第5章 基于連續(xù)系統(tǒng)理論數(shù)字控制器設(shè)計(jì)

第5章基于連續(xù)系統(tǒng)理論的數(shù)字控制器設(shè)計(jì)5.1設(shè)計(jì)原理5.2連續(xù)控制器的離散化方法5.3數(shù)字PID控制5.4數(shù)字PID控制改進(jìn)算法5.5數(shù)字PID控制參數(shù)整定5.6史密斯預(yù)測(cè)補(bǔ)償控制5.1設(shè)計(jì)原理

1.基本思想◆計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的信號(hào)變換裝置取代了常規(guī)的模擬控制器，基于此，將原來(lái)的模擬控制規(guī)律離散化，變?yōu)閿?shù)字算法，并由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，便可完成計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，即所謂連續(xù)域－離散化設(shè)計(jì)?！暨B續(xù)域－離散化設(shè)計(jì)是一種間接設(shè)計(jì)法，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)字控制器部分看作一個(gè)整體，并等效為連續(xù)傳函De(s)，從而用連續(xù)系統(tǒng)理論來(lái)設(shè)計(jì)De(s)，再將其離散化而得到D(z)。典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)圖計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖2、等效控制器的數(shù)學(xué)描述A/D轉(zhuǎn)換器

若不計(jì)量化效應(yīng)，A/D

本質(zhì)上可看作一個(gè)理想的采樣開(kāi)關(guān)，其輸入輸出關(guān)系表示為 當(dāng)系統(tǒng)具有低通特性，且時(shí)，可取基頻來(lái)近似即A/D

的傳函可近似為

D/A的頻率特性

D/A可抽象為一個(gè)零階保持器，由于采樣頻率遠(yuǎn)大于閉環(huán)帶寬，零階保持器也只工作在低頻段，其頻率特性可近似表示為即幅頻可近似為常值T，相頻近似為一個(gè)純滯后環(huán)節(jié)。

數(shù)字控制算法D(z)設(shè)待設(shè)計(jì)的數(shù)字控制算法為D(z)，其相應(yīng)頻率特性可用來(lái)表示。■等效控制器De(s) 綜合起來(lái)可得等效控制器De(s)

的頻率特性其中，Ddc(s)為數(shù)字算法D(z)的等效傳函，即設(shè)計(jì)對(duì)象；滯后環(huán)節(jié)為A/D和D/A的近似，反映了ZOH相位滯后特性?？紤]到采樣對(duì)系統(tǒng)的影響，一般需加前置濾波器，其等效結(jié)構(gòu)圖為G(s)是將被控對(duì)象、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、傳感器、前置濾波器等合在一起構(gòu)成的廣義對(duì)象傳函實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，e－sT/2

有時(shí)也可取為如下的一階或二階近似：3、數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)步驟

經(jīng)過(guò)以上對(duì)De(s)

的分析可知，數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)歸結(jié)為：根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，用連續(xù)系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)等效控制器Ddc(s)，然后再離散化。

將原模擬調(diào)節(jié)器D(s)直接離散化得到D(z)，設(shè)頻率特性完全等效，即D(jw)=D(ejwT)，則計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)比原連續(xù)系統(tǒng)性能差。 比原控制器多了一個(gè)相位滯后環(huán)節(jié)，頻率特性會(huì)下降。 在采樣周期很小時(shí)，滯后環(huán)節(jié)的影響也較小，此時(shí)也可直接近似等效。

因?yàn)?，?shù)控系統(tǒng)的等效控制器為連續(xù)域－離散化設(shè)計(jì)步驟根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，選擇采樣頻率，并設(shè)計(jì)抗混疊的前置濾波器；考慮ZOH

的相位滯后，根據(jù)性能指標(biāo)的要求和連續(xù)域設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)數(shù)字控制算法的等效傳遞函數(shù)Ddc(s)；選擇合適的離散化方法，將Ddc(s)離散化，得到D(z)，并使二者盡量等效；檢驗(yàn)系統(tǒng)閉環(huán)性能，如指標(biāo)滿足，進(jìn)行下一步；否則重新改進(jìn)設(shè)計(jì)，包括：選擇更合適的離散化方法提高采樣頻率修正連續(xù)域設(shè)計(jì)將D(z)變?yōu)閿?shù)字算法，并用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。5.2連續(xù)控制器的離散化方法假設(shè)已設(shè)計(jì)出Ddc(s)，以下用D

(s)

來(lái)表示1.脈沖響應(yīng)不變法（z變換法）

該方法要求離散環(huán)節(jié)的脈沖響應(yīng)等于連續(xù)環(huán)節(jié)脈沖響應(yīng)的采樣值，即在采樣時(shí)刻二者的脈沖響應(yīng)等效。 脈沖函數(shù)(t)

經(jīng)采樣后仍為(t)

，因此只要即能保證二者脈沖響應(yīng)在采樣時(shí)刻相等。特點(diǎn)

Z

變換法工程使用意義不大。由于Z

變換是多對(duì)一的映射，將會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的頻率混疊；同時(shí)，Z

變換不具備串聯(lián)性質(zhì)，即 處理起來(lái)不方便。2.階躍響應(yīng)不變法該方法要求離散環(huán)節(jié)和連續(xù)環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)的采樣值保持不變 將連續(xù)傳函做帶零階保持器的Z變換，即 則能保證D

(s)

和D

(z)

的階躍響應(yīng)在采樣時(shí)刻保持不變。例1設(shè)，試用階躍響應(yīng)不變法求D

(z)

，設(shè)采樣周期T=1。解特點(diǎn)：若連續(xù)環(huán)節(jié)D

(s)穩(wěn)定，則離散后的D

(z)也一定穩(wěn)定；帶ZOH的Z變換同樣無(wú)串聯(lián)特性；由于ZOH具有低通作用，頻率混疊現(xiàn)象較單純的Z變換法能顯著減輕，離散前后頻率特性畸變較??；離散前后穩(wěn)態(tài)增益保持不變，即 以上兩種方法均要做Z變換，且無(wú)串聯(lián)特性，工程應(yīng)用并不方便3.前向差分法

用一階前向差分近似代替微分 設(shè)連續(xù)環(huán)節(jié)傳函為 可得其對(duì)應(yīng)的微分方程為以一階前向差分代替微分如令n=k+1，則由此可得一階前向差分法離散化的一般公式對(duì)上式做Z

變換比較D

(s)

與D

(z)

，可得s

與z的關(guān)系為★前向差分法的物理意義

對(duì)于r(t)

的積分，相當(dāng)于用矩形面積的和來(lái)近似代替r(t)

曲線下的面積。

顯然，當(dāng)采樣周期較小時(shí)，矩形面積之和能較好地近似等于曲線下的面積；反之，采樣周期越大，等效精度越差?！锴跋虿罘址╯平面與z平面的映射關(guān)系

由，并令 可得 取模 令（即對(duì)應(yīng)單位圓），則有

z

平面的單位圓映射為s

平面左半平面以點(diǎn)（－1/T，0）為圓心，以1/T

為半徑的圓。前向差分法s平面與z平面的映射關(guān)系(圖）

由此可見(jiàn)，只有當(dāng)連續(xù)環(huán)節(jié)D

(s)的所有極點(diǎn)均位于s

左半平面以點(diǎn)（－1/T，0）為圓心，以1/T為半徑的圓內(nèi)，才能將離散化后D

(z)

的極點(diǎn)映射到z

平面的單位圓內(nèi)。★前向差分法的特點(diǎn)置換公式簡(jiǎn)單，且有串聯(lián)性（與采樣開(kāi)關(guān)無(wú)關(guān)），應(yīng)用方便；當(dāng)采樣周期T

較大時(shí)，等效精度較差；穩(wěn)態(tài)增益維持不變，即

只能將s

左半平面一個(gè)半徑為1/T

的圓映射到z

平面單位圓，所以D

(s)穩(wěn)定，經(jīng)置換后，D

(z)不一定穩(wěn)定。4.后向差分法

設(shè)連續(xù)環(huán)節(jié)為 以一階后向差分近似代替微分，有 對(duì)上式做Z變換，可得 由此可得離散化公式為★后向差分法的物理意義

用矩形面積的和來(lái)近似代替r(t)曲線下的面積。★后向差分法s平面與z平面的映射關(guān)系由可得移項(xiàng)后，取模的平方，有當(dāng)=0（s平面虛軸），映射為（對(duì)應(yīng)于圓）當(dāng)<0（s

左半平面），映射為 （對(duì)應(yīng)于圓內(nèi)）當(dāng)>0（s

右半平面），映射為 （對(duì)應(yīng)于圓外）映射關(guān)系后向差分法的主要特點(diǎn)與前向差分法相同，僅映射關(guān)系不同，且

D

(s)穩(wěn)定，D

(z)一定穩(wěn)定。后向差分法比前向差分法更具使用價(jià)值，在工業(yè)控制中常有應(yīng)用。

后向差分法將s左半平面映射為

z

平面單位園內(nèi)以（1/2，0）為圓心，以1/2為半徑的一個(gè)小圓內(nèi)。顯然，D

(s)穩(wěn)定，D

(z)一定穩(wěn)定。

5、雙線性變換法基本思想：用梯形面積近似表示數(shù)值積分值離散化公式所以有

與積分環(huán)節(jié)D(s)作比較，得到雙線性變換的離散化公式為★雙線性變換映射關(guān)系兩邊取模的平方以 代入置換公式，得由上式可得如下映射關(guān)系：

=0（s

平面虛軸），映射為（對(duì)應(yīng)于單位圓）；

<0（s

左半平面），映射為 （對(duì)應(yīng)于單位圓內(nèi)）；

>0（s

右半平面），映射為 （對(duì)應(yīng)于單位圓外）?！镫p線性變換為一對(duì)一映射

考慮頻率變換，即令 可得 相應(yīng)的幅角為

可知，s平面沿虛軸從－到＋變化，將一對(duì)一地映射為z平面的整個(gè)單位圓周，從而不致產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。

★頻率畸變

由雙線性變換后的幅角可求得其在z

域的角頻率 可見(jiàn)，s域角頻率和z

域角頻率是非線性關(guān)系，且將s

域0～頻段壓縮到z

域的有限頻段0～/T。

當(dāng)采樣頻率較高時(shí)，s

域和z

域的頻率在低頻段近似線性關(guān)系，具有較好的保真度；而在高頻段頻率則發(fā)生了較大變化（頻率畸變）?！镫p線性變換的特點(diǎn)s

域虛軸映射為z域單位圓，s左半平面映射到單位圓內(nèi)，s

右半平面映射到單位圓外，且為一對(duì)一的映射；D

(s)穩(wěn)定，雙線性變換所得D

(z)一定穩(wěn)定；具有串聯(lián)性，若有數(shù)個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)相串聯(lián)，可分別對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)作雙線性變換再相乘；穩(wěn)態(tài)增益維持不變，即雙線性變換后的階次不變，且分子、分母具有相同的階次；雙線性變換無(wú)頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率軸產(chǎn)生了畸變。6.預(yù)畸變雙線性變換法

采用雙線性變換，D

(s)和D

(z)的頻率特性在低頻段十分相近，而高頻段則相差較大；且經(jīng)雙線性變換后，z域幅頻特性在=s/2處必為零。 雙線性變換由于頻率軸的畸變導(dǎo)致了頻率特性畸變，如要保證變換前后某個(gè)特征頻率不變，則需要預(yù)先進(jìn)行頻率修正。修正步驟：選取特征頻率

1，要求在這一頻率處，離散前后幅值相同，即計(jì)算預(yù)修正頻率大小。如要求離散后特征頻率仍為

1，則s

域頻率應(yīng)預(yù)先修正到將原連續(xù)傳函D

(s)

修正為D

(s/

1*)；對(duì)修正后的連續(xù)傳函作雙線性變換，即按穩(wěn)態(tài)增益相等的原則確定D

(z)的增益。例2對(duì)連續(xù)傳函【解】依題意，選

n＝1rad/s為特征頻率

1，計(jì)算預(yù)修正頻率

進(jìn)行雙線性變換，要求離散后在自然頻率

n＝1rad/s處有相同的幅值響應(yīng)。將連續(xù)傳函修正為進(jìn)行增益匹配對(duì)D

(s/

1*)進(jìn)行雙線性變換7.零極點(diǎn)匹配法 系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置決定了系統(tǒng)的性能，前面的離散化方法中，s

平面與z

平面的零極點(diǎn)并未完全按z=esT

的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)。基本思想 將D

(s)

的零點(diǎn)和極點(diǎn)均按z=esT

的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)地映射到Z平面，又稱匹配Z變換法。離散化公式上式中，若原D

(s)

的分子階次小于分母階次，則在D

(z)的分子上加上(z+1)n-m

因子；D

(z)

的增益K

按穩(wěn)態(tài)增益相等來(lái)匹配，即若D

(s)

的分子有s

因子，則可選某關(guān)鍵頻率處的幅頻特性相等，即來(lái)確定D

(z)

的增益K

。其幅頻特性如圖所示

零極點(diǎn)匹配法的特點(diǎn)要求對(duì)D

(s)

分解零極點(diǎn)，并進(jìn)行增益匹配，應(yīng)用不夠方便；D

(s)

穩(wěn)定，D

(z)

一定穩(wěn)定；頻率特性的保真度較好。P

比例控制，即由偏差的比例形成控制作用，一般情況下存在穩(wěn)態(tài)誤差（即靜差）；PI

比例－積分控制，通過(guò)對(duì)偏差的比例和積分作用形成控制量，因此，加入積分環(huán)節(jié)，有助于消除靜差；PID

比例－積分－微分控制，通過(guò)對(duì)偏差的比例、積分及微分共同作用產(chǎn)生控制量，微分項(xiàng)的加入有助于提高快速性，改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。5.3數(shù)字PID控制控制器基本算式傳函為1、PID控制的基本形式及數(shù)字化連續(xù)PID規(guī)律離散化 將連續(xù)PID基本算式，以一定的離散化方法離散后，即可得到對(duì)應(yīng)的數(shù)字PID算法。 這里采用后向差分變換法。 即

對(duì)于時(shí)域算式，令并將kT

簡(jiǎn)記為k

則有 代入PID基本算式，可得 即數(shù)字PID基本算法上述算式輸出為u(k)，一般直接對(duì)應(yīng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的某一位置或執(zhí)行狀態(tài)，所以也稱為位置式算法；位置式算法在算法本身或計(jì)算機(jī)發(fā)生故障時(shí)，存在不安全因素；直接用z

域的向后差分離散化方法，所得結(jié)果與上述算式完全相同。2、數(shù)字PID控制算法增量式PID算法利用位置式算式可寫出k-1

時(shí)刻的控制量u(k-1)用u(k)減去u(k-1)，并令 可得

上式中令 即積分系數(shù) 即微分系數(shù)，則有增量式算法每次輸出的只是一個(gè)控制增量，可以克服位置式算法由于算法或計(jì)算機(jī)故障引起的不足；如采用具有位置記憶功能（即積分作用）的環(huán)節(jié)作為控制量輸出部件，則可避免由于控制量的突變對(duì)系統(tǒng)的影響。

輸出控制量為1.抗積分飽和算法飽和效應(yīng)

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，控制變量因受執(zhí)行元件機(jī)械和物理性能的約束，其實(shí)際取值有一定的限制，即有時(shí)還要求其變化率滿足5.4數(shù)字PID控制改進(jìn)算法

飽和效應(yīng)：

當(dāng)計(jì)算機(jī)算法給出的u(k)的計(jì)算值超出上述約束范圍時(shí)，實(shí)際作用的控制量將取邊界值，并非計(jì)算值，即產(chǎn)生所謂“飽和效應(yīng)”。位置式算法中的積分飽和現(xiàn)象

位置式算法中引起計(jì)算飽和的主要是積分運(yùn)算，故稱為“積分飽和”。積分飽和對(duì)系統(tǒng)的影響

可見(jiàn)，在系統(tǒng)響應(yīng)開(kāi)始較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，由于積分作用，u

一直處于飽和狀態(tài)，使得響應(yīng)緩慢，相應(yīng)的退飽和也延遲，出現(xiàn)了較大的超調(diào)量，有時(shí)還會(huì)引起振蕩。改進(jìn)算法（1）積分分離式PID算法基本思想：當(dāng)被控量與設(shè)定值的偏差較大時(shí)，不進(jìn)行積分，以避免飽和及超調(diào)量過(guò)大；當(dāng)被控量接近設(shè)定值時(shí)，才投入積分作用，以消除靜差，提高控制精度?？刂扑闶剑海?）遇限削弱積分算法基本思想：

一旦控制量u(k)

的計(jì)算值進(jìn)入飽和區(qū)，將削弱積分項(xiàng)的運(yùn)算，使之向退飽和方向計(jì)算?？刂扑惴ǎ?/p>

依據(jù)上次的控制量

u(k-1)所處位置（上限、正常還是下限）和當(dāng)前的偏差e(k)，共同確定積分項(xiàng)的運(yùn)算，以使

u(k)

向退飽和的方向發(fā)展。標(biāo)準(zhǔn)PID算法中微分作用的局限性對(duì)于偏差e(k)的階躍變化，微分作用僅限于第一個(gè)采樣周期，并容易引起振蕩 因?yàn)?/p>

對(duì)于e(k)的階躍變化，有2、微分算法的改進(jìn)當(dāng)偏差e(k)變化較大時(shí)，微分作用項(xiàng)ud

將很大，容易導(dǎo)致輸出飽和，即微分飽和；純微分環(huán)節(jié)對(duì)噪聲信號(hào)具有放大作用，即對(duì)噪聲也很敏感，容易引進(jìn)高頻干擾。不完全微分PID算法：基本思想

對(duì)微分環(huán)節(jié)和整個(gè)PID環(huán)節(jié)串入一個(gè)慣性環(huán)節(jié)（低通濾波器），以平滑微分作用產(chǎn)生的瞬時(shí)脈動(dòng)，加強(qiáng)微分作用對(duì)全過(guò)程的影響，同時(shí)還可以抑制高頻噪聲。算法推導(dǎo)

不完全微分PID算法具有兩種形式：a.慣性環(huán)節(jié)只加在微分項(xiàng)上

b.慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)在整個(gè)PID調(diào)節(jié)器之后

對(duì)于第一種結(jié)構(gòu)，有其中UP(s)與UI(s)與標(biāo)準(zhǔn)算法中形式一樣用向后差分法離散化，可得對(duì)于第二種結(jié)構(gòu)，有離散化之后可得★控制效果

僅討論微分部分▲完全微分PID算法▲不完全微分PID算法

對(duì)于偏差e(k)的階躍變化，不完全微分算法有控制效果（圖）不完全微分項(xiàng)的控制信號(hào)比較均勻、平緩微分先行PID算法

★基本思想 將微分運(yùn)算放在最前面，再對(duì)微分運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行比例和積分運(yùn)算，有助于克服噪聲及其它突變信號(hào)對(duì)控制器輸出量帶來(lái)的沖擊。★結(jié)構(gòu)1

對(duì)偏差值e(k)進(jìn)行微分，即對(duì)給定值和輸出量（反饋量）均有微分作用，適用于串級(jí)控制的副控回路。 其中0<<1，一般可取0.03～0.1算法推導(dǎo)

將微分部分用一階向后差分離散化，可得寫成增量形式總的增量輸出為則總的控制量輸出為比例通道輸出積分通道輸出★結(jié)構(gòu)2

只對(duì)輸出量進(jìn)行微分，而不對(duì)給定值進(jìn)行微分運(yùn)算.

在給定值頻繁提降的場(chǎng)合，該結(jié)構(gòu)可避免因輸入突變導(dǎo)致輸出的躍變。

包括理論設(shè)計(jì)整定法與實(shí)驗(yàn)整定法。 工程上通常采用實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)法。 如果采樣周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被控過(guò)程的時(shí)間常數(shù)，原則上模擬PID調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定方法均可擴(kuò)充到數(shù)字PID算法的參數(shù)整定中。5.5數(shù)字PID控制參數(shù)整定1、擴(kuò)充臨界比例系數(shù)法◆整定步驟：▲選取一個(gè)足夠小的采樣周期Tmin▲去掉積分和微分控制作用，采用純比例控制，逐步增大Kp，直至出現(xiàn)等幅振蕩，記下臨界比例系數(shù)Kr和臨界振蕩周期Tr；▲選擇控制度，即數(shù)字控制器相對(duì)于模擬控制器的一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)：通常認(rèn)為，當(dāng)控制度為1.05時(shí)，二者控制