第二十一章 2三重積分及重積分應用

第三節(jié)三重積分一、問題的提出二、三重積分的概念三、直角坐標系下三重積分的計算六、小結思考題四、柱面坐標系下三重積分的計算五、球面坐標系下三重積分的計算x0z

y為圖示曲頂柱體一、問題的提出x0z

yx0z

yz2(x,y)為圖示曲頂柱體I=P..積分區(qū)域是曲頂柱體Dz1(x,y)三、直角坐標系下三重積分的計算這就化為一個定積分和一個二重積分的運算如圖，三重積分化為三次積分的過程：得到先z后y再x三重積分化為三次積分的過程：得到先z后x再y解解前面介紹的方法稱為先一后二法或穿針、切絲法即解原式四、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：簡單地說，柱面坐標就是xoy面上的極坐標+z坐標柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．如圖，柱面坐標系中的體積元素為再根據(jù)中z，r，的關系，化為三次積分。一般，先對z積分，再對r，最后對積分。由前面的討論可知:在柱面坐標系下三重積分可表示為解10xz

yDxy1解0xz

y1Dxy11解五、三重積分的球面坐標計算法0xz

yM(r,,)rNyxz

空間任一點M還可用有序數(shù)組(r,θ,φ)來表示.(r,θ,φ)也稱為點M的球面坐標.圓錐面；球面；半平面．且球面坐標與直角坐標的關系為如圖，球面坐標系中的體積元素為如圖，一般，先對r積分，再對，最后對積分。解一、直角坐標系下

二、柱面坐標系下

三、球面坐標系下

解補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的奇偶性．解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）六、小結復習三重積分的計算法

1.三重積分的直角坐標計算法2.三重積分的柱面坐標計算法3.三重積分的球面坐標計算法截面計算法解法1：先一后二解法2：先二后一解法3：柱坐標解法4：球坐標思考題練習題練習題答案

第四節(jié)重積分的應用一、問題的提出二、曲面的面積三、質心四、轉動慣量五、引力六、小結思考題重積分應用問題1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法一、從定積分定義出發(fā)可解決的問題二、曲面的面積1.設曲面的方程為：在D上偏導數(shù)連續(xù)設光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設它在D上的投影為d

,(稱為曲面S的面積元素)則故有曲面面積公式即2.若光滑曲面方程為則有3.若光滑曲面方程為則有【例1】【解】在D上無界于是半個球面的面積為整個球面的面積為【注】反常二重積分【解】補充動畫演示【解】解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為例4.

計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在xoy面上投影為則出的面積A.azoxyz=xy.axz

y0DaaaaxoyDxz

y02xzyoxzy2問題：曲面向哪個坐標面投影？o只能向zox平面投影xzy2Dxzoxzy2Dxzo三、質心1.平面薄片的質心當薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法(二重積分表示)【解】【解】【例8】薄片關于軸對稱【解】2.空間物體的質心其中（推廣）(三重積分表示)四、轉動慣量1.平面薄片的轉動慣量薄片對于

軸的轉動慣量薄片對于

軸的轉動慣量【解】2.空間立體的轉動慣量點到x軸的距離平方點到原點的距離平方【例10】【解】薄片對

軸上單位質點的引力為引力常