第五章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

第五章結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算基本要求：

理解實(shí)功、虛功、廣義力、廣義位移的概念，變形體虛功原理和互等定理。掌握荷載產(chǎn)生的位移計(jì)算。熟練掌握圖乘法求位移。了解了解溫度改變、支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算。5.1概述

一、結(jié)構(gòu)位移種類A位移角位移線位移A點(diǎn)線位移A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移A截面角位移P絕對(duì)位移相對(duì)位移：指兩點(diǎn)或兩截面相互之間位置的改變量。FP1FP2FP3CDABCD兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移AB兩截面的相對(duì)角位移FP1FP2FP3CDAB還有什么原因會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移?二、使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移的因素制造誤差等荷載溫度改變支座移動(dòng)為什么要計(jì)算位移?鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:

三、計(jì)算位移的目的(1)驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。校核結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許限值，以防止構(gòu)件和結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過大的變形而影響結(jié)構(gòu)的正常使用。

如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實(shí)際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計(jì)的水平位置。(2）建筑起拱和施工要求(3)為超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算打基礎(chǔ)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算要同時(shí)滿足平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。abABCFP=1ABCab四、虛力原理已知求虛功方程設(shè)虛力狀態(tài)小結(jié)：（1）形式是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程；（2）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個(gè)平衡力系；（3）特點(diǎn)是用靜力平衡條件解決幾何問題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移?！撛O(shè)力系求剛體體系位移五、支座位移時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算（1）C點(diǎn)的豎向位移（2）桿CD的轉(zhuǎn)角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正號(hào)表明位移方向與假設(shè)的單位力方向一致。求解步驟（1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虛功方程練習(xí)：

已知?jiǎng)偧苤ё鵅向右移動(dòng)a,求。解：1）求CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求DCADB10.50.5h/dh/dd/2d/22）求CADB1/h1/h00d/2d/2113）求CABhd/2d/2aD§5.2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式1.局部變形時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算BABA1AB虛功方程：BABA1A例1、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移。例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)剪位移d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移。例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d試求A點(diǎn)在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡條件：虛功方程：當(dāng)截面B同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí)，在i－i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：推導(dǎo)位移計(jì)算公式的兩種途徑{由變形體虛功原理來推導(dǎo)；由剛體虛功原理來推導(dǎo)－局部到整體。2、局部變形時(shí)的位移計(jì)算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種變形：在剛性桿中，取微段ds設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。dsRdsdsRds1（2）微段兩端相對(duì)位移：續(xù)基本思路：設(shè) 微段的變形以截面B左右兩端的相對(duì)位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求位移d－即前例的結(jié)論?；?、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式一根桿件各個(gè)微段變形引起的位移總和：如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成，則整個(gè)結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：適用范圍與特點(diǎn)：2）形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。4.求位移步驟如下：①沿?cái)M求位移方向虛設(shè)性質(zhì)相應(yīng)的單位載荷；②求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；③利用位移計(jì)算一般公式求位移。5.廣義位移的計(jì)算求圖a）結(jié)構(gòu)A、B截面相對(duì)水平位移。+a)給定位移qABΔAHΔBHκ,γ0,

εc)虛設(shè)單位荷載1AB1b)AB11d)虛設(shè)單位荷載2AB1=虛設(shè)單位載荷如上頁圖c)，d)所示。由上圖b)可得：所以得：所以，為了求兩個(gè)截面的相對(duì)位移，只需要在該兩個(gè)截面同時(shí)加一對(duì)大小相等，方向相反，性質(zhì)與所求位移相應(yīng)的單位荷載即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：1)q求Δφ11單位荷載AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBV(A，B截面豎向位移之和）(A，B截面相對(duì)豎向位移）ABFPΔAVΔBV原結(jié)構(gòu)3)例:1)求A點(diǎn)水平位移所加單位廣義力與所求廣義位移相對(duì)應(yīng),該單位廣義力在所求廣義位移上做功.2)求A截面轉(zhuǎn)角3)求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平位移4)求AB兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角

5.3荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算CABDFP=1給定位移、變形κ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,FQP,FNP

)FPCABqDD若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計(jì)算一般公式為：上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。在荷載作用下，應(yīng)變與內(nèi)力的關(guān)系式如下：（式中k為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)）正負(fù)號(hào)規(guī)則：1）不規(guī)定和的正負(fù)號(hào)，只規(guī)定乘積的正負(fù)號(hào)。若和使桿件同一側(cè)纖維受拉伸長，則乘積為正，反之為負(fù)；正MP正MP負(fù)MP2）和以拉力為正，壓力為負(fù)；3）和的正負(fù)號(hào)見下圖。各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1.梁和剛架在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計(jì)算公式為：在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對(duì)位移的影響不容忽略。對(duì)于深梁，即h/l較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。

5.4荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算舉例2.桁架桁架各桿只有軸力，所以位移計(jì)算公式為：4.拱拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3.組合結(jié)構(gòu)用于彎曲桿用于二力桿解：例:求圖示桁架(各桿EA相同)k點(diǎn)水平位移.練習(xí):求圖示桁架(各桿EA相同)k點(diǎn)豎向位移.PP=1例：求圖示曲桿（1/4圓?。╉旤c(diǎn)的豎向位移Δ。解：1）虛擬單位荷載qcos=FQq

sin-=FNqsin-=RMqcos=PFQPqsin-=PFNPqsin-=PRMP虛擬荷載下內(nèi)力3）位移公式為QNMD+D+D=GAPREAPREIPR++=D4443pkppds=Rdθθdθds鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G≈0.4E矩形截面,k

=1.2,I/A=h2/1212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412???è?==DDMQRhGAREIk可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計(jì)。但對(duì)于深梁剪切變形引起的位移不可忽略.2）實(shí)際荷載下內(nèi)力dGAPRdEAPREIPR+??è???+=òòcossin20203qq

kqqpp22h101<R如PGAdsFQPFQEAdsFNPFNEIdsMM++=Dòòòk例題5－3如圖所示為等截面簡支梁，其左半跨內(nèi)均布荷載q，梁橫截面的彎曲慣性矩為I，試求該梁中點(diǎn)截面C的角位移ΦC。解：在左半跨內(nèi)(0≤x≤l/2):在右半跨內(nèi)(0≤x≤l/2):作業(yè)5-15-25-65-85-105.5圖乘法在桿件數(shù)量多的情況下,不方便.下面介紹計(jì)算位移的圖乘法.剛架與梁的位移計(jì)算公式為：òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tgα一、圖乘公式推導(dǎo)òBAkdxxMMK對(duì)y軸的靜矩。圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。圖乘法的適用條件是什么?AB1.圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線圖形；（3）應(yīng)取自直線圖中。2.若與在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負(fù)值。(1)曲-折組合例如ycy2y1y3(2)階梯形截面桿二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法拋物線的頂點(diǎn)（FQ=0處）在拋物線的中點(diǎn)或端點(diǎn).例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角.解:例.試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移.解:（

）BAq例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角解:三、圖形分解求當(dāng)彎矩圖的形心位置或面積不便于確定時(shí)，常將該圖形分解為幾個(gè)易于確定形心位置和面積的部分，并將它們分別與另一圖形相乘，然后再將所得結(jié)果相加。下面分兩種情況討論。三、圖形分解求三、圖形分解求C截面豎向位移當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)（FQ=0處）不在拋物線的中點(diǎn)或端點(diǎn)時(shí)，可將其分成直線形和簡單拋物線（如圖示），然后兩者分別與另一圖形相乘，再把乘得的結(jié)果相加。PPaaa例：求圖示梁中點(diǎn)的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？兩個(gè)圖形均非直線性豎標(biāo)不是取在直線圖形中四、圖乘法小結(jié)1.圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3）應(yīng)取自直線圖中。2.若與在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負(fù)值。3.當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時(shí)的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時(shí)，只能用積分法求位移；b）當(dāng)EI分段為常數(shù)或單位彎矩圖、荷載彎矩圖均非直線時(shí)，應(yīng)分段圖乘再疊加；例1.已知EI為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移。五、應(yīng)用舉例lqhq解：例2.已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角。五、應(yīng)用舉例解：lqllq例3.圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。五、應(yīng)用舉例l/2ql/2MP例3.圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。五、應(yīng)用舉例l/2ql/2MP例3.圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP5.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力。1.是溫度改變值，而非某時(shí)刻的溫度。某時(shí)刻溫度另一時(shí)刻溫度t1,t2是溫度改變值

2.溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：對(duì)于矩形截面桿件，，。hb桿軸線處溫度改變值：h1h2ht1t2t2-

t1dth1h2ht1t2ds3.微段ds的應(yīng)變拉應(yīng)變彎曲應(yīng)變剪應(yīng)變4.位移計(jì)算公式小結(jié)：1）正負(fù)號(hào)規(guī)則：及溫度變化使桿件同一側(cè)纖維伸長（彎曲方向相同），則乘積為正，反之為負(fù)。以溫度升高為正，降低為負(fù)，以拉力為正，壓力為負(fù)。2）例求圖示剛架C截面水平位移。已知桿件線膨脹系數(shù)為，桿件矩形橫截面高為h。解：CABdd1CABdd圖CAB圖§5-8變形體虛功原理及位移計(jì)算一般公式一、變形體虛功原理

定義：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應(yīng)力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi

，即W=Wi

。下面討論W及Wi的具體表達(dá)式。條件：1）存在兩種狀態(tài)：第一狀態(tài)為作用有平衡力系；第二狀態(tài)為給定位移及變形。以上兩種狀態(tài)彼此無關(guān)。2）力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。

3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性

結(jié)構(gòu)。第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：整根桿件的內(nèi)虛功為：第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對(duì)全部桿件求總和得：小結(jié)：只要求兩個(gè)條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于彈性或非彈性結(jié)構(gòu)。

考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。1)2)3)

變形體虛功原理有兩種應(yīng)用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設(shè)平衡力系求位移;虛位移原理：虛設(shè)位移求未知力。用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。二、位移計(jì)算的一般公式所以在變形體虛功方程中，若外力只是一個(gè)單位荷載，則虛功方程為：§5.9互等定理互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一、功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II。狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：所以即定理在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。二、位移互等定理定理在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ12。即δ12=δ21即由功的互等定理可得：在線性變形體系中，位移Δij與力FPj的比值是一個(gè)常數(shù)，記作δij，即：或于是所以狀態(tài)II12狀態(tài)I121212說明：1）

δij也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。

i產(chǎn)生位移的方位；j產(chǎn)生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應(yīng)的δ12和δ21就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個(gè)廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。圖示同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，根據(jù)位移互等定理下列式子正確的是AΔ1=Δ3Bθ2=θ4

CΔ3=θ2DΔ1=θ4

例

驗(yàn)證位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/2所以例

驗(yàn)證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ12解：所以153111三、反力互等定理

反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)，因?yàn)殪o定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11狀態(tài)I12C2FR22FR12狀態(tài)II根據(jù)功的互等定理有：在線性變形體系中，反力FRij與Cj的比值為一常數(shù)，記作rij，即或所以得說明：rij也稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位位移所需施加的力。其量綱為。i產(chǎn)生支座反力的方位；

j產(chǎn)生支座移動(dòng)的支座。某桁架支座B被迫下沉5mm，并測得下弦結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的撓度如題1.7（a）圖所示，此時(shí)桁架上無其它荷載。題1.7（b）圖所示荷載作用下引起的支座B的反力為

。定理在任一線性變形體系中，由位移C1引起的與位移C2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21等于由位移C2引起的與位移C1相應(yīng)的反力影響系數(shù)r12。四、位移反力互等定理根據(jù)功的互等定理有：令狀態(tài)I1FP12FR21狀態(tài)II1Δ122C2位移反力互等定理在混合法中得到應(yīng)用。所以由此得到即上式中力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符號(hào)相反表明：虛功方程中必有一項(xiàng)，其力和位移方向相反。系數(shù)、的量綱都是。定理在任一線性變形體系中，由位移C2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù)在絕對(duì)值上等于由荷載FP1引起的與位移C2相應(yīng)的反力影響系數(shù)

，但二者符號(hào)相反。作業(yè)5-185-205-235-29小結(jié)在靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)分析中，本章內(nèi)容起著承上啟下的作用。它既是靜定結(jié)構(gòu)的結(jié)尾，又是超靜定部分的先導(dǎo)。虛功原理

單位荷載法位移計(jì)算的一般公式是：位移計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：分清式中包含的兩套物理量：一套是位移和應(yīng)變，這是給定的；另一套是外力和內(nèi)力，這是虛設(shè)的。位移計(jì)算公式不但適應(yīng)靜定結(jié)構(gòu)，同時(shí)也適應(yīng)與超靜定結(jié)構(gòu)，要了解其使用的范圍。對(duì)于單位荷載法，要能夠正確的根據(jù)所求位移，虛設(shè)出單位荷載狀態(tài)。不同的結(jié)構(gòu)和狀態(tài)又不同的計(jì)算公式，梁和剛架、桁架、支座移動(dòng)、溫度改變各有相應(yīng)的計(jì)算公式和方法。圖乘法是計(jì)算粱和剛架的位移的基本方法，一方面要了解圖乘法的應(yīng)用條件，另一方面要熟練掌握計(jì)算方法。1.1結(jié)構(gòu)發(fā)生了變形，必然會(huì)引起位移，反過來，結(jié)構(gòu)有位移必然有變形發(fā)生。1.2無法用圖示單位荷載，來求圖示結(jié)構(gòu)中K點(diǎn)的