x|0||x||x0|所以要使|f(x)0|只須|x|因?yàn)閷?duì)"e>0,$使當(dāng)0|x0|時(shí)有|f(x)0|||x|0|所以6.求當(dāng)x?0時(shí)的左﹑右極限,并說明它們?cè)趚?0時(shí)的極限是否存在.證明因?yàn)?,,所以極限存在.因?yàn)?,,所以極限不存在.7.證明:若x?+￥及x?-￥時(shí),函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A,則.證明因?yàn)?,所以e>0,X10,使當(dāng)x-X1時(shí),有|f(x)-A|e;X20,使當(dāng)xX2時(shí),有|f(x)-A|e.取X=max{X1,X2},則當(dāng)|x|X時(shí),有|f(x)-A|e,即.8.根據(jù)極限的定義證明:函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0),則e>0,d0,使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí),有|f(x)-A|<e.因此當(dāng)x0-d<x<x0和x0<x<x0+d時(shí)都有|f(x)-A|<e.這說明f(x)當(dāng)xx0時(shí)左右極限都存在并且都等于A.再證明充分性.設(shè)f(x0-0)=f(x0+0)=A,則e>0,d1>0,使當(dāng)x0-d1<x<x0時(shí),有|f(x)-A<e;d2>0,使當(dāng)x0<x<x0+d2時(shí),有|f(x)-A|<e.取d=min{d1,d2},則當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí),有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2,從而有|f(x)-A|<e,即f(x)?A(x?x0).9.試給出x時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理,并加以證明.解x時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理如果f(x)當(dāng)x時(shí)的極限存在則存在X0及M0使當(dāng)|x|X時(shí)|f(x)|M證明設(shè)f(x)A(x)則對(duì)于1X0當(dāng)|x|X時(shí)有|f(x)A|1所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|這就是說存在X0及M0使當(dāng)|x|X時(shí)|f(x)|M其中M1|A|習(xí)題1-41.兩個(gè)無窮小的商是否一定是無窮?。颗e例說明之.解不一定.例如,當(dāng)x0時(shí),a(x)=2x,b(x)=3x都是無窮小,但,不是無窮小.2.根據(jù)定義證明:(1)當(dāng)x3時(shí)為無窮小;(2)當(dāng)x0時(shí)為無窮小.證明(1)當(dāng)x3時(shí).因?yàn)閑0,d=e,當(dāng)0|x-3|d時(shí),有,所以當(dāng)x3時(shí)為無窮小.(2)當(dāng)x0時(shí).因?yàn)閑0,d=e,當(dāng)0|x-0|d時(shí),有,所以當(dāng)x0時(shí)為無窮小.3.根據(jù)定義證明:函數(shù)為當(dāng)x0時(shí)的無窮大.問x應(yīng)滿足什么條件,能使|y|>104？證明分析,要使|y|M,只須,即.證明因?yàn)镸0,,使當(dāng)0|x-0|d時(shí),有,所以當(dāng)x0時(shí),函數(shù)是無窮大.取M=104,則.當(dāng)時(shí),|y|>104.4.求下列極限并說明理由:(1);(2).解(1)因?yàn)?而當(dāng)x時(shí)是無窮小,所以.(2)因?yàn)?x1),而當(dāng)x0時(shí)x為無窮小,所以.5.根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義,填寫下表:f(x)Af(x)f(x)f(x)xx000使當(dāng)0|xx0|時(shí)有恒|f(x)A|xx0xx0x0X0使當(dāng)|x|X時(shí)有恒|f(x)|Mxx解f(x)Af(x)f(x)f(x)xx000使當(dāng)0|xx0|時(shí)有恒|f(x)A|M00使當(dāng)0|xx0|時(shí)有恒|f(x)|MM00使當(dāng)0|xx0|時(shí)有恒f(x)MM00使當(dāng)0|xx0|時(shí)有恒f(x)Mxx000使當(dāng)0xx0時(shí)有恒|f(x)A|M00使當(dāng)0xx0時(shí)有恒|f(x)|MM00使當(dāng)0xx0時(shí)有恒f(x)MM00使當(dāng)0xx0時(shí)有恒f(x)Mxx000使當(dāng)0x0x時(shí)有恒|f(x)A|M00使當(dāng)0x0x時(shí)有恒|f(x)|MM00使當(dāng)0x0x時(shí)有恒f(x)MM00使當(dāng)0x0x時(shí)有恒f(x)Mx0X0使當(dāng)|x|X時(shí)有恒|f(x)A|0X0使當(dāng)|x|X時(shí)有恒|f(x)|M0X0使當(dāng)|x|X時(shí)有恒f(x)M0X0使當(dāng)|x|X時(shí)有恒f(x)Mx0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒|f(x)A|0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒|f(x)|M0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒f(x)M0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒f(x)Mx0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒|f(x)A|0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒|f(x)|M0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒f(x)M0X0使當(dāng)xX時(shí)有恒f(x)M6.函數(shù)y=xcosx在(-,+)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)x+時(shí)的無窮大？為什么？解函數(shù)y=xcosx在(-,+)內(nèi)無界.這是因?yàn)镸0,在(-,+)內(nèi)總能找到這樣的x,使得|y(x)|M.例如y(2kp)=2kpcos2kp=2kp(k=0,1,2,),當(dāng)k充分大時(shí),就有|y(2kp)|M.當(dāng)x+時(shí),函數(shù)y=xcosx不是無窮大.這是因?yàn)镸0,找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn),使對(duì)一切大于N的x,都有|y(x)|M.例如(k=0,1,2,),對(duì)任何大的N,當(dāng)k充分大時(shí),總有,但|y(x)|=0M.7.證明:函數(shù)在區(qū)間(0,1]上無界,但這函數(shù)不是當(dāng)x0+時(shí)的無窮大.證明函數(shù)在區(qū)間(0,1]上無界.這是因?yàn)镸0,在(0,1]中總可以找到點(diǎn)xk,使y(xk)M.例如當(dāng)(k=0,1,2,)時(shí),有,當(dāng)k充分大時(shí),y(xk)M.當(dāng)x0+時(shí),函數(shù)不是無窮大.這是因?yàn)镸0,對(duì)所有的d0,總可以找到這樣的點(diǎn)xk,使0xkd,但y(xk)M.例如可取(k=0,1,2,),當(dāng)k充分大時(shí),xkd,但y(xk)=2kpsin2kp=0M.習(xí)題1-51.計(jì)算下列極限:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解(分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零)或.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解(分子與分母的次數(shù)相同,極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比).或.(14);解.2.計(jì)算下列極限:(1);解因?yàn)?所以.(2);解(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).(3).解(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).3.計(jì)算下列極限:(1);解(當(dāng)x0時(shí),x2是無窮小,而是有界變量).(2).解(當(dāng)x時(shí),是無窮小,而arctanx是有界變量).4.證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題1-51.計(jì)算下列極限:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解(分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零)或.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解(分子與分母的次數(shù)相同,極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比).或.(14);解.2.計(jì)算下列極限:(1);解因?yàn)?所以.(2);解(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).(3).解(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).3.計(jì)算下列極限:(1);解(當(dāng)x0時(shí),x2是無窮小,而是有界變量).(2).解(當(dāng)x時(shí),是無窮小,而arctanx是有界變量).4.證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題1-71.當(dāng)x0時(shí),2x-x2與x2-x3相比,哪一個(gè)是高階無窮小？解因?yàn)?所以當(dāng)x0時(shí),x2-x3是高階無窮小,即x2-x3=o(2x-x2).2.當(dāng)x1時(shí),無窮小1-x和(1)1-x3,(2)是否同階？是否等價(jià)？解(1)因?yàn)?所以當(dāng)x1時(shí),1-x和1-x3是同階的無窮小,但不是等價(jià)無窮小.(2)因?yàn)?所以當(dāng)x1時(shí),1-x和是同階的無窮小,而且是等價(jià)無窮小.3.證明:當(dāng)x0時(shí),有:(1)arctanx~x;(2).證明(1)因?yàn)?提示:令y=arctanx,則當(dāng)x0時(shí),y0),所以當(dāng)x0時(shí),arctanx~x.(2)因?yàn)?所以當(dāng)x0時(shí),.4.利用等價(jià)無窮小的性質(zhì),求下列極限:(1);(2)(n,m為正整數(shù));(3);(4).解(1).(2).(3).(4)因?yàn)?x0),(x0),(x0),所以.5.證明無窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì):(1)a~a(自反性);(2)若a~b,則b~a(對(duì)稱性);(3)若a~b,b~g,則a~g(傳遞性).證明(1),所以a~a;(2)若a~b,則,從而.因此b~a;(3)若a~b,b~g,.因此a~g.習(xí)題1-81.研究下列函數(shù)的連續(xù)性,并畫出函數(shù)的圖形:(1);解已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù),所以函數(shù)f(x)在[0,1)和(1,2]內(nèi)是連續(xù)的.在x=1處,因?yàn)閒(1)=1,并且,所以,從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的.綜上所述，函數(shù)f(x)在[0,2]上是連續(xù)函數(shù).(2).解只需考察函數(shù)在x=-1和x=1處的連續(xù)性.在x=-1處,因?yàn)閒(-1)=-1,并且,,所以函數(shù)在x=-1處間斷,但右連續(xù).在x=1處,因?yàn)閒(1)=1,并且=f(1),=f(1),所以函數(shù)在x=1處連續(xù).綜合上述討論,函數(shù)在(-,-1)和(-1,+)內(nèi)連續(xù),在x=-1處間斷,但右連續(xù).2.下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷,說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類,如果是可去間斷點(diǎn),則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù):(1),x=1,x=2;解.因?yàn)楹瘮?shù)在x=2和x=1處無定義,所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn).因?yàn)?所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn);因?yàn)?所以x=1是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn),并且是可去間斷點(diǎn).在x=1處,令y=-2,則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的.(2),x=k,(k=0,1,2,);解函數(shù)在點(diǎn)x=k(kZ)和(kZ)處無定義,因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn).因(k0),故x=k(k0)是第二類間斷點(diǎn);因?yàn)?(kZ),所以x=0和(kZ)是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn).令y|x=0=1,則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的;令時(shí),y=0,則函數(shù)在處成為連續(xù)的.(3)x=0;解因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處無定義,所以x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn).又因?yàn)椴淮嬖?所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).(4),x=1.解因?yàn)?所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn).3.討論函數(shù)的連續(xù)性,若有間斷點(diǎn),判別其類型.解在分段點(diǎn)x=-1處,因?yàn)?,所以x=-1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn).在分段點(diǎn)x=1處,因?yàn)?,所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn).4.證明:若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)0,則存在x0的某一鄰域U(x0),當(dāng)xU(x0)時(shí),f(x)0.證明不妨設(shè)f(x0)>0.因?yàn)閒(x)在x0連續(xù),所以,由極限的局部保號(hào)性定理,存在x0的某一去心鄰域,使當(dāng)x時(shí)f(x)>0,從而當(dāng)xU(x0)時(shí),f(x)>0.這就是說,則存在x0的某一鄰域U(x0),當(dāng)xU(x0)時(shí),f(x)0.5.試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子:(1)x0,1,2,,,n,,是f(x)的所有間斷點(diǎn),且它們都是無窮間斷點(diǎn);解函數(shù)在點(diǎn)x0,1,2,,,n,,處是間斷的且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).(2)f(x)在R上處處不連續(xù),但|f(x)|在R上處處連續(xù);解函數(shù)在R上處處不連續(xù),但|f(x)|1在R上處處連續(xù).(3)f(x)在R上處處有定義,但僅在一點(diǎn)連續(xù).解函數(shù)在R上處處有定義,它只在x0處連續(xù).習(xí)題1-91.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間,并求極限,及.解,函數(shù)在(-,+)內(nèi)除點(diǎn)x=2和x=-3外是連續(xù)的,所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-,-3)、(-3,2)、(2,+).在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x=0處,.在函數(shù)的間斷點(diǎn)x=2和x=-3處,,.2.設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0連續(xù),證明函數(shù)(x)max{f(x),g(x)},(x)min{f(x),g(x)}在點(diǎn)x0也連續(xù).證明已知,.可以驗(yàn)證,.因此,.因?yàn)?x0),所以(x)在點(diǎn)x0也連續(xù).同理可證明(x)在點(diǎn)x0也連續(xù).3.求下列極限:(1);(2);(3)(4);(5);(6);(7).解(1)因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù),f(x)在點(diǎn)x=0有定義,所以.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(sin2x)3是初等函數(shù),f(x)在點(diǎn)有定義,所以.(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù),f(x)在點(diǎn)有定義,所以.(4).(5).(6).(7).4.求下列極限:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1).(2).(3).(4).(5).因?yàn)?,所以.(6).5.設(shè)函數(shù)應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a,使得f(x)成為在(-,+)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？解要使函數(shù)f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù),只須f(x)在x=0處連續(xù),即只須.因?yàn)?,所以只須取a=1.習(xí)題1-101.證明方程x5-3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間.證明設(shè)f(x)=x5-3x-1,則f(x)是閉區(qū)間[1,2]上的連續(xù)函數(shù).因?yàn)閒(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零點(diǎn)定理,在(1,2)內(nèi)至少有一點(diǎn)(1<<2),使f()=0,即x=是方程x5-3x=1的介于1和2之間的根.因此方程x5-3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間.2.證明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一個(gè)正根,并且它不超過a+b.證明設(shè)f(x)=asinx+b-x,則f(x)是[0,a+b]上的連續(xù)函數(shù).f(0)=b,f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]0.若f(a+b)=0,則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過a+b的根;若f(a+b)<0,則f(0)f(a+b)<0,由零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)(0,a+b),使f()=0,這說明x=也是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過a+b的根.總之,方程x=asinx+b至少有一個(gè)正根,并且它不超過a+b.3.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的任意兩點(diǎn)x、y,恒有|f(x)f(y)|L|xy|,其中L為正常數(shù),且f(a)×f(b)0.證明:至少有一點(diǎn)(a,b),使得f()0.證明設(shè)x0為(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn).因?yàn)?所以,即.因此f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù).同理可證f(x)在點(diǎn)a處左連續(xù),在點(diǎn)b處右連續(xù),所以f(x)在[a,b]上連續(xù).因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù),且f(a)×f(b)0,由零點(diǎn)定理,至少有一點(diǎn)(a,b),使得f()0.4.若f(x)在[a,b]上連續(xù),a<x1<x2<<xn<b,則在[x1,xn]上至少有一點(diǎn),使.證明顯然f(x)在[x1,xn]上也連續(xù).設(shè)M和m分別是f(x)在[x1,xn]上的最大值和最小值.因?yàn)閤i[x1,xn](1in),所以有mf(xi)M,從而有,.由介值定理推論,在[x1,xn]上至少有一點(diǎn)使.5.證明:若f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù),且存在,則f(x)必在(-,+)內(nèi)有界.證明令,則對(duì)于給定的e0,存在X0,只要|x|X,就有|f(x)-A|e,即A-ef(x)A+e.又由于f(x)在閉區(qū)間[-X,X]上連續(xù),根據(jù)有界性定理,存在M0,使|f(x)|M,x[-X,X].取N=max{M,|A-e|,|A+e|},則|f(x)|N,x(-,+),即f(x)在(-,+)內(nèi)有界.6.在什么條件下,(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？總習(xí)題一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi):(1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件.數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件.(2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的________條件.存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件.(3)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的________條件.是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的________條件.(4)f(x)當(dāng)x?x0時(shí)的右極限f(x0+)及左極限f(x0-)都存在且相等是存在的________條件.解(1)必要,充分.(2)必要,充分.(3)必要,充分.(4)充分必要.2.選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論:設(shè)f(x)2x3x2則當(dāng)x0時(shí)有()(A)f(x)與x是等價(jià)無窮小(B)f(x)與x同階但非等價(jià)無窮小(C)f(x)是比x高階的無窮小(D)f(x)是比x低階的無窮小解因?yàn)?令2x1t,3x1u)所以f(x)與x同階但非等價(jià)無窮小故應(yīng)選B3設(shè)f(x)的定義域是[01]求下列函數(shù)的定義域(1)f(ex);(2)f(lnx);(3)