工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析

工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析第一頁，共十九頁，2022年，8月28日§3.1

工業(yè)機器人速度雅可比與速度分析第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析一、工業(yè)機器人速度雅可比矩陣

數(shù)學上,雅可比矩陣(JacobianMatrix)是一個多元函數(shù)的偏導矩陣。假設有六個函數(shù),每個函數(shù)有六個變量,即(3.1)

第二頁，共十九頁，2022年，8月28日可寫成

Y=F(X)

可簡寫成

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析將其微分,得

(3.2)

(3.3)

式中,(6×6)矩陣

稱為雅可比矩陣。

第三頁，共十九頁，2022年，8月28日即

以二自由度平面關節(jié)機器人為例,如圖3-1所示,機器人的手部坐標(x,y)相對于關節(jié)變量(θ1,θ2)有圖3-1二自由度平面關節(jié)機器人

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析(3.5)

(3.4)

第四頁，共十九頁，2022年，8月28日

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析求微分有

(3.6)

寫成矩陣為

(3.7)

第五頁，共十九頁，2022年，8月28日

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析令

(3.8)

則式(3.8)可簡寫為

dX=Jdθ

(3.9)

式中,

第六頁，共十九頁，2022年，8月28日

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析由此可求得

(3.10)

對于n自由度機器人,由X=X(q)可知,

其中J(q)是(6×n)的偏導數(shù)矩陣,稱為n自由度機器人速度雅可比矩陣。

dX=J(q)dq

(3.11)

矩陣的第i行第j列元素為第七頁，共十九頁，2022年，8月28日二、工業(yè)機器人速度分析

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析把式(3.11)兩邊各除以dt,得

(3.12)其中:V——機器人末端在操作空間中的廣義速度,V=X;J(q)——速度雅可比矩陣;q—機器人關節(jié)在關節(jié)空間中的關節(jié)速度。

或

V=J(q)q

(3.13)

第八頁，共十九頁，2022年，8月28日

若把J(q)矩陣的第1列與第2列矢量記為J1、J2,則3-13式有V=J1θ1+J2θ2,說明機器人速度雅可比的每一列表示其它關節(jié)不動而某一關節(jié)運動時產生的端點速度。

二自由度手部速度為(3.14)

若已知關節(jié)上θ1與θ2是時間的函數(shù),θ1=f1(t),θ2=f2(t),則可求出該機器人手部在某一時刻的速度V=f(t),即手部瞬時速度。反之,給定機器人手部速度,可由V=J(q)q解出相應的關節(jié)速度，q=J-1V，式中J-1為機器人逆速度雅可比矩陣。.

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析第九頁，共十九頁，2022年，8月28日

逆速度雅可比J-1出現(xiàn)奇異解的情況如下:

①工作域邊界上的奇異:

機器人手臂全部伸開或全部折回時,叫奇異形位。該位置產生的解稱為工作域邊界上的奇異。②工作域內部奇異:機器人兩個或多個關節(jié)軸線重合引起的奇異。當出現(xiàn)奇異形位時,會產生退化現(xiàn)象,即在某空間某個方向(或子域)上,不管機器人關節(jié)速度怎樣選擇,手部也不可能動。

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析第十頁，共十九頁，2022年，8月28日由式q=J-1V可得，，且，即vx=1m/s，vy=0，因此，可得：

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析解：由公式3.10知，二自由度機械手速度雅可比為因此，逆雅可比為例3-1如圖3-2所示，二自由度機械手，手部沿固定坐標系X0軸正向以1.0m/s速度移動，桿長為l1=l2=0.5m。設在某瞬間時θ1=30°，θ2=-60°，求相應瞬間的關節(jié)速度。圖3-2二自由度機械手手爪沿X0方向運動Y0X0Y2X2l1l2θ1θ2v2第十一頁，共十九頁，2022年，8月28日

綜上所述，在該瞬時，兩關節(jié)的位置和速度分別為θ1=30°，θ2=-60°，θ1=-2rad/s，θ2=4rad/s，手部瞬時速度為1m/s。

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析奇異討論：當l1l2s2=0時，上式無解。第十二頁，共十九頁，2022年，8月28日一.機器人力雅可比矩陣

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析§3.2工業(yè)機器人力雅可比與靜力計算(3.15)

其中:τ——廣義關節(jié)力矩;F——機器人手部端點力;JT——(n×6)階機器人力雅可比矩陣,簡稱力雅可比。

假定關節(jié)無摩擦,忽略各桿件的重力,

則有第十三頁，共十九頁，2022年，8月28日

式(3.15)可用虛功原理證明。證明:如圖3-4所示,各個關節(jié)的虛位移組成機器人關節(jié)虛位移矢量δqi;末端操作器的虛位移矢量為δX,由線虛位移d矢量和角虛位移δ矢量組成。(3.16)

δq=［δq1δq2

…δqn］T

(3.17)

圖3-4關節(jié)及末端操作虛位移

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析第十四頁，共十九頁，2022年，8月28日

設發(fā)生上述虛位移時,各關節(jié)力為τi(i=1,2,…，n),環(huán)境作用在機器人手部端點上的力和力矩分別為-f和-n,由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出:δW=τ1δq1+τ2δq2+…+τnδqn-fd-nδ

(3.18)

或寫成

δW=τTδq-FTδX

(3.19)

根據虛位移原理,機器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對任意的符合幾何約束的虛位移,有δW=0,又因dX=Jdq,代入得δW=τTδq-FTδX=τTδq-FTJδq=[τ-JTF]Tδq

(3.20)

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析第十五頁，共十九頁，2022年，8月28日式中,δq表示幾何上允許位移的關節(jié)獨立變量,對任意的δq,欲使δW=0成立,必有τ=JTF

(3.21)

式中,JT與手部端點力和廣義關節(jié)力矩之間的力傳遞有關,稱為機器人力雅克比。機器人力雅克比正好是速度雅克比的轉置。

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析第十六頁，共十九頁，2022年，8月28日二.機器人靜力計算的兩類問題

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析

從操作臂手部端點力F與廣義關節(jié)力矩τ之間的關系式τ=JTF可知,操作臂靜力計算可分為兩類:

(1)已知外界對手部作用力F′,求滿足靜力平衡條件的關節(jié)驅動力矩τ(τ=JTF)。

(2)已知關節(jié)驅動力矩τ,確定機器人手部對外界環(huán)境的作用力F或負荷質量(逆解,即求解F=(JT)-1τ)。當自由度n>6時,力雅可比可能不是方陣,JT沒有逆解,一般情況下不一定能得到惟一的解。第十七頁，共十九頁，2022年，8月28日例3-2由圖所示的一個二自由度平面關節(jié)機械手，已知手部端點力F=[FxFy]T,求相應于端點力F的關節(jié)力矩（不考慮摩擦）。

第3章工業(yè)機器人靜力計算及動力學分析圖3-5手部端點力F與關節(jié)力矩TY0X0l2l1τ2τ1FyFFxΘ2=90°Θ1=0°F=[FxFy]TY0X0l1l2τ1τ2Θ1Θ2(a)(b)第十八頁，共十九頁，2022年，8月28日已知該機械手的速度雅可比為：則該機械手的力雅可比為：根據τ=JTF，得：所以τ1=-(l1s1+l2s12)Fx+(l1