第6章離散信號與系統(tǒng)的時域分析

第

6

章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析

6.0

引言

氣象信號雖然是連續(xù)變化的，但氣象站每隔一小時測得的氣溫、風速等卻是離散信號；發(fā)射后的導彈高度變化是連續(xù)的，但雷達每隔一定時間測得的高度卻是離散信號；電影中演員的動作雖然是連續(xù)變化的，但每秒鐘拍攝的24張圖像信號卻是離散的信號。6.1

離散時間基本信號

一、離散時間信號

離散時間信號，簡稱離散信號，它是離散時間變量tk(k=0,±1,±2,…)的函數(shù)。信號僅在規(guī)定的離散時間點上有意義，而在其它時間則沒有定義。

若選取的離散瞬間是等間隔的，則一般常用f(kT)表示，其中k=0,±1,±2,…；T為離散間隔。一般把這種按一定規(guī)則有秩序排列的一系列數(shù)值稱為序列，簡記為f(k)。離散時間信號可用序列{f(k)}表示。比如二、離散時間基本信號

1.單位脈沖序列

定義

注意：單位脈沖序列與沖激函數(shù)有本質(zhì)的不同，在處有確定的值。

2.單位階躍序列

定義：

單位階躍序列與連續(xù)階躍信號的形狀相似，但在處躍變，其數(shù)值通常不予定義；而在處的值明確定義為1。

3.矩形序列

定義：

矩形序列又稱有限長脈沖序列，它在數(shù)字信號處理中經(jīng)常用到。4.指數(shù)序列該序列中，當時，序列按指數(shù)增長；當時，序列按指數(shù)衰減。當時，序列都取正值；時，序列值正、負相間擺動。

當5.正弦序列:一般形式為

：是正弦序列的數(shù)字（角）頻率，它反映了序列值依次周期重復的速率。

三、離散信號的運算1.相加兩個離散信號f1(k)和f2(k)相加是指它們同序號的值逐項對應相加，其和為一新的離散信號f(k)，即例如：與離散時間信號的相加可用加法器實現(xiàn)。的和如下圖所示。2.相乘兩個離散信號f1(k)和f2(k)相乘是指它們同序號的值逐項對應相乘，其積為一新的離散信號f(k),即

離散時間信號的相乘可用乘法器實現(xiàn)。3.移位移位是指將離散信號f(k)沿k軸逐項依次移m位而得到一新的離散信號y(k)，即m為大于零的整數(shù)。例如：4.折疊折疊是將離散信號f(k)中變量k用-k取代而得到一新的離散信號y(k)，即從圖形上看是將f(k)以縱坐標為軸翻轉(zhuǎn)。5.倒相倒相是將離散信號f(k)乘以-1后而得到的另一離散信號y(k)，即從圖形上可以看出,倒相是將f(k)以橫坐標為軸進行翻轉(zhuǎn)的一種變換。6.展縮展縮是指將離散信號f(k)在時間序號上進行壓縮或擴展，即式中，a為非零值的正實常數(shù)。若a＞1，則所得y(k)在時間上比f(k)壓縮a倍；若0＜a＜1，則y(k)比f(k)在時間序號上擴展了1/a倍。需要注意的是，對f(k)進行展縮變換后所得序列y(k)可能會出現(xiàn)k為非整數(shù)情況，在此情況下舍去這些非整數(shù)的k及其值。即可見y(k)比f(k)在時間序號上擴展了2倍。而y(k)比f(k)在時間序號上壓縮了1／2。對于離散信號壓縮后再展寬不能恢復原序列。

由于出現(xiàn)的非整數(shù)序號，故舍去該點及其值，所得結(jié)果應為7.差分離散時間信號的差分是指序列f(k)與其移位序列f(k±m(xù))的運算。一般有兩種：f(k)的后向差分，記

(一階前向差分)(一階后向差分)(二階后向差分)（2）f(k)的前向差分，記

(一階前向差分)四、離散信號的MATLAB表示

例6-1繪制離散正弦序列的波形如下。解MATLAB程序演示n=0:1:50;y1=sin(2*pi/18*k);y2=sin(2*pi/40*k);y3=sin(2*pi/pi*k);subplot(3,1,1),stem(k,y1,'.');subplot(3,1,2),stem(k,y2,'.');subplot(3,1,3),stem(k,y3,'.');一、卷積和的定義

兩個離散時間信號和的卷積和運算為如果f1(k)為因果序列，由于k＜0時，f1(k)=0，求和下限可改寫為零，即如果f2(k)為因果序列，而f1(k)不受限制，那么上式中，當(k-i)＜0，即i＞k時，因而和式的上限可改寫為k，也就是如果f1(k)和f2(k)均為因果序列，則有例：已知離散信號試求卷積解：設卷積和的計算結(jié)果為

第一步，畫出f1(k)、f2(k)圖形，分別如圖(a)、(b)所示。第二步，將f2(i)圖形以縱坐標為軸線翻轉(zhuǎn)180°，得到f2(-i)圖形，如圖(c)所示。

第三步，將f2(-i)圖形沿i軸左移(k＜0)或右移(k＞0)|k|個時間單位，得到f2(k-i)圖形。例如，當k=-1和k=1時，f2(k-i)圖形分別如圖(d)、(e)所示。第四步，對任一給定值k，再進行相乘、求和運算，得到序號為k的卷積和序列值f(k)。若令k由-∞至∞變化，f2(k-i)圖形將從-∞處開始沿i軸自左向右移動，并由定義計算求得卷積和序列f(k)。對于本例中給定的f1(k)和f2(k)，具體計算過程如下：同理可得所以其卷積和為

二、卷積和的性質(zhì)

性質(zhì)1離散信號的卷積和運算服從交換律、結(jié)合律和分配律，即交換律：結(jié)合律：分配律：性質(zhì)2任一序列f(k)與單位脈沖序列δ(k)的卷積和等于序列f(k)本身，即性質(zhì)3

若，則

三、常用序列的卷積和公式

四、基于MATLAB的離散卷積和的計算例6-5若，到，，求kf=5:30;kf=length(kf);%確定f(k)的序號向量和區(qū)間長度f=0.8.^(kf-5);%確定f(k)序列值kh=0:9;Kh=length(nh);%確定h(k)的序號向量和區(qū)間長度k=ones(1,Kh);;%確定h(k)序列值left=kf(1)+kh(1);%確定卷積序列的起點right=kf(Kf)+kh(Kh);%確定卷積序列的終點y=conv(f,h);%計算f(k)和x(k)的卷積subplot(3,1,1),stem(kf,f,'filled');%繪制f(k)的圖形axis([04001]);subplot(3,1,2),stem(kh,h,'filled');%繪制x(k)的圖形axis([04001.1]);subplot(3,1,3),stem(left:right,y,'filled');%繪制y(k)的圖形axis([04005]);

一、LTI離散時間系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號均是離散時間信號，則稱該系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng)。即離散時間系統(tǒng)的特性（1）線性離散時間系統(tǒng)與非線性離散時間系統(tǒng)若，則對于任意常數(shù)a有這樣的離散時間系統(tǒng)滿足齊次性特性。若，則這樣的離散時間系統(tǒng)滿足疊加性特性既滿足齊次性又滿足疊加性的離散時間系統(tǒng)稱為線性離散時間系統(tǒng)，否則為非線性時間系統(tǒng)

對于任意常數(shù)a和b有(2)時不變離散時間系統(tǒng)和時變離散時間系統(tǒng)設離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關系為恒有(3)因果離散時間系統(tǒng)和非因果離散時間系統(tǒng)如果系統(tǒng)始終不會在輸入加入之前產(chǎn)生響應，這種系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)，否則稱為非因果系統(tǒng)。

例如，有三個系統(tǒng)的輸入輸出關系如下：根據(jù)定義容易驗證：系統(tǒng)1是線性時變離散時間系統(tǒng)，系統(tǒng)2是非線性時不變離散時間系統(tǒng)，而系統(tǒng)3是線性時不變離散時間系統(tǒng)。二、離散系統(tǒng)方程

簡記為對于線性時不變差分方程而言，其基本運算單元為延遲器（或稱移位器）、常數(shù)乘法器和加法器。例：設離散系統(tǒng)常微分表示如下：三、基于MATLAB的離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應的求解

求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。<分析>在MATLAB程序中，零狀態(tài)響應可以用MATLAB函數(shù)fliter<解>建模離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應表達為：

MATLAB程序演示>>a=[1430.5];>>b=[3-42];>>u=3*exp(0.2*[1:50]);>>y=filter(b,a,u);>>stem(y)程序運行結(jié)果四、基于MATLAB的

離散系統(tǒng)單位脈沖響應的求解

例：設離散系統(tǒng)常微分表示如下：求該系統(tǒng)的單位脈沖響應。<分析>在MATLAB程序中，單位脈沖響應可以用MATLAB函數(shù)dimpulse<解>MATLAB程序演示>>num=[12];>>den=[1-10.8];>>y=dimpulse(num,den,100);>>stem(y);程序運行結(jié)果五、離散系統(tǒng)差分方程的響應

離散系統(tǒng)的完全響應由零輸入響應和零狀態(tài)響應兩部分組成，即1、零輸入響應：是由系統(tǒng)的初狀態(tài)引起的。例：設有如如下一階差分方程，求在某初始狀態(tài)下的零輸入響應。

解：首先說明，離散系統(tǒng)的零輸入響應通常是指以后的響應，故初始狀態(tài)是指，，各值，這里設原方程改寫為是公比為的等比級數(shù)，故零輸入響應有如下形式一階系統(tǒng)零輸入響應具有指數(shù)序列的形式，它是由系統(tǒng)的特征根決定的。本例中，特征方程為故其特征根例7-11設有二階離散系統(tǒng)初始狀態(tài)試求系統(tǒng)在時的零輸入響應。