第二章 控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)本章重點(diǎn)：1掌握控制系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型的方法

2應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程2.0概述主要解決的問(wèn)題：

1什么是數(shù)學(xué)模型

2為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

3對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本要求第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.0概述一、數(shù)學(xué)模型的定義

1、

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)或環(huán)節(jié)內(nèi)部、外部各物理量（或變量）之間動(dòng)、靜態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。亦：描述系統(tǒng)性能的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或數(shù)字、圖像表達(dá)式）?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型按系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性分為：靜態(tài)模型

動(dòng)態(tài)模型

靜態(tài)模型：在穩(wěn)態(tài)時(shí)（系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)）描述系統(tǒng)各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。動(dòng)態(tài)模型：在動(dòng)態(tài)過(guò)程中描述系統(tǒng)各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以有多種形式，建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法可以不同，不同的模型形式適用于不同的分析方法。關(guān)系：靜態(tài)模型是t時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2、為什么要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是由具體的物理問(wèn)題、工程問(wèn)題從定性的認(rèn)識(shí)上升到定量的精確認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵?。ㄟ@一點(diǎn)非常重要，數(shù)學(xué)的意義就在于此）

一方面，數(shù)學(xué)自身的理論是嚴(yán)密精確和較完善的，在工程問(wèn)題的分析和設(shè)計(jì)中總是希望借助于這些成熟的理論。事實(shí)上凡是與數(shù)學(xué)關(guān)系密切的學(xué)科發(fā)展也是快的，因?yàn)樗袊?yán)謹(jǐn)和完整的理論支持；另一方面，數(shù)學(xué)本身也只有給它提供實(shí)際應(yīng)用的場(chǎng)合，它才具有生命力。“1”本身是沒(méi)有意義的，只有給它賦予了單位（物理單位）才有意義。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法很多，主要有兩類：機(jī)理建模（白箱-系統(tǒng)的各元件及參數(shù)已知，結(jié)構(gòu)已知）；

實(shí)驗(yàn)建模（數(shù)據(jù)建模，系統(tǒng)辨識(shí)）（黑箱-結(jié)構(gòu)全不知道或灰箱-知道一部分）。第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二、建立數(shù)學(xué)模型的依據(jù)通過(guò)系統(tǒng)本身的物理特性來(lái)建立。如力學(xué)三大定律、流體力學(xué)定律、電學(xué)定律、歐姆定律、克希霍夫定律等三、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)

1、實(shí)物→（抽象）數(shù)學(xué)表達(dá)式

2、不同的控制系統(tǒng)可以具有相同的數(shù)學(xué)模型即可用同一個(gè)數(shù)學(xué)模型去描述不同的系統(tǒng)，如，單擺在平衡位置附近的自由運(yùn)動(dòng)

電阻、電容、電感電路中電容的放電過(guò)程都是衰減振蕩。

相似系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中具有相同的數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)。

說(shuō)明：一般由于機(jī)械系統(tǒng)比較復(fù)雜，參數(shù)調(diào)整不方便，在很多情況下，采用電模擬的方法，對(duì)系統(tǒng)分析，特別是在現(xiàn)在，電氣、電子技術(shù)的發(fā)展，為電模擬提供了良好的條件。在專用模擬機(jī)或通用模擬機(jī)上，采用數(shù)學(xué)模型相似的電網(wǎng)絡(luò)代替要研究的系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行計(jì)算和研究，方便，易行。應(yīng)用：

模擬：兩相似系統(tǒng)，通過(guò)分析一個(gè)系統(tǒng)而達(dá)到對(duì)另外系統(tǒng)分析研究，稱為模擬，這種方法稱為功能模擬法。第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3、同一控制系統(tǒng)可以有不同的數(shù)學(xué)模型同一控制系統(tǒng)具有各種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式（機(jī)械傳動(dòng)、電磁量運(yùn)動(dòng)、熱變形等），而不同的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式又分別受不同的物理規(guī)律約束，因而建立的數(shù)學(xué)模型可能不同。因此，建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，一定要搞清輸入量、輸出量。四、數(shù)學(xué)模型的分類

1、微分方程時(shí)間域t單輸入單輸出

2、傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)域s=σ+iω---3、頻率特性頻率域ω---4、狀態(tài)方程時(shí)間域t多輸入多輸出用一組微分方程描述系統(tǒng)的狀態(tài)特性第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2．1微分方程模型（時(shí)間域模型）

一、控制系統(tǒng)微分方程的分類

線性系統(tǒng)：可由線性微分方程描述的系統(tǒng)。線性微分方程是指微分方程是定常和線性的。線性系統(tǒng)可應(yīng)用疊加原理，將多輸入及多輸出的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單輸入和單輸出的系統(tǒng)進(jìn)行處理分析，最后進(jìn)行疊加。另外線性系統(tǒng)還有一個(gè)重要的性質(zhì)，就是齊次性，即當(dāng)輸入量的數(shù)值成比例增加時(shí)，輸出量的數(shù)值也成比例增加，而且輸出量的變化規(guī)律只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入量的變化規(guī)律有關(guān)，與輸入量數(shù)值的大小是無(wú)關(guān)的。

非線性系統(tǒng)：研究非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和分析方法的一個(gè)分支學(xué)科。非線性系統(tǒng)最重要的問(wèn)題之一就是確定模型的結(jié)構(gòu)，如果對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)有足夠的知識(shí)，則可以按照系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律給出它的數(shù)據(jù)模型。一般來(lái)說(shuō)，這樣的模型是由非線性微分方程和非線性差分方程給出的，對(duì)這類模型的辨別可以采用線性化，展開(kāi)成特殊函數(shù)等方法。非線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象是非線性現(xiàn)象，它反映出非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)本質(zhì)的一類現(xiàn)象，不能采用線性系統(tǒng)的理論來(lái)解釋，主要原因是非線性現(xiàn)象有頻率對(duì)振幅的依賴性、多值響應(yīng)和跳躍諧振、分諧波振蕩、自激振蕩、頻率插足、異步抑制、分岔和混沌等。

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

借助表達(dá)系統(tǒng)輸入、輸出之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程：

i=0,1…nj=0,1,…m可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述。

1、線性定常系統(tǒng)ai,bj

都不是xo(t)和xi(t)及它們導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，也不是時(shí)間的函數(shù)；

2、線性時(shí)變系統(tǒng)ai,bj

是時(shí)間的函數(shù)；

3、非線性系統(tǒng)ai,bj

有一個(gè)依賴xo(t)和xi(t)或它們導(dǎo)數(shù)，或者在微分方程中出現(xiàn)時(shí)間的其他函數(shù)形式。

線性系統(tǒng)滿足疊加原理，而非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二、微分方程模型的建立

根據(jù)系統(tǒng)物理機(jī)理建立系統(tǒng)微分方程模型的基本步驟：（1）確定系統(tǒng)中各元件的輸入、輸出物理量；（2）根據(jù)物理定律或化學(xué)定律（機(jī)理），列出元件的原始方程，在條件允許的情況下忽略次要因素，適當(dāng)簡(jiǎn)化；（3）列出原始方程中中間變量與其他因素的關(guān)系；（4）消去中間變量，按模型要求整理出最后形式。

例1：?jiǎn)巫杂啥葯C(jī)械位移系統(tǒng)（如插床、刨床）如圖，建立~間的微分方程關(guān)系式。分析：輸入：力輸出：m的位移第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)m的受力分析

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

注意：習(xí)慣上將系統(tǒng)（元件）的輸出及輸出的各階導(dǎo)數(shù)放在等式的左邊，輸入及輸入的各階導(dǎo)數(shù)放在等式的右邊；由于系統(tǒng)總是存在著儲(chǔ)能元件，一般地，等式左邊的階次高于右邊的階次；上式中左邊輸出的最高階次為二，稱該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、系統(tǒng)微分方程中變量形式的選擇

四、系統(tǒng)元件間的負(fù)載效應(yīng)對(duì)于兩個(gè)物理元件組成的系統(tǒng)而言，若其中一個(gè)元件的存在，使另一個(gè)元件在相同輸入下的輸出受到影響，則有如前者對(duì)后者施加了負(fù)載，因此這一影響稱為負(fù)載效應(yīng)，也稱耦合。這時(shí)，如只是孤立的分別寫(xiě)出兩個(gè)元件的動(dòng)力學(xué)方程，則經(jīng)過(guò)消去中間變量而得到的整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程將是錯(cuò)誤的。

例1

復(fù)習(xí)：1、數(shù)學(xué)模型的類型

2、建立數(shù)學(xué)模型的方法

3、建立數(shù)學(xué)模型的步驟第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)模型2.3.1定義傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行研究、分析和綜合的數(shù)學(xué)工具。通過(guò)傳遞函數(shù)可以將實(shí)數(shù)域中的微分、積分運(yùn)算化為復(fù)數(shù)域中的代數(shù)運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算工作量，而且由傳遞函數(shù)導(dǎo)出的頻率特性還具有物理意義，運(yùn)用線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和頻率特性有利于對(duì)系統(tǒng)研究、分析和綜合。

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。三要素：1)線性定常系統(tǒng)

2)零初始條件,即在外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件為0。

3)輸出與輸入的拉氏變換之比（復(fù)域模型）重點(diǎn):傳遞函數(shù)的概念傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的列寫(xiě)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)形式上記為：

(n>m)2.3.2幾點(diǎn)說(shuō)明（性質(zhì)）（1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的又一種形式，也是一種表示輸入輸出的模型形式。它表示了系統(tǒng)本身的特性而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。它僅能表示輸入輸出關(guān)系，而無(wú)法表示出系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

傳遞函數(shù)的分母和分子分別反映系統(tǒng)本身與外界無(wú)關(guān)的固有特性和系統(tǒng)同外界之間的聯(lián)系。

(2)若輸入已定，則系統(tǒng)的輸出完全取決于其傳遞函數(shù)，因?yàn)椋?/p>

Xo(s)=G(s)Xi(s)

(或C(s)=G(s)R(s))

通過(guò)拉氏變換，可求得系統(tǒng)在時(shí)域的輸出：

Xo(t)=L-1[Xo(s)]=L-1[G(s)Xi(s)]

或c(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（3）傳遞函數(shù)中（分子的階次小于分母的階次n≥m）是一切物理系統(tǒng)所固有的，這是因?yàn)槿魏挝锢硐到y(tǒng)均含有慣性。（4）傳遞函數(shù)可以是有量綱的，也可以是無(wú)量綱的。（5）可減化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析的過(guò)程

R(s)一定時(shí)C(s)完全由G(s)決定，因此：

G(s)的特征和形態(tài)→分析系統(tǒng)的性能

另：對(duì)系統(tǒng)性能的要求→對(duì)G(s)的要求

（6）記

=

式中：稱第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)稱

-為系統(tǒng)的特征根

-為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。（7）由于可以是零、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，因此在復(fù)平面上總能找到相對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)，故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與復(fù)平面有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這將引出經(jīng)典控制論的一種重要分析方法：根軌跡法。分析方法：根軌跡法。

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（8）傳遞函數(shù)的反拉氏變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)該式表明：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)有單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由于傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，能反映系統(tǒng)的靜、動(dòng)態(tài)性能，故系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)也可以反映系統(tǒng)的靜、動(dòng)態(tài)性能，即系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)也可以作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

2.3.3傳遞函數(shù)的列寫(xiě)

法一：列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程

消去中間變量

在初始條件為0的情況下，取拉氏變換

求輸出與輸入拉氏變換之比第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)法二：列寫(xiě)系統(tǒng)中各元件（各環(huán)節(jié)）的微分方程

在零初始條件下求拉氏變換

整理拉氏變換后的代數(shù)方程組，消去中間變量

整理成傳遞函數(shù)的形式舉例一些常用典型元部件的傳遞函數(shù)的列寫(xiě)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.3.4

反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（解釋一下方框圖----將系統(tǒng)中各元件的名稱或功用寫(xiě)在框圖單元中，并標(biāo)明它們之間的連接順序和信號(hào)流向。主要用來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)的構(gòu)成和工作原理）不失一般性，設(shè)系統(tǒng)的方框圖如圖所示：

（1）前向通道傳遞函數(shù)—是輸出C(S)與偏差E(S)之比：)(sB)(sE)(sN)(sC)(sH)(1sG)(2sG)(sR-輸入信號(hào)偏差信號(hào)干擾信號(hào)輸出信號(hào)反饋信號(hào)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

（2）反饋通道傳遞函數(shù)

特殊地,時(shí)，稱為單位反饋。（3）對(duì)輸入引起的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（）---也可定義為，閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)與反饋回路傳遞函數(shù)之積，或定義為反饋信號(hào)B(S)與偏差E(S)之比:

（4）對(duì)輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)（）---輸出信號(hào)與輸入信號(hào)拉氏變換之比，GB(S)(注意推導(dǎo))第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（5）對(duì)擾動(dòng)量的閉環(huán)傳遞函數(shù)（）

（6）定義為系統(tǒng)的誤差

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由輸入量引起的誤差傳遞函數(shù)（）

★描述系統(tǒng)框圖的兩種最基本、最重要的形式

（1）體現(xiàn)輸入輸出關(guān)系的描述

開(kāi)環(huán)形式

（2）體現(xiàn)反饋機(jī)制關(guān)系的描述

閉環(huán)形式

2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)--從數(shù)學(xué)模型分析出發(fā)，可以將系統(tǒng)分為由一些基本環(huán)節(jié)組成

能組成獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)可以是一個(gè)元件，也可以是一個(gè)元件的一部分或由幾個(gè)元件組成，各環(huán)節(jié)不能有相互影響（無(wú)負(fù)載效應(yīng)）。

系統(tǒng)是由環(huán)節(jié)組成的，或者系統(tǒng)是由有關(guān)環(huán)節(jié)串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連

接而成的。

有了傳遞函數(shù)以后，我們用如圖所示的方框圖簡(jiǎn)潔地表示一個(gè)系統(tǒng)。指向方框的箭頭表示輸入信號(hào)，從方框出來(lái)的箭頭表示輸出信號(hào)。

2.4.1串聯(lián)和并聯(lián)

方框圖的優(yōu)點(diǎn)是可以清晰地表明系統(tǒng)中信號(hào)的流向。而且，利用方框圖可以簡(jiǎn)明表示出系統(tǒng)中各部分的連接關(guān)系。下面考慮幾種常見(jiàn)的連接方式。

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.串聯(lián)兩個(gè)傳遞函數(shù)分別為和的系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的串聯(lián)用圖2.11表示。所謂串聯(lián)，即是將第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)作為第二個(gè)環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)，連到第二個(gè)環(huán)節(jié)，第二個(gè)環(huán)節(jié)的輸出即為整個(gè)系統(tǒng)的輸出。因此，根據(jù)傳遞函數(shù)的定義不難得到:

因此，從到的傳遞函數(shù)為（2.4.1）

(2.4.1)式可以推廣到個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即，，串聯(lián)后整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是各個(gè)傳遞函數(shù)的乘積

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.并聯(lián)上圖表示兩個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，在并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖中我們引入了信號(hào)分支點(diǎn)和信號(hào)相加點(diǎn)。所謂信號(hào)分支點(diǎn)，就是信號(hào)在該點(diǎn)分兩路分別送入和。需要指出的是，這里的“分支”不同于通常所說(shuō)的“分流”，因?yàn)閺姆种c(diǎn)出來(lái)的兩路信號(hào)都是，與原信號(hào)一樣，而不是將原信號(hào)一分為二。所謂信號(hào)相加點(diǎn)，是指兩個(gè)信號(hào)在此處匯合，匯合后流出的信號(hào)是兩個(gè)信號(hào)的（代數(shù)）和。分支點(diǎn)和相加點(diǎn)的概念可以推廣到多個(gè)信號(hào)的情況。不難得到并聯(lián)情況下系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系：

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

因此可以得到結(jié)論：n個(gè)傳遞函數(shù)分別為的環(huán)節(jié)并聯(lián)后，整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于這幾個(gè)傳遞函數(shù)的和，即記均是實(shí)常數(shù)

從傳遞函數(shù)的這種分解方式可以看出，線性系統(tǒng)的傳遞總可以分解成如下7種環(huán)節(jié)的組合（乘積）第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

特點(diǎn)：最高不超過(guò)二階上面的m1表示系統(tǒng)有m1個(gè)零的零點(diǎn)n1表示系統(tǒng)有n1個(gè)零的極點(diǎn)

m2表示系統(tǒng)有m2個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)n2表示系統(tǒng)有n2個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)

m3表示系統(tǒng)有m3對(duì)復(fù)數(shù)零點(diǎn)n3表示系統(tǒng)有n3對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)

稱上面七種環(huán)節(jié)為系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、震蕩環(huán)節(jié)、延時(shí)環(huán)節(jié)等。其中,

比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)二階積分環(huán)節(jié)（振蕩環(huán)節(jié)）

延遲環(huán)節(jié)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)的區(qū)別：慣性環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始時(shí)刻就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始后在0~τ時(shí)間內(nèi)沒(méi)有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.4.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

在控制系統(tǒng)的分析中，常常將一個(gè)系統(tǒng)分解成若干個(gè)典型環(huán)節(jié)；或是在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，在系統(tǒng)某處增加若干環(huán)節(jié)。所謂典型環(huán)節(jié)就是構(gòu)成系統(tǒng)的一些基本要素，它們?cè)谙到y(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中起著重要的作用。

一、放大環(huán)節(jié)放大環(huán)節(jié)又稱比例環(huán)節(jié)，其輸出量以一定比例復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，即

,

其傳遞函數(shù)為.

圖2.17所示的是一個(gè)用運(yùn)算放大器構(gòu)成的放大環(huán)節(jié)，其放大倍數(shù)為

R2第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

二、慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)中因含有儲(chǔ)能元件，故對(duì)突變的輸入信號(hào)不能立即復(fù)現(xiàn)。其運(yùn)動(dòng)方程如下：

（2.4.13）其中稱為時(shí)間常數(shù)，稱為慣性環(huán)節(jié)的增益。由（2.4.13）容易得出慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為（2.4.14）當(dāng)輸入信號(hào)時(shí)，由(2.4.13)不難求出慣性環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)為

（2.4.15）

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

二、慣性環(huán)節(jié)由圖2.18(a)和(b)看出，當(dāng)輸入信號(hào)從零突變到1后，輸出信號(hào)并不能立即響應(yīng)，而是逐漸增大。當(dāng)時(shí)，輸出信號(hào)趨于穩(wěn)態(tài)值，輸出響應(yīng)曲線在時(shí)的上升斜率為，因?yàn)?/p>

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

二、慣性環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

三、積分環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

三、積分環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

三、積分環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

四、微分環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

四、微分環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

五、延時(shí)環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

六、振蕩環(huán)節(jié)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5方框圖模型（結(jié)構(gòu)圖）

方框圖模型是控制系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型。特點(diǎn)：具有圖示模型的直觀，具有數(shù)學(xué)模型的精確。方框圖具有數(shù)學(xué)性質(zhì)，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和等效變換，是計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的有力工具，應(yīng)用非常普遍。

結(jié)構(gòu)框圖：將系統(tǒng)中各元件的名稱或功用寫(xiě)在框圖單元中，并標(biāo)明它們之間的連接順序和信號(hào)流向。主要用來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)的構(gòu)成和工作原理。

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5方框圖模型（結(jié)構(gòu)圖）函數(shù)框圖：把元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)寫(xiě)在框圖單元內(nèi)，并用表明信號(hào)流向傳遞方向的箭頭將這些框圖單元連接起來(lái)。主要用來(lái)說(shuō)明環(huán)節(jié)的特性、信號(hào)流向、變量關(guān)系、簡(jiǎn)化系統(tǒng)框圖及獲得整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方框圖的建立→將網(wǎng)絡(luò)看作一個(gè)系統(tǒng)，各元件便是系統(tǒng)中的各個(gè)環(huán)節(jié)建立方框圖的方法是：（1）列出各環(huán)節(jié)（元件）的傳遞函數(shù)

（2）用圖的形式連接起來(lái)。

要注意的是：由于傳遞函數(shù)的條件是零初始的，因此方框圖也是零初始條件的。結(jié)構(gòu)圖的建立建立步驟：

1）列出各環(huán)節(jié)（元件）的傳遞函數(shù)；

2）根據(jù)各環(huán)節(jié)之間的信號(hào)流向，用圖的形式連接起來(lái)。例1無(wú)源網(wǎng)絡(luò)：第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)×第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)×將上面的各環(huán)節(jié)（元件）的部分綜合有：第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)××第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5.1．框圖單元、比較點(diǎn)和引出點(diǎn)

1．框圖單元：框圖內(nèi)為傳遞函數(shù)，指向框圖的箭頭表示輸入，離開(kāi)框圖的箭頭表示輸出，箭頭上表明了相應(yīng)的信號(hào)。２．比較點(diǎn)（相加點(diǎn)）：將兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行相加或相減的元件。箭頭上的“+”或“-”表示信號(hào)相加還是相減，其上的所有信號(hào)應(yīng)具有相同的量綱。３．引出點(diǎn)（分支點(diǎn)）：表示信號(hào)引出和測(cè)量的位置，同一位置引出的幾個(gè)信號(hào)在大小和性質(zhì)上完全一樣。引出數(shù)量和信號(hào)的大小無(wú)關(guān)。2.5.2系統(tǒng)構(gòu)成方式１．

串聯(lián)連接：各個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)個(gè)順序連接。G1(s)

X(s)

Y(s) 第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5.2系統(tǒng)構(gòu)成方式２．并聯(lián)連接：輸入相同，輸出相加或相減的連接形式。３．反饋連接：將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)全部或部分地通過(guò)反饋回路反饋到輸入端，又重新輸入到系統(tǒng)中。反饋與輸入相加稱為“正反饋”，與輸入相減的稱為“負(fù)反饋”。G1(s)

G2(s)

G(s)=G1(s)G2(s)

X(s)

X(s)

Y1(s)

Y(s)

Y(s)

G1(s)

G2(s)

G(s)=G1(s)±G2(s)

X(s)

X(s)

Y1(s)

Y(s)

Y(s)

+ ± Y2(s)

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5.2系統(tǒng)構(gòu)成方式2.5.3．框圖變換法則１．引出點(diǎn)的變換法則：引出點(diǎn)前移：引出點(diǎn)后移：G(s)

H(s)

X(s)

X(s)

Y(s)

Y(s)

+ ± B(s)

E(s)

GAG

A

AG

G

AG

A

AG

G

G

AG

A

A G

AG

AG

1/G

A

A

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)２．比較點(diǎn)變換法則：加法交換律：加法結(jié)合律：A A-B+C

+ - B A-B

+ + C A A-B+C

+ + C A+C

+ - B A + - B A-B+C

+ C A A-B+C

+ - B A-B

+ + C 第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)２．比較點(diǎn)變換法則：比較點(diǎn)前移：比較點(diǎn)后移：G A AG-B

+ - B AG

G A AG-B

+ - B/G

A-B/G

1/G

B G A AG-BG

+ - B

AG

G A AG-B

+ - B/G

A-B/G

G

BG

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)２．比較點(diǎn)變換法則：引出點(diǎn)前移越過(guò)比較點(diǎn)：A + - B A-B

A A-B

+ - B A-B

+ - B

AG A-B

第二章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例:１