常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法

常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題的提出數(shù)值求解方法第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日6.1歐拉方法

歐拉公式與改進(jìn)歐拉公式算法：第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日選擇不同的數(shù)值積分公式來(lái)求近似值就得到初值問(wèn)題的各種數(shù)值解法1.歐拉公式這稱為歐拉公式第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日2.后退歐拉公式這稱為后退歐拉公式后退歐拉公式是一個(gè)隱式公式，通常采用迭代法求解。第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.1以

h=0.1為步長(zhǎng)，用歐拉法求常微分方程初值問(wèn)題xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9000000.9093629.362x10-3………..….….立表(見(jiàn)表6-1（書121頁(yè)）)第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日

梯形公式與改進(jìn)歐拉公式3.梯形公式---梯形公式也是隱式單步法公式圖1梯形公式

第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日用梯形公式計(jì)算時(shí)，通常取歐拉公式的解作為迭代初值進(jìn)行迭代計(jì)算，即采用下式(1)(2)第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日4.改進(jìn)歐拉公式這稱為改進(jìn)歐拉公式第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.2仍取步長(zhǎng)h=0.1，采用改進(jìn)歐拉法重新計(jì)算例6.1的常微分方程初值問(wèn)題。(見(jiàn)表6-2（書125頁(yè)）)這時(shí)改進(jìn)歐拉公式為解xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9095240.9093621.363x10-4………..….….立表第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日6.2計(jì)算公式的誤差分析

定義6.1

若yi+1是yi=y(xi)從計(jì)算得到的近似解，則稱y(xi+1)－yi+1為所用公式的局部截?cái)嗾`差，簡(jiǎn)稱為截?cái)嗾`差。

定理6.1

若單步法yi+1=yi+h(xi,yi,h)的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，且增量函數(shù)(x,y,h)關(guān)于y滿足李普希茲條件，即存在常數(shù)L>0，使對(duì)成立不等式則其整體截?cái)嗾`差y(xi)－yi=O(hp)第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日截?cái)嗾`差的估計(jì)(基本假設(shè)：yi

=y(xi))設(shè)y(x)C3[x0,b],則（1）對(duì)歐拉公式，有因此，歐拉公式的局部截?cái)嗾`差為O(h2)（2）對(duì)后退歐拉公式，有因此，后退歐拉公式的局部截?cái)嗾`差為O(h2)第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日（3）對(duì)梯形公式，注意到其公式可改寫為故由式（6-8）和（6-9）得因此，梯形公式的局部截?cái)嗾`差為O(h3)第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日（4）對(duì)改進(jìn)歐拉公式，有而由，故有與式（6-7）比較得y(xi+1)－yi+1=O(h3)因此，改進(jìn)歐拉公式的局部截?cái)嗾`差為O(h3)

第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日

定義6.2

若一種求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該方法為p階精度，或稱該方法為p階方法。由此定義知，歐拉方法與后退歐拉方法為一階精度，梯形法與改進(jìn)歐拉方法為二階精度。第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日6.3龍格-庫(kù)塔方法由中值定理，有因此，以上介紹的各種單步法本質(zhì)上都是對(duì)平均斜率f(,y())進(jìn)行近似，龍格-庫(kù)塔據(jù)之提出了適當(dāng)選取若干點(diǎn)上的斜率值作近似以構(gòu)造高精度計(jì)算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系數(shù)法。第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日

二階Rung-Kutta公式問(wèn)題：建立二階精度的計(jì)算格式形為在y(xi)=yi的假設(shè)下，有故解第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日變形歐拉公式根據(jù)格式為二階精度，即y(xi+1)－yi+1=O(h3)比較兩式系數(shù)得而

系數(shù)滿足(6-13)的形為(6-12)計(jì)算格式統(tǒng)稱為二階R-K公式。當(dāng)令1=1/2時(shí)，解得2=1/2

，a=b=1，即為改進(jìn)歐拉公式。若令1=0，解得2=1，a=b=1/2，則得另一計(jì)算公式第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日

四階R-K公式每一步需計(jì)算的f值的個(gè)數(shù)1234567n8精度階1234456n-2

1965年，Butcher研究發(fā)現(xiàn)顯式R-K公式的精度與需要組合的斜率值的個(gè)數(shù)具有如下關(guān)系

可見(jiàn)，超過(guò)四階精度的R-K公式效率并不高，實(shí)際計(jì)算通常選用如下四階格式經(jīng)典R-K公式第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日這時(shí)經(jīng)典R-K公式為

例6.3取步長(zhǎng)h=0.2，采用經(jīng)典R-K法計(jì)算例6.1的常微分方程初值問(wèn)題。取h=0.2計(jì)算得到表6-4(書133頁(yè)）。與例6.1和例6.2比較可見(jiàn)，用經(jīng)典R-K法計(jì)算得到的解比用歐拉法和改進(jìn)歐拉法所得到的解精確得多。解第二十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日

步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇對(duì)于

p階精度的計(jì)算格式，當(dāng)取步長(zhǎng)為h

時(shí)，記為從y(xi)計(jì)算得到的y(xi+1)(xi+1=xi+h)的近似解，則有為便于進(jìn)行事后誤差估計(jì)，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常采用步長(zhǎng)減半算法。第二十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日記，則對(duì)給定的精度要求，可根據(jù)按如下方式調(diào)整步長(zhǎng)：（1）若