第七章控制系統的校正

7.1串聯校正串聯校正(SeriesCompensation)將校正裝置Gc(s)串接在系統的前向通道中，如圖7-1所示。串聯校正裝置的參數設計是根據系統固有部分的傳遞函數G0(s)和對系統的性能指標要求來進行的。第7章自動控制系統的校正圖7-1串聯校正

1.串聯超前校正(SeriesPhase-LeadCompensation)

若校正裝置具有超前的相頻特性，即輸出信號的相位超前于輸入信號的相位，則稱它為超前校正裝置。1)超前校正裝置(Phase-LeadCompensator)(1)無源超前校正裝置。圖7-2所示為一個由RC元件組成的無源超前校正裝置，它的傳遞函數為圖7-2無源超前校正裝置其中:校正裝置的放大倍數1/α<1，這將會影響到系統的穩(wěn)態(tài)精度，因而一般再增加一個放大倍數為α的放大環(huán)節(jié)，這樣校正裝置的傳遞函數為(7-1)圖7-3超前校正裝置的伯德圖

Gc(s)的伯德圖如圖7-3所示。兩個轉折頻率為ω1=1/(αT)，ω2=1/T。當ω>ω2時,L(ω)=20lgωαT-20lgωT=20lgα。校正裝置的幅相頻率特性曲線如圖7-4所示。圖7-4超前校正裝置的幅相頻率特性曲線由式(7-1)可求得該校正裝置的相頻特性表達式為φ(ω)=arctan(αωT)-arctan(ωT)(7-2)

由于α>1，故當0<ω<∞時，φ(ω)>0。這表示該校正裝置輸出信號的相位總是超前輸入信號的相位，因而稱其為超前校正裝置。由圖7-3可見，在ω=ωm時，Gc(jω)有最大的超前相角φm。令dφ(ω)/dω=0，可求得(7-3)式(7-3)表示ωm處于轉折頻率1/T和1/(αT)的幾何平均值處。根據極坐標圖7-4，可求出最大超前相角為也可寫為或寫為(7-4)(7-5)(7-6)(2)有源超前校正裝置。將RC電路構成的無源校正裝置連接于系統之后，由于負載效應的影響，常會削弱其校正作用，或使得校正裝置的參數選擇比較困難。因而，在實際的控制系統中，大多采用由運算放大器構成的有源校正裝置。有源超前校正裝置可由圖7-5所示的電路實現。由圖7-5可見，有圖7-5有源超前校正裝置其中：故有(7-7)式中：令αT=τ，即有并使Kc=1，則式(7-7)就成為(7-8)2)超前校正裝置的設計（不做要求））超前校正利用校正裝置的相位超前特性來增加系統的相位穩(wěn)定裕量，利用校正裝置幅頻特性曲線的正斜率段來增加系統的穿越頻率，從而改善系統的平穩(wěn)性和快速性。為此，要求校正裝置的最大超前相角φm出現在系統新的穿越頻率ω′c處。超前校正裝置設計的一般步驟如下：（1）根據系統穩(wěn)態(tài)精度指標的要求，確定系統開環(huán)增益K。（2）根據確定的開環(huán)增益K，繪制原系統的伯德圖L0(ω)和φ0(ω)，并確定其相位裕量γ。（3）根據性能指標要求的相位裕量γ′和實際系統的相位裕量γ，確定校正裝置的最大超前相角φm，即

φm=γ′-γ+Δ(7-9)其中，Δ是用于補償因超前校正裝置的引入，使系統的穿越頻率增大而帶來的相位滯后量。一般情況下，如果原系統的開環(huán)對數幅頻特性在穿越頻率ωc處的斜率為-40dB/dec，則Δ取值為5°～12°；如果在ωc處的斜率為-60dB/dec，則Δ取值為15°～20°。（4）根據所確定的φm，按式(7-6)計算出α值。（5）在原系統對數幅頻特性曲線L0(ω)上找到幅頻值為-10lgα的點，選定對應的頻率為超前校正裝置的ωm，也就是校正后系統的穿越頻率ω′c。這樣做的道理是：由圖7-3知，超前校正裝置在ωm處的對數幅頻值為(7-10)在L０(ω)上找到幅頻值為-10lgα的點后，則在該點處，Lc(ω)與L0(ω)的代數和為0dB，即該點頻率既是選定的ωm，也是校正后系統的穿越頻率ω′c。（6）根據選定的ωm確定校正裝置的轉折頻率，并畫出校正裝置的伯德圖。

由式(7-3)可得校正裝置的兩個轉折頻率為(7-11)

（7）畫出校正后系統的伯德圖，并校驗系統的相位裕量γ′是否滿足要求。如果不滿足要求，則增大Δ值，從步驟（3）開始重新計算。圖7-6例1系統結構圖【例1】設某系統結構如圖7-6所示，要求系統的速度誤差系數Kv≥20，相位穩(wěn)定裕量γ′≥50°,為滿足系統性能指標的要求，試設計超前校正裝置的參數。解（1）根據系統穩(wěn)態(tài)精度指標的要求，確定開環(huán)增益K。

K=Kv=20原系統的開環(huán)傳遞函數為圖7-7例1系統的伯德圖（2）畫出原系統的伯德圖，如圖7-7中的L0(ω)及φ0(ω)所示。其中20lgK=20lg20=26dB。從圖中可以看出，該系統的穿越頻率ωc=6.2rad/s，相位穩(wěn)定裕量γ=17°，不滿足要求。（3）根據性能指標要求確定φm。

φm=γ′-γ+Δ=50°-17°+5°=38°（4）由式（7-6）求得

（5）超前校正裝置在ωm處的對數幅頻值為

Lc(ωm)=10lgα=10lg4.2=6.2dB

在原系統對數幅頻特性曲線上找到-6.2dB處，選定對應的頻率ω=9rad/s為ωm，即ω′c。（6）計算超前校正裝置的轉折頻率，并作出其伯德圖。由式(7-11)可求得轉折頻率因而可算出另一轉折頻率所以校正裝置的傳遞函數為畫出超前校正裝置的伯德圖，如圖7-7中的Lc(ω)及φc(ω)所示。（7）校正后系統的開環(huán)傳遞函數為校正后系統的伯德圖如圖7-7中的L(ω)及φ(ω)所示。由圖可見，校正后系統的相位裕量γ′=50°，滿足了設計要求。若采用圖7-2所示的無源超前校正裝置來實現上述設計，則可根據綜上所述，超前校正有如下特點：

(1)超前校正主要針對系統頻率特性的中頻段進行校正，使校正后對數幅頻特性曲線的中頻段斜率為-20dB/dec，并有足夠的相位裕量。(2)超前校正會使系統的穿越頻率增加，這表明校正后系統的頻帶變寬，動態(tài)響應速度變快，但系統抗高頻干擾的能力也變差。

(3)超前校正很難使原系統的低頻特性得到改善，若想用提高增益的辦法使低頻段上移，則由于整個對數幅頻特性曲線的上移，將使系統的平穩(wěn)性變差，抗高頻噪聲的能力也將被削弱。(4)當原系統的對數相頻特性曲線在穿越頻率附近急劇下降時，由穿越頻率的增加而帶來的系統的相位滯后量，將超過由校正裝置所能提供的相位超前量。此時，若用單級的超前校正裝置來校正，將收效不大。(5)超前校正主要用于系統的穩(wěn)態(tài)性能已滿足要求，而動態(tài)性能有待改善的場合。

2.串聯滯后校正(SeriesPhase-LagCompensation)

1)滯后校正裝置(Phase-LagCompensator)(1)無源滯后校正裝置。由RC電路構成的無源滯后校正裝置如圖7-8所示，其傳遞函數為(7-12)(7-13)其中：根據傳遞函數可畫出滯后校正裝置的伯德圖，如圖7-9所示。圖7-8無源滯后校正裝置圖7-9無源滯后校正裝置的伯德圖由圖7-9可見，校正裝置輸出量的相位總是滯后于輸入量的相位，故稱其為滯后校正裝置。此外，圖7-9中的對數幅頻特性漸近線還顯示了這種校正裝置具有低通濾波器的性能，高頻時，其幅值的衰減量為β。從形式上看，式(7-12)與式(7-1)是一樣的，因此與超前校正裝置類似，有(7-14)即滯后校正裝置的最大滯后相角φm位于轉折頻率ω1=1/T和ω2=1/(βT)的幾何中點ωm處，其大小為

(7-15)(2)有源滯后校正裝置。有源滯后校正裝置可由圖7-10所示的電路實現。

由圖7-10可見，有圖7-10有源滯后校正裝置故有(7-16)式中：令βT=τ，即有并使Kc=1，則式(5-16)就成為(7-17)

2)滯后校正裝置的設計（不做要求）滯后校正不是利用校正裝置的相位滯后特性，而是利用其幅頻特性曲線的負斜率段，即幅值的高頻衰減特性對系統進行校正的。它使得原系統幅頻特性曲線的中頻段和高頻段降低，穿越頻率減小，從而使系統獲得足夠大的相位裕量，但快速性變差。滯后校正裝置設計的一般步驟如下：（1）根據穩(wěn)態(tài)精度指標要求，確定開環(huán)增益K。（2）根據確定的K值，繪制原系統的伯德圖，并確定原系統的相位裕量γ。（3）若原系統的相位裕量不滿足要求，則從原系統的相頻特性曲線上找到一點，該點處相角為φ=-180°+γ′+Δ(7-18)（4）量得原系統在ω′c處的對數幅頻值L0(ω′c)，并設L0(ω′c)=-20lgβ，由此可解得β值。（5）計算滯后校正裝置的轉折頻率，并作出其伯德圖。為了避免φm出現在ω′c附近而影響系統的相位裕量，應使校正裝置的轉折頻率遠小于ω′c。一般取轉折頻率(7-19)(7-20)則另一個轉折頻率（6）畫出校正后系統的伯德圖，并校核相位裕量。圖7-11例2系統結構圖【例2】設某系統結構如圖7-11所示。要求系統的速度誤差系數Kv≥5，相位裕量γ′≥40°,試設計滯后校正裝置。圖7-12例2系統的伯德圖

綜上所述，滯后校正有如下特點：

(1)滯后校正是利用校正裝置在高頻段造成的幅值衰減，使系統幅頻特性曲線的中頻段和高頻段下移，使系統的相位裕量增加，但同時也會使系統的穿越頻率減小。(2)滯后校正沒有改變原系統低頻段的特性，往往還允許增加開環(huán)增益，從而可改善系統的穩(wěn)態(tài)精度。(3)由于滯后校正使得系統的高頻幅值降低，因而其抗高頻干擾的能力得到加強。(4)滯后校正主要用于需提高系統穩(wěn)定性或者穩(wěn)態(tài)精度有待改善的場合。3.串聯滯后-超前校正(SeriesPhase-Lag-LeadCompensation)通過前面的分析知道，只采用超前校正或滯后校正難以同時滿足系統的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求。而采用滯后-超前校正則能同時改善系統的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，滿足較高的性能要求。圖7-13無源滯后-超前校正裝置1)滯后-超前校正裝置(Phase-Lag-LeadCompensator)(1)無源滯后-超前校正裝置。由RC電路構成的無源滯后-超前校正裝置如圖7-13所示。其傳遞函數為(7-21)式中：T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2。將式(7-21)的分母分解為兩個因式的乘積，即(7-22)比較式（7-22）與式（7-21）的分母，有設則有(7-23)傳遞函數式(7-22)亦可寫成圖7-14滯后-超前校正裝置的伯德圖(2)有源滯后-超前校正裝置。有源滯后-超前校正裝置可由如圖7-15所示的電路實現。由圖7-15可見，有(7-25)式中：Kc=(R2+R3)/R1，T0=R2C1，T1=R2R3/(R2+R3)C1，T2=(R3+R4)C2,T3=R4C2,并取R1=R0。圖7-15有源滯后-超前校正裝置適當選擇參數，使T1>T2，則有

T0>T1>T2>T3(7-26)

設(7-27)并使Kc=1，則式（5-25）可寫成(7-28)2)滯后-超前校正裝置的設計如果原系統不穩(wěn)定，而對校正后系統的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能均有較高的要求，則宜采用滯后-超前校正。它實質上是綜合了滯后和超前校正各自的特點，即利用校正裝置的超前部分來增大系統的相位裕量，以改善其動態(tài)性能；利用校正裝置的滯后部分來改善系統的穩(wěn)態(tài)性能。兩者分工明確，相輔相成，達到了同時改善系統動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的目的?！纠?】設單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為要求校正后的系統滿足下列性能指標：相位裕量γ′=50°；幅值裕量20lgKg≥10dB；靜態(tài)速度誤差系數Kv≥10。試設計滯后-超前校正裝置。

圖7-16例3系統的伯德圖

4.調節(jié)器(Adjustor)

在工業(yè)自動化控制系統中，常采用由比例、積分、微分單元構成的組合型校正裝置作為系統的調節(jié)器。這些調節(jié)器是串接在系統前向通道中的，因而起著串聯校正的作用。以上對串聯校正裝置的介紹主要是根據其相頻特性的超前或滯后來劃分的，而以下對調節(jié)器的劃分則主要是從其數學模型的構成來考慮的，通過下面的分析可以看到，二者之間是有內在聯系的。

具有調節(jié)器的控制系統的結構如圖7-17所示。圖中，Gc(s)為調節(jié)器的傳遞函數，G0(s)為系統（裝置）固有部分的傳遞函數。1)P（比例）調節(jié)器(ProportionalAdjustor)

若調節(jié)器由比例放大器構成，即其傳遞函數為Gc(s)=Kc(7-29)

則稱該調節(jié)器為比例調節(jié)器，簡稱P調節(jié)器。圖7-17具有調節(jié)器的控制系統的結構2)PD(比例-微分)調節(jié)器(Proportional-DerivativeAdjustor)比例-微分調節(jié)器簡稱PD調節(jié)器?？捎扇鐖D7-18所示的運算放大器電路構成PD調節(jié)器，其傳遞函數為(7-30)式中:Kc=R2/R1,τ=R1C。對應的伯德圖如圖7-19所示。

圖7-18PD調節(jié)器圖7-19PD調節(jié)器的伯德圖3)PI(比例-積分)調節(jié)器(Proportional-IntegralAdjustor)比例-積分調節(jié)器簡稱PI調節(jié)器，它在實際工程中得到了廣泛的應用。

PI調節(jié)器可由如圖7-20所示的運算放大器電路構成，它的傳遞函數為(7-31)式中:Kc=R2/R1，τ1=R2C。對應的伯德圖如圖7-21所示。圖7-20PI調節(jié)器圖7-21PI調節(jié)器的伯德圖圖5-22例4系統結構圖【例4】某單位負反饋控制系統如圖7-22所示。已知K0=3.2，T1=0.33s，T2=0.036s。要求：校正后系統在階躍信號輸入下無靜差，同時γ′≥60°，ω′c≥9rad/s。解由系統固有部分的傳遞函數G0(s)可見，校正之前系統為0型系統，因而在階躍信號輸入下是有靜差的，不符合題目要求。由圖7-22所示，引入PI調節(jié)器進行校正，為分析方便，取PI調節(jié)器參數τ1=T1=0.33s，Kc=1.3。繪出系統伯德圖,如圖7-23所示。圖7-23例4系統伯德圖圖7-23中，L0(ω)及φ0(ω)為系統固有部分的伯德圖，其穿越頻率為ωc=9.5rad/s，相應的相位裕量為γ=180°-arctan(T1ωc)-arctan(T2ωc)=88°

Lc(ω)及φc(ω)為PI調節(jié)器的伯德圖，Lc(ω)的轉折頻率為ω1=1/τ1≈3，其水平線的高度為20lgKc=20lg1.3=2.3dB。L(ω)及φ(ω)為校正后系統的伯德圖，其穿越頻率為ω′c=13rad/s，相位裕量為γ′=180°-90°-arctan(T2ω′c)=65°圖7-24例5系統結構圖【例5】某調速系統結構圖如圖5-24所示。已知K0=55.58，T1=0.049s，T2=0.026s，Ts=0.00167s。要求采用PI調節(jié)器進行校正，使系統實現階躍信號輸入下無靜差，并具有足夠的穩(wěn)定裕量。圖7-25例5系統伯德圖圖7-26PID調節(jié)器圖7-27PID調節(jié)器的伯德圖圖7-28反饋校正在系統中的位置在自動控制系統中，為了改善控制系統的性能，除了采用串聯校正外，反饋校正(FeedbackCompensation)也是常采用的校正形式之一。反饋校正在系統中的位置如圖7-28所示。7.2反饋校正在反饋校正方式中，校正裝置Gc(s)反饋包圍了系統的部分環(huán)節(jié)（或部件），它同樣可以改變系統的結構、參數和性能，使系統的性能達到所要求的性能指標。通常，反饋校正又可分為硬反饋和軟反饋。硬反饋校正裝置的主體是比例環(huán)節(jié)（可能還含有小慣性環(huán)節(jié)），它在系統的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程中都起反饋校正作用。軟反饋校正裝置的主體是微分環(huán)節(jié)（可能還含有小慣性環(huán)節(jié)），它的特點是只在動態(tài)過程中起校正作用，而在穩(wěn)態(tài)時，相當于開路，不起作用。反饋校正對典型環(huán)節(jié)性能的影響：結論：環(huán)節(jié)(或部件)經反饋校正后，不僅參數發(fā)生了變化，甚至環(huán)節(jié)(或部件)的結構和性質也可能發(fā)生改變

此外，反饋校正還有一個重要的特點：反饋校正回路中，若反饋校正回路的增益|G2(s)Gc(s)|>>1，則(7-33)此時，該局部反饋回路的特性完全取決于反饋校正裝置

。因此，當系統中某些元件的特性或參數不穩(wěn)定時，常常用反饋校正裝置將它們包圍，以削弱這些元件對系統性能的影響。圖7-33具有位置負反饋和轉速負反饋的隨動系統方框圖【例3】圖7-33為具有位置負反饋和轉速負反饋的隨動系統的方框圖。圖中:檢測電位器常數K1=0.1Ｖ／°；功放及電動機轉速總增益K2=400r·min

-1/V；電動機機電時間常數Tm=0.2s；電動機及齒輪箱的轉速-位移常數K3=0.5°/［(r·min

-1)s］；轉速反饋系數α=0.005V/(r·min

-1)。試分析增設轉速負反饋（反饋校正）對系統性能的影響。圖7-34轉速負反饋對隨動系統動態(tài)性能的影響7.3順饋補償在前面的分析中，已經介紹了系統工作時存在著兩種誤差：取決于輸入量的跟隨誤差er(t)和取決于擾動量的擾動誤差en(t)。為了分析的方便，以如圖7-35所示的典型單位反饋控制系統為例，得出兩種誤差的拉氏式分別為:跟隨誤差（拉氏式）(7-34)(7-35)擾動誤差（拉氏式）式中，G1(s)為擾動量作用點前的前向通路中的傳遞函數；G2(s)為擾動量作用點后的前向通路中的傳遞函數。圖7-35典型單位反饋系統方框圖

1.擾動順饋補償當作用于系統的擾動量可以直接或間接地獲得時，可采用如圖7-36所示的復合控制。圖7-36具有擾動順饋補償的復合控制在如圖7-36所示的系統中，將獲得的擾動量信號N(s)經過擾動量檢測器(其傳遞函數為Gn(s))變換后送到系統控制器的輸入端。在如圖7-36所示的系統中，若無擾動順饋補償，則由擾動量產生的系統誤差為當增設擾動順饋補償后，系統誤差變?yōu)?7-36)擾動誤差全補償的條件是(7-37)

2.輸入順饋補償當系統的輸入量可以直接或間接地獲得時，可采用如圖7-37所示的復合控制。圖7-37具有輸入順饋補償的復合控制在如圖7-37所示的系統中，將獲得的輸入量信號R(s)，經過輸入量檢測器(其傳遞函數為Gr(s))變換后送往系統控制器的輸入端。若無輸入順饋補償，由輸入量產生的跟隨誤差由式（7-34）可知當增設輸入順饋補償后，系統誤差變?yōu)?7-38)對應跟隨誤差全補償的條件是(7-39)習題

7-1什么叫系統校正？系統校正有哪些類型？7-2比例串聯校正調整的是什么參數?它對系統的性能產生什么影響？7-3比例-微分串聯校正調整系統的什么參數?它對系統的性能產生什么影響？7-4比例-積分串聯校正調整系統的什么參數?它使系統在結構方面發(fā)生怎樣的變化？它對系統的性能產生什么影響？7-5比例-積分-微分串聯校正調整系統的什么參數?它使系統在結構方面發(fā)生怎樣的變化？它對系統的性能產生什么影響？7-6為什么PID校正稱為相位滯后-超前校正，而不稱為相位超前-滯后校正？相位既滯后又超前，能否相互抵消？能不能將這種校正更改為相位超前-滯后校正？若作這樣的變化，對系統又會產生怎樣的影響？7-7在自動控制系統中，若串聯校正裝置的傳遞函數為

問這屬于哪一類校正？試定性分析它對系統性能的影響？7-8采用擾動順饋（或給定順饋）補償能否減少系統啟動時的最大超調量？為什么？7-9試比較相位超前校正、相位滯后校正和相位滯后-超