高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1章6

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．關(guān)于定積分m＝eq\i\in(0,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))dx，下列說法正確的是()A．被積函數(shù)為y＝－eq\f(1,3)xB．被積函數(shù)為y＝－eq\f(1,3)C．被積函數(shù)為y＝－eq\f(1,3)x＋CD．被積函數(shù)為y＝－eq\f(1,3)x3【解析】被積函數(shù)為y＝－eq\f(1,3).【答案】B2．(2023·菏澤高二檢測)已知定積分eq\i\in(0,6,)f(x)dx＝8，且f(x)為偶函數(shù)，則eq\i\in(-6,6,)f(x)dx＝()A．0 B．16C．12 D．8【解析】偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故eq\i\in(-6,6,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,6,)f(x)dx＝16，故選B.【答案】B3．當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值可以用下列哪個(gè)值近似代替()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n))) D．f(0)【解析】當(dāng)n很大時(shí)，f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值可用該區(qū)間上任何一點(diǎn)的函數(shù)值近似代替，顯然可以用左端點(diǎn)或右端點(diǎn)的函數(shù)值近似代替．【答案】C4．下列各陰影部分的面積S不可以用S＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx求出的是()【解析】定積分S＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx的幾何意義是求函數(shù)f(x)與g(x)之間的陰影部分的面積，必須注意f(x)的圖象要在g(x)的圖象上方，對照各選項(xiàng)，知D中f(x)的圖象不全在g(x)的圖象上方．【答案】D5．定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的大小()A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān)C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān)D．與f(x)，積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)【解析】定積分的大小與被積函數(shù)以及區(qū)間有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)．【答案】A二、填空題6．(2023·長春高二檢測)定積分eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝__________.【解析】由定積分的幾何意義知，定積分eq\i\in(1,3,)(－3)dx表示由x＝1，x＝3與y＝－3，y＝0所圍成圖形面積的相反數(shù)．所以eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝－(2×3)＝－6.【答案】－67．定積分eq\i\in(-1,2,)|x|dx＝__________.【導(dǎo)學(xué)號：05410030】【解析】如圖，eq\i\in(-1,2,)|x|dx＝eq\f(1,2)＋2＝eq\f(5,2).【答案】eq\f(5,2)8．曲線y＝eq\f(1,x)與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形面積用定積分可表示為________．【解析】如圖所示，陰影部分的面積可表示為eq\i\in(1,2,)xdx－eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx.【答案】eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx三、解答題9．(2023·濟(jì)南高二檢測)已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.【解】(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)x3dx＋\i\in(1,2,)x3dx))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx＝6eq\i\in(1,4,)x2dx＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(1,2,)x2dx＋\i\in(2,4,)x2dx))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).10．利用定積分的幾何意義，求eq\i\in(-1,1,)eq\r(1－x2)dx的值．【解】y＝eq\r(1－x2)(－1≤x≤1)表示圓x2＋y2＝1在x軸上方的半圓(含圓與x軸的交點(diǎn))．根據(jù)定積分的幾何意義，知eq\i\in(-1,1,)eq\r(1－x2)dx表示由曲線y＝eq\r(1－x2)與直線x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積，所以eq\i\in(-1,1,)eq\r(1－x2)dx＝S半圓＝eq\f(1,2)π.[能力提升]1．(2023·黃岡高二檢測)設(shè)曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉區(qū)域的面積為S，則下列等式成立的是()A．S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x)dxB．S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dxC．S＝eq\i\in(0,1,)(y2－y)dyD．S＝eq\i\in(0,1,)(y－eq\r(y))dy【解析】作出圖形如圖，由定積分的幾何意義知，S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx，選B.【答案】B2．已知和式S＝eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)(p>0)，當(dāng)n趨向于∞時(shí)，S無限趨向于一個(gè)常數(shù)A，則A可用定積分表示為()\i\in(0,1,)eq\s\up10(\f(1,x))dx \i\in(0,1,)xpdx\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))pdx \i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,n)))pdx【解析】S＝eq\f(1,n)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))p))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))p＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)))p＋…＋eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n)))p))＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))p·eq\f(1,n)，∴eq\o(lim,\s\do14(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))p·eq\f(1,n)＝eq\i\in(0,1,)xpdx.【答案】B3．(2023·深圳高二檢測)定積分eq\i\in(2016,2017,)2017dx＝________________.【導(dǎo)學(xué)號：05410031】【解析】由定積分的幾何意義知，定積分表示由直線x＝2016，x＝2017與y＝2017，y＝0所圍成矩形的面積，所以eq\i\in(2016,2017,)2017dx＝(2017－2016)×2017＝2017.【答案】20174．彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力F(x)＝kx(k為常數(shù)，x是伸長量)，求將彈簧從平衡位置拉長b所做的功．【解】將物體用常力F沿力的方向拖動距離x，則所做的功W＝F·x.(1)分割在區(qū)間[0，b]上等間隔地插入n－1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間[0，b]等分成n個(gè)小區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(b,n)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(b,n)，\f(2b,n)))，…，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n－1b,n)，b))，記第i個(gè)區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1b,n)，\f(i·b,n)))(i＝1,2，…，n)，其長度為Δx＝eq\f(i·b,n)－eq\f(i－1b,n)＝eq\f(b,n).把在分段eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(b,n)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(b,n)，\f(2b,n)))，…，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n－1b,n)，b))上所做的功分別記作：ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.(2)近似代替取各小區(qū)間的右端點(diǎn)函數(shù)值作為小矩形的高，由條件知：ΔWi≈Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1b,n)))·Δx＝k·eq\f(i－1b,n)·eq\f(b,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和Wn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Wi≈eq\i\su(i＝1,n,k)·eq\f(i－1b,n)·eq\f(b,n)＝eq\f(kb2,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝eq\f(kb2,n2)×eq\f(nn－1,2)＝eq\f(kb2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n))).從而得到W的近似值W≈Wn＝eq\f(kb2,2)eq\