高二物理競賽Sommerfeld模型課件

Sommerfeld模型1）基本假定電子在一有限深度的方勢阱中運動，電子間的相互

作用可忽略不計（自由電子近似，獨立電子近似）。

電子按能量的分布遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計；

電子的填充滿足Pauli不相容原理；電子在運動中存在一定的散射機制（弛豫時間近似）。1、Sommerfeld電子的基態(tài)Drude經(jīng)典理想氣體Sommerfeld量子理想氣體2）本征態(tài)和本征能量我們把自由電子氣等效為在溫度T=0，V=L1×L2×L3的立方體內(nèi)運動的N個自由電子。獨立電子近似使我們可以把N個電子問題轉(zhuǎn)換為單電子問題。其運動方程為：其中，U為電子在勢阱底部所具有的勢能，為簡單起見，可選取U＝0。令有方程的解為：其中，A為歸一化因子，可由歸一化條件確定。V為金屬的體積。所以有：k為電子波矢。電子的能量：3）周期性邊界條件對于足夠大的材料（一般情況這很容易滿足），材料表面層只占很小部分，除非討論表面態(tài)的性能，表面對材料總體性能影響很小。為了討論方便，通常采用周期性邊界條件（Born-Karman邊界條件）。將周期性邊界條件代入式(1.6.9)得：由上式得：因此能級為分立的：在k空間中，電子態(tài)的分布是均勻的。二維正方所對應的k空間中電子態(tài)分布。每個點對應一個電子態(tài)，每個態(tài)占據(jù)k空間(2/L)2的的面積三維情況，k空間中電子態(tài)所對應的等能面為球形。附加邊界條件導致波矢k取值得量子化。單電子本征態(tài)能量也取分立值。我們把波矢看作是空間矢量，相應的空間稱為k空間（k-space），k空間中許可的取值用分立點表示，每個點在k空間占據(jù)的體積相等。k空間單位體積內(nèi)許可態(tài)的數(shù)目，即k空間態(tài)密度為常數(shù)：能級填充到N/2每個能級可以填2個電子4）能量態(tài)密度（態(tài)密度）電子在能級上的填充遵守泡利不相容原理（Pauliexclusionprinciple）

T=0，電子從最低能級開始填充（能量最低原則），每個能級可以填2個電子（自旋參量）能量相同的電子態(tài)數(shù)目稱為簡并度電子填充的最高能級稱為費米能（FermiEnergy,EF0）在k空間中，自由電子的等能面為球面，在能量為E的球體中，波矢k的取值總數(shù)為每一個k的取值確定一個電子能級，若考慮電子自旋，根據(jù)Pauli原理每一個能級可以填充自旋方向相反的兩個電子。如將每一個自旋態(tài)看作一個能態(tài)，那么，能量為E的球體中，電子能態(tài)總數(shù)為因此能級填充滿足定義：能態(tài)密度(能量態(tài)密度，在單位能量間隔內(nèi)允許存在的量子態(tài)數(shù)目)其中：由此可見，電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的，電子能量越高，能態(tài)密度就越大。電子（能）態(tài)密度曲線5）基態(tài)（T＝0）

當T＝0時，系統(tǒng)的能量最低。但是，由于電子的填充必須遵從Pauli原理，因此，即使在T＝0時，電子也不可能全部填充在能量最低的能態(tài)上。如能量低的能態(tài)已經(jīng)填有電子，其他電子就必須填到能量較高的能態(tài)上。所以，在k空間中，電子從能量最低的原點開始，由低能量到高能量逐層向外填充，其等能面為球面，一直到所有電子都填完為止。由于等能面為球面，所以，在k空間中，電子填充的部分為球體，稱為Fermi球（Fermisphere）。Fermi球的表面稱為Fermi面（Fermisurface）；Fermi面所對應的能量稱為Fermi能（Fermienergy，EF0）。

——費米半徑Fermiwavevector——費米動量Fermimoment