高中數(shù)學蘇教版第二章平面向量單元測試 全國公開課

2．向量的減法上節(jié)課我們學習了向量加法的概念，并給出了求作和向量的方法．如果河水的流速為2km/n，要想船以6km/n的速度垂直駛向?qū)Π?，如何求船本身的速度和方向呢?．與a______________的向量，叫做a的相反向量，記為________，零向量的相反向量是________．答案：長度相等、方向相反－a零向量2．－(－a)＝________，a＋(－a)＝________＝________．答案：a－a＋a03．____________________，叫做a與b的差，即a－b＝________，求兩個向量差的運算，叫做________________________________．答案：向量a加向量b的相反向量a＋(－b)向量的減法運算4．向量減法的幾何意義是____________________________．答案：a－b表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量(a，b的起點相同)5．由向量加減法的法則知，對于所有向量a，b，則||a|－|b||，|a±b|，|a|＋|b|的大小關(guān)系是_______________________________________________________________________________________________.答案：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|向量的減法1．向量減法的定義．向量的減法是向量加法的逆運算．若b＋x＝a，則向量x叫做a與b的差，記為a－b，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．2．向量減法運算的幾何意義．如圖，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．向量減法的三角形法則的內(nèi)容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同(否則無法相減)，這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點的向量．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))等于________．答案：－a－b2．已知六邊形ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(EF,\s\up6(→))等于________．答案：b－c3．已知向量a，b滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2,a與b的夾角為60°，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝________．答案：eq\r(3)4．已知下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；(4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)).其中結(jié)果為0的序號為________．答案：(1)，(4)5．化簡下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).解析：(1)原式＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).(2)原式＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)6．已知向量a的終點與向量b的起點重合，向量c的起點與向量b的終點重合，則下列結(jié)論正確的為________(填序號)．①以a的起點為終點，c的起點為起點的向量為－(a＋b)．②以a的起點為終點，c的終點為起點的向量為－a－b－c.③以b的起點為終點，c的終點為起點的向量為－b－c.答案：①②③7．若a≠0，且b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b所在直線的夾角．解析：如右圖，由|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.又∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，且在菱形OACB中，對角線OC平分∠BOA，∴a與a＋b所在直線的夾角為30°.8．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.解析：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD.則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.又四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為矩形，故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝8，由勾股定理得|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AD,\s\up6(→))|2))＝eq\r(62＋82)＝10.∴|a－b|＝10.9．如下圖，ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→)).解析：連接CN，∵N是AB的中點，∴AN綊DC.∴四邊形ANCD是平行四邊形，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b.又eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b.10．O是△ABC內(nèi)一點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.判斷O是△ABC的什么心．解析：O是△ABC的重心，如圖，延長CO至點D，使|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，交AB于點M.下面證明點M為線段AB的中點．事實上，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可知：點M為線段AB的中點．也就是說，CM為△ABC的中線．同理可證：AO、BO所在直線分別過△ABC相應(yīng)邊的中點．從而O是△ABC的重心．11．已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，試求△ABC的內(nèi)角A的度數(shù)．解析：由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，知點O為△ABC重心，又O為△ABC外接圓的圓心，即△ABC三邊垂直平分線的交點，∴△ABC為等邊三角形．∴A＝60°.12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜邊AB的中點，eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，求證；(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.解析：因為△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA＝CB.又因為M是斜邊AB的中點，所以CM＝AM＝BM.(1)因為a－b＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，又|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|，所以|a－b|＝|a|.(2)因為M是斜邊AB的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).所以a＋(a－b)＝eq\o(C