第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)本章任務(wù)：1.學(xué)習(xí)邏輯函數(shù)的表示方法；2.邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和重要定理；3.用公式化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法；4.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法；5.用Multisim仿真軟件進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)和變換；第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式（無(wú)圖）2.4邏輯代數(shù)的基本定理（無(wú)圖）2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法（無(wú)圖）2.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法2.8具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)Sec.2.1概述1.變量與函數(shù)2.邏輯關(guān)系的描述sX=0（斷開(kāi)）X=1（閉合）ssx開(kāi)關(guān)符號(hào)sEXLF=L（x）Sec.2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算1、基本邏輯（關(guān)系）運(yùn)算2、與、或、非的圖形符號(hào)3、其他邏輯運(yùn)算關(guān)系1.基本邏輯（關(guān)系）運(yùn)算1.與邏輯運(yùn)算2.或邏輯運(yùn)算3.非邏輯運(yùn)算圖1.2.4非邏輯門電路的符號(hào)(a)電路圖(b)真值表(c)用0、1表示的真值表(d)與邏輯門電路的符號(hào)圖2.2.1與邏輯運(yùn)算

(a)電路圖(b)真值表(c)用0,1表示的真值表(d)或邏輯門電路的符號(hào)圖2.2.2或邏輯運(yùn)算

圖2.2.3非邏輯運(yùn)算(a)電路圖(b)真值表(c)用0、1表示的真值表

圖2.2.4非邏輯門電路的符號(hào)在輸入端用小圓圈表示非運(yùn)算

(b)在輸出端用小圓圈表示非運(yùn)算2.

與、或、非的圖形符號(hào)3.其他邏輯運(yùn)算關(guān)系1.與非F=(AB)’2.或非F=(A+B)’3.與或非F=(AB+CD)’4.異或F=A⊕B5.異或非（同或）F=(A⊕B)’

復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)小結(jié)：16

種邏輯關(guān)系A(chǔ)BF0F1F2F3F4F5F6F70001101100000001001000110100010101100111F0=0F1=ABF2=(A⌒B)’F3=AF4=(B⌒A)’F5=BF6=A⊕BF7=A+BABF8F9F10F11F12F13F14F150001101110001001101010111100110111101111F8=(A+B)’F9=(A⊕B)’F10=B’F11=B⌒AF12=A’F13=A⌒BF14=(AB)’F15=12.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.邏輯代數(shù)的基本公式：2.常用公式：3.MorganTheory的符號(hào)說(shuō)明：1.邏輯代數(shù)的基本公式★L(fēng)-1.P.41

2.常用公式

序號(hào)

公式1A+AB=A2

A+A’B=A+B3

AB+AB’=A4A(A+B)=A5

AB+A’C+BC=AB+A’C

AB+A’C+BCD=AB+A’C6

A(AB)’=AB’;A’(AB)’=A’3.MorganTheory的符號(hào)說(shuō)明：＆≥1＆≥1≥1＆≥1＆AB（AB）’ABABABABABABABA’＋B’（A＋B）’A’B’AB（A’＋B’）’A＋B（A’B’）’等效等效等效等效摩根定理轉(zhuǎn)換2.4

邏輯函數(shù)及其表示方法1、用邏輯函數(shù)描述事物2、用邏輯函數(shù)描述邏輯電路3、邏輯函數(shù)描述應(yīng)用示例返回

1.用邏輯函數(shù)描述事物

返回圖2.5.1舉重裁判電路主裁邊裁邊裁圖2.5.1電路的邏輯圖

(邏輯函數(shù)表達(dá)式)圖2.5.4[例2.5.3]的邏輯圖畫出

Y=(A+B’C)’＋A’BC’＋C的邏輯電路圖。B’cA’BC’(A＋B’C)’

2.用邏輯函數(shù)描述邏輯電路

圖2.5.5[例2.5.4]的邏輯圖寫出上圖的邏輯函數(shù)。解：Y=[(A+B)’+(A’+B’)’]’=(A+B)(A’+B’)=AB’+A’B=A⊕B(A+B)’(A’+B’)’3.邏輯函數(shù)描述應(yīng)用示例L-1.P.48Example-1:

Three-waylightcontrolAssumethatalargeroomhasthreedoorsandthataswitchneareachdoorcontrolsalightintheroom.Ithastobepossibletoturnthelightonoroffbychangingthestateofanyoneoftheswitches.Assumethatthelightisoffifallswitchesareopen.例1.用3個(gè)開(kāi)關(guān)控制一個(gè)燈。

一個(gè)過(guò)廳有3個(gè)門，每個(gè)門旁邊有一個(gè)控制燈的開(kāi)關(guān)，任何一個(gè)開(kāi)關(guān)改變狀態(tài)（接通或斷開(kāi)）都可以控制燈的亮或滅。設(shè)初始狀態(tài)開(kāi)關(guān)全是斷開(kāi)的，燈處于滅的狀態(tài)。設(shè)計(jì)這個(gè)燈控電路。

Analysis

①Closinganyoneofswitcheswillturnthelighton.Thenturningonasecondswitchwillhavetoturnoffthelight.②Thusthelightwillbeonifexactlyoneswitchisclosed,anditwillbeoffiftwo(orno)switchesareclosed.③Ifthelightisoffwhentwoswitchesareclosed,thenitmustbepossibletoturnitonbyclosingthethirdswitch.

分

析

①.任何一個(gè)開(kāi)關(guān)閉合（接通）都可以使燈亮，第2個(gè)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)一定使燈滅。②.只要正確地使開(kāi)關(guān)閉合，燈就一定能亮，如果兩個(gè)（或者沒(méi)有）開(kāi)關(guān)被閉合，燈就滅。③.如果當(dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，燈是滅的，那末，閉合第個(gè)開(kāi)關(guān)燈一定亮。

輸入（開(kāi)關(guān)狀態(tài)）

輸出（燈的狀態(tài)）

輸出

X1x2x3

f邏輯關(guān)系000

001

010011

100101110

1110

1

10

100

1TruthtablefortheThree-waylightcontrolX’1X’2X’3X’1X’2X3X’1X2X’3X’1X2X3X1X’2X’3X1X’2X3X1X2X’3X1X2X3Three-waylightcontrolLogicDiagram＆＆＆＆≥1X1X2x3f＆＆＆＆≥1X1X2x3f邏輯圖結(jié)構(gòu)總線結(jié)構(gòu)BUSExample-2:MultiplexercircuitSupposethattherearetwosourcesofdata,providedasinputsignalsx1andx2.Thevaluesofthesesignalschangeintime,perhapsatregularintervals.Thussequencesof0sand1sareappliedoneachoftheinputsx1andx2.Wewanttodesignacircuitthatproducesanoutputthathasthesamevalueaseitherx1orx2,dependentonthevalueofaselectioncontrolsignals.Example-2:Multiplexercircuit

設(shè)有兩個(gè)做信號(hào)用的數(shù)據(jù)源x1和x2，信號(hào)值同時(shí)改變，并允許它們有規(guī)則的間隔。這樣，0s和1s就順序地加到每個(gè)輸入上。

希望設(shè)計(jì)一個(gè)電路，能夠產(chǎn)生與x1或x2相同的輸出，取決于選擇控制信號(hào)s。Analysis:Thecircuitshouldhavethreeinputsx1andx2,ands.Assumethattheoutputofthecircuitwillbethesameasthevalueofinputx1ifs=0,anditwillbethesameasx2ifs=1.分析

這個(gè)電路應(yīng)該有3個(gè)輸入x1、x2和s。設(shè)如果s=0，電路的輸出與輸入x1的值相同，而如果s=1，那末輸出等于x2。Example3:Designanillegal—combinationencodeincludednotdetectorforan8—4—2—1BCDsignal.（引出最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的概念）2.5.邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式1.最小項(xiàng)與最大項(xiàng)2.最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的性質(zhì)3.邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式1.最小項(xiàng)與最大項(xiàng)

例2.4.1.用3個(gè)開(kāi)關(guān)控制一個(gè)燈。說(shuō)明如何寫出邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式設(shè)3個(gè)開(kāi)關(guān)分別為：X1＝A，x2＝B，x3＝C，真值表如下：

輸入（開(kāi)關(guān)狀態(tài)）

輸出（燈的狀態(tài)）

輸出

AB

C

f最小項(xiàng)最大項(xiàng)000001010011100101110111

0

1

10

100

1

TruthtablefortheThree-waylightcontrolA’

B’

C’

A’B’CA’BC’A’BCAB’C’AB’CABC’ABCA+B+CA+B+C’A+B’+CA+B’+C’A’+B+CA’+B+C’A’+B’+CA’+B’+C’2.最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的性質(zhì)⑴.最小項(xiàng)的性質(zhì)：①.在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最小項(xiàng)，且僅有一個(gè)最小項(xiàng)值為1。②.全體最小項(xiàng)之和為1。③.任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0。④.相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)公因子。⑵.最大項(xiàng)的性質(zhì)：①.在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)，且僅有一個(gè)最大項(xiàng)值為0。②.全體最大項(xiàng)之積為0。③.任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1。④.只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等亍各相同變量之和。

⑴.最小項(xiàng)(mi)＝(Mi)’

最大項(xiàng)；

⑵.F∑（mi

）＝F∏（Mk）（i≠k）

最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系3.邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式⑴.最小項(xiàng)積之和標(biāo)準(zhǔn)形式：

f=∑（mi）⑵.最大項(xiàng)和之積標(biāo)準(zhǔn)形式：

f’=∏（Mi）F=

A’B’C+A’BC’+AB’C’+ABC

（m1）（m2）（m4）（m7）以原變量表示燈亮為“1”，反變量表示燈滅為“0”。以原變量表示燈滅為“0”，反變量表示燈亮為“1”。F’=

A’B’C’+A’BC+AB’C+ABC’F=(

A’B’C’+A’BC+AB’C+ABC’)’

＝

(

A’B’C’)’(A’BC)’(AB’C)’(ABC’)’＝（A＋B＋C

）（A＋B’＋C’

）（A’＋B＋C’）（A’＋B’

＋C）（M0）（M3）（M5）（M6）⑴.最小項(xiàng)積之和標(biāo)準(zhǔn)形式：⑵.最大項(xiàng)和之積標(biāo)準(zhǔn)形式：mi(sop)與Mk(pos)的區(qū)別＆＆＆＆≥1X1X2x3f邏輯圖結(jié)構(gòu)—1（sop）≥1≥1≥1≥1＆X1X2x3f邏輯圖結(jié)構(gòu)—2（pos）ABCABCF=

A’B’C+A’BC’+AB’C’+ABC（A＋B＋C

）（A＋B’＋C’

）（A’＋B＋C’）（A’＋B’

＋C）2.6邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法L-1,P.471.公式化簡(jiǎn)法⑴.何為公式化簡(jiǎn)法？⑵.最簡(jiǎn)式的概念：⑶.化簡(jiǎn)的目的：2.邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法⑴.并項(xiàng)法：利用AB+AB’=A⑵.吸收法：利用A+AB=A⑶.消項(xiàng)法：利用AB+A’C+BC=AB+A’C⑷.因子消去法：利用（1+A）或（B+B’）⑸.配項(xiàng)法：利用A+A=A,A+A’=1；2.7

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法1.K－圖的本質(zhì)及構(gòu)成原則2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法3.用K－圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)⑴化簡(jiǎn)的依據(jù)⑵化簡(jiǎn)的方法⑶化簡(jiǎn)的步驟⑷化簡(jiǎn)的規(guī)則圖1.7.1二到五變量最小項(xiàng)的卡諾圖（a）兩變量（A、B）最小項(xiàng)的卡諾圖（b）三變量（A、B、C）最小項(xiàng)的卡諾圖（c）四變量（A、B、C、D）最小項(xiàng)的卡諾圖（d）五變量（A、B、C、D、E）最小項(xiàng)的卡諾圖圖1.7.2例1.7.1的卡諾圖圖1.7.3例1.7.2的卡諾圖圖1.7.4最小項(xiàng)相鄰的幾種情況（a）、（b）兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰（c）、（d）四個(gè)最小項(xiàng)相鄰（e）八個(gè)最小項(xiàng)相鄰圖1.7.5例1.7.3的卡諾圖圖1.7.6例1.7.4的卡諾圖1.卡諾圖的構(gòu)成及表示方法000

001①011③010②100④101⑤111⑦110⑥AABMSBABCCCBCA構(gòu)成原則：任何相鄰的兩個(gè)小方格只有一個(gè)變量互為反變量。LSB0

二到五變量最小項(xiàng)的卡諾圖

（a）兩變量（A、B）最小項(xiàng)的卡諾圖

（b）三變量（A、B、C）最小項(xiàng)的卡諾圖

（c）四變量（A、B、C、D）最小項(xiàng)的卡諾圖

（d）五變量（A、B、C、D、E）最小項(xiàng)的卡諾圖A’ABB’B’CC’DD’D’A’AC’BB’B’CD’D’DE’E’E’2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法F=m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m15由KarnaughMap寫出邏輯函數(shù)1111F＝A’B’C＋A’BC’＋AB’C’＋ABC3.KarnaughMap化簡(jiǎn)方法（1）.KarnaughMap化簡(jiǎn)的原則

最小項(xiàng)相鄰的幾種情況

（a）、（b）兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰

（c）、（d）四個(gè)最小項(xiàng)相鄰

（e）八個(gè)最小項(xiàng)相鄰CDD（2）.卡諾圖化簡(jiǎn)法原函數(shù)

方案1方案2的卡諾圖原函數(shù)Y=ABC+ABD+ACD+CD+ABC+ACD小結(jié)1.化簡(jiǎn)的依據(jù)2.化簡(jiǎn)的方法3.化簡(jiǎn)的步驟4.化簡(jiǎn)的規(guī)則2.8具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)返回1、約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無(wú)關(guān)項(xiàng)2、無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的應(yīng)用2023/2/3561、約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無(wú)關(guān)項(xiàng)舉例說(shuō)明：三個(gè)邏輯變量A、B、C分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止?？赡苋≈抵挥?01，010，100當(dāng)中的某一種。2023/2/357約束項(xiàng)：這些恒等于0的最小項(xiàng)叫做約束項(xiàng)。000，011，101，110，111中的任何一種都不可能出現(xiàn)，可表示為：或2023/2/358任意項(xiàng)：在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1是0皆可，并不影響電路的功能。在這些變量取值下，其值等于1的那些最小項(xiàng)成為任意項(xiàng)。約束項(xiàng)和任意項(xiàng)既可以寫入函數(shù)式，也可從函數(shù)式中刪掉，不影響函數(shù)值。因此約束項(xiàng)和任意項(xiàng)又統(tǒng)稱為函數(shù)式中的無(wú)關(guān)項(xiàng)。在真值表和卡諾圖中用×表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。2023/2/359約束條件：××10××××00011001ABCD0001111000011110Y解：2、無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的應(yīng)用2023/2/360100×0000111××1××ABCD0001111