1.1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理

很清新的陽光男孩網(wǎng)名讓我一次愛個(gè)夠べ似曾相識(shí)的味道つ只是睫毛溺水了*錢多多☆美瞳鋪裝糊涂是極難的藝術(shù)~哥戀倪@姐耐倪*一場游戲，一場夢﹏゛陽光下、為誰回眸\"交淚交痛不交心°c1）：煙味寂寞悲歌﹎紅顏難尋莼凊♂爾莮孩妞。抱一個(gè)￣…90逅“男人帥哥在哪里始終抵不過他、氣質(zhì)哥花yi樣的男人●┋к男紸角素質(zhì)紳士男人必須傲↑莪說，只娶你`_ァ絕版男♂男人、自重點(diǎn)爺、似命珍惜-激情澎湃゛小斌哥、爺、過爺自己的生活再見，羙集、Smoke゛拚命ㄣ微笑╭輕狂、書生づ゛聆聽、你的哀傷℡愛你永不悔愛笑的男孩Ωづ男人要霸氣左手淡淡煙草香勞資是農(nóng)村人單身才叫青澀//。曾經(jīng)︶⒈直盜版騎白豬的王子高姿態(tài)、男子沒出息的放不下。拖拉機(jī)的惆悵。ヾ得瑟的瘋紙ベ純情、小莮子她丶就那么囂張無人能懂的悲傷我年輕丶心不定ソ蕪夏、不言殤少年-許諾不可信之失去了曾經(jīng)的單純再見我的影子愛人舊人陳村、小木屋不貍不氣的。愛你現(xiàn)實(shí)生活哪有真感情〃丟了少年失了心の清涼透徹你的心世界太假我們太傻那么近又那么遠(yuǎn)∝這輩子你都別想逃下頁ぃ多情小姐\"\"∞今年流行、單身Forever‖七情六欲心里﹌不解的迷惘走南闖北只要你っ心為你空下的城1.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理兩類能26種10種26+10=36種或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？請思考:問題1：用一個(gè)大寫的英文字母用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)假如你從宣威到曲靖，請問你共有多少種不同的走法？客車每天有3個(gè)班次，火車每天有2個(gè)班次，可以坐直達(dá)客車或直達(dá)火車，引例客車1客車2客車3火車1火車2宣威曲靖分析：完成從宣威到曲靖這件事有2類方案，所以，從宣威到曲靖共有3+2=5種方法.問題1:你能否發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問題有什么共同特征？1、都是要完成一件事2、用任何一類方法都能直接完成這件事3、都是采用加法運(yùn)算你能總結(jié)出這類問題的一般解決規(guī)律嗎？問題2：完成一件事有兩類不同的方案，分類加法計(jì)數(shù)原理在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m+n種不同的方法。例1.在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如下:A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?變式：在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A,B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如下:A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?C大學(xué)機(jī)械制造建筑學(xué)廣告學(xué)漢語言文學(xué)韓語N=5+4+5=14(種)如果完成一件事情有3類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事情有種不同的方法N=m1+m2+m3探究1分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣

如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？問題3：完成一件事有

n

類不同的方案，在第1類方案中有

m1

種不同的方法，在第2類方案中有

m2

種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法?！诘趎類方案中有mn種不同的方法，引例1：用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？

變換：用前6個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？分析：完成給教室里的座位編號(hào)編號(hào)這件事

分兩步完成：第1步：先確定一個(gè)英文字母第2步，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字字母

數(shù)字

得到的號(hào)碼123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹形圖ABB1B2B3B4B5B6B7B8B9CC1C2C3C4C5C6C7C8C9DD1D2D3D4D5D6D7D8D9EE1E2E3E4E5E6E7E8E9FF1F2F3F4F5F6F7F8F9變換：用前6個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？分析：完成給教室里的座位編號(hào)這件事需要兩個(gè)步驟，第1步，確定一個(gè)英文字母，有6種不同方法；第2步，確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，有9種不同方法；所以，編號(hào)共有6×9=54種方法.例2、設(shè)某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？例3、宣威的部分電話號(hào)碼是0874791××××,后面每個(gè)數(shù)字來自0～9這10個(gè)數(shù),問可以產(chǎn)生多少個(gè)不同的電話號(hào)碼?變式:若要求最后4個(gè)數(shù)字不重復(fù),則又有多少種不同的電話號(hào)碼?087479110101010×××=104分析:分析:=504010987×××完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.N=m+n分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m×n分步乘法計(jì)數(shù)原理：種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣那么完成這件事共有種不同的方法。完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1

種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

用來計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)每類方案中的每一種方法都能______完成這件事每步_________才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）類類相加步步相乘類類獨(dú)立步步相依獨(dú)立依次完成不重不漏步驟完整分類完成分步完成解：從書架上任取1本書，例3書架上的第1層放著4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放著3本不同的文藝書，第3層放著2本不同的體育書。第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；

第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；

第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法。

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=4+3+2=9.（1）從書架上任取1本書，有幾種不同的取法？有三類方法：（2）從書架上的第1、2、3層各取1本書，有幾種不同的取法？例3書架上的第1層放著4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放著3本不同的文藝書，第3層放著2本不同的體育書。（1）從書架上任取1本書，有幾種不同的取法？解：從書架的第1，2，3層各取1本書，第1步：從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步：從第2層取1本文藝書，有3種方法；

第3步：從第3層取1本體育書，有2種方法。

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=4×3×2=24.可以分成三個(gè)步驟完成：解答計(jì)數(shù)問題的一般思維過程：完成一件什么事如何完成這件事利用加法原理進(jìn)行計(jì)數(shù)方法的分類過程的分步利用乘法原理進(jìn)行計(jì)數(shù)例4要從甲、乙、丙、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？甲乙丙解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第二步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3×2=6.思考：還有其他解答本題的方法嗎？例4要從甲、乙、丙、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？甲乙丙解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第一步，從3幅畫中選出2幅，有3種選法；（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）第二步，將選出的2幅畫掛好，有2中掛法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3×2=6.變式要從甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？甲乙丙丁戊解：從5幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第一步，從5幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有5種選法；第二步，從剩下的4幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有4種選法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=5×4=20.例5.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×５×５×５=種.例6.給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)要求用數(shù)字1～9，問最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：首字符共有7+6＝13種不同的選法，答：最多可以給1053個(gè)程序命名。

中間字符和末位字符各有9種不同的選法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有13×9×9＝1053種不同的選法例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個(gè)RNA分子是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長鏈，長鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有４個(gè)不同的堿基，分別用A，C，G，U表示，在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由100個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？UUUAAACCCGGG分析:用100個(gè)位置表示由100個(gè)堿基組成的長鏈，每個(gè)位置都可以從A、C、G、U中任選一個(gè)來占據(jù)。第1位第2位第3位第100位4種4種4種4種……解：100個(gè)堿基組成的長鏈共有100個(gè)位置，在每個(gè)位置中，從A、C、G、U中任選一個(gè)來填入，每個(gè)位置有4種填充方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種不同的RNA分子.例8.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由８個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問（1）一個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種……如00000000，10000000，11111111.開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例9.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后要對程序進(jìn)行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個(gè)測試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)程序模塊又許多子模塊組成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測試方式，以減少測試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：整個(gè)模塊的任意一條路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來完成。因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就正常。這樣，測試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178（次）2）在實(shí)際測試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個(gè)模塊。這樣，他可以先分別單獨(dú)測試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。例10.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有３個(gè)不重復(fù)的英文字母和３個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且３個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，３個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?１.如圖,一螞蟻沿著長方體的棱,從一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？ABCDA1B1C1D1思考

解:如圖,從總體上看,螞蟻從頂點(diǎn)A爬到