工程電磁場基礎(chǔ)

工程電磁場基礎(chǔ)第一頁，共七十五頁，2022年，8月28日1主要內(nèi)容第1章矢量分析與場論基礎(chǔ)第2章靜電場的基本原理第3章恒定電場的基本原理第4章恒定磁場的基本原理第5章時變電磁場的基本原理第6章鏡像法與模擬電荷法第7章有限元法與邊界元法第8章電磁場的能量和力第9章平面電磁波第10章電路參數(shù)的計算原理第11章電氣工程中的電磁場問題第二頁，共七十五頁，2022年，8月28日參考書目1《工程電磁場》王澤忠,全玉生,盧斌先編著，清華大學(xué)出版社2《工程電磁場基礎(chǔ)》孫敏主編，科學(xué)出版社超星數(shù)字圖書館，網(wǎng)址：8/(80萬冊圖書試用)第三頁，共七十五頁，2022年，8月28日第一章矢量分析與場論基礎(chǔ)矢量運(yùn)算的有關(guān)公式場的基本概念標(biāo)量場的等值面方程和矢量場的矢量線方程源點(diǎn)和場點(diǎn)的基本概念及其相互關(guān)系梯度的定義散度的定義旋度的定義哈米爾頓算子的定義和運(yùn)算規(guī)則重點(diǎn)掌握梯度、散度和旋度的定義、計算公式和運(yùn)算規(guī)則，以及散度定理、斯托克斯定理、格林定理和亥姆霍茲定理。第四頁，共七十五頁，2022年，8月28日第五頁，共七十五頁，2022年，8月28日1.1矢量分析公式1.矢量代數(shù)公式（１）標(biāo)量、矢量和單位矢量只有大小，沒有空間方向的量稱為標(biāo)量。不僅具有大小，而且具有空間方向的量稱為矢量。矢量的大小用絕對值表示，叫做矢量的模。模為１的矢量叫做單位矢量，用ｅ表示。如ex，ey，ez，分別表示與直角坐標(biāo)系中ｘ，ｙ，ｚ三個坐標(biāo)軸同方向的單位矢量。（２）矢量的加減法設(shè)則第六頁，共七十五頁，2022年，8月28日（３）矢量的數(shù)乘式中，λ為實數(shù)。

（４）矢量的點(diǎn)積式中，θ是矢量Ａ，Ｂ之間的夾角，Ｂcosθ是矢量Ｂ在矢量Ａ方向上的投影Ａcosθ是矢量Ａ在矢量Ｂ方向上的投影。式中，λ，μ為實數(shù)第七頁，共七十五頁，2022年，8月28日（５）矢量的叉積式中，en是與矢量Ａ和Ｂ都垂直的單位矢量，Ａ，Ｂ和en構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；θ是矢量Ａ，Ｂ之間的夾角。第八頁，共七十五頁，2022年，8月28日（６）矢量的混合積２．矢量函數(shù)的微分公式第九頁，共七十五頁，2022年，8月28日３．矢量函數(shù)的積分公式式中，Ｂx(t)，By(t)，Bz(t)分別是Ax(t),Ay(t),Az(t)的原函數(shù)；Ｃｘ，Ｃｙ，Ｃｚ是任意常數(shù)第十頁，共七十五頁，2022年，8月28日第十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日1.2場的基本概念和可視化1場的概念在自然界中，許多問題是定義在確定空間區(qū)域上的，在該區(qū)域上每一點(diǎn)都有確定的量與之對應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個場。如電荷在其周圍空間激發(fā)的電場，電流在周圍空間激發(fā)的磁場等。如果這個量是標(biāo)量我們稱該場為標(biāo)量場；如果這個量是矢量，則稱該場為矢量場。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。如果空間中的每一點(diǎn)都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，我們就說在這空間里確定了該物理量的場。第十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日標(biāo)量場：在指定的時刻，空間每一點(diǎn)可以用一個標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標(biāo)量場來表示。矢量場：在指定的時刻，空間每一點(diǎn)可以用一個矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場來表示。第十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日

場中的每一點(diǎn)都對應(yīng)著一個物理量----場量的值。場量為標(biāo)量的場稱為標(biāo)量場，如溫度場、能量場、電位場等。場量為矢量的場稱為矢量場，如速度場、力場、電場和磁場等。

定義了場量的空間點(diǎn)稱為場點(diǎn)。在直角坐標(biāo)系中，場點(diǎn)Ｍ可以由它的三個坐標(biāo)ｘ，ｙ，ｚ確定。因此，一個標(biāo)量場和一個矢量場可分別用坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)和矢量函數(shù)表示，即其中，矢量函數(shù)Ａ（Ｍ）的坐標(biāo)表示式可寫成上式。式中，函數(shù)Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ分別為矢量函數(shù)Ａ在直角坐標(biāo)系中三個坐標(biāo)軸上的投影，為三個標(biāo)量函數(shù)；ｅｘ，ｅｙ，ｅｚ分別為ｘ，ｙ，ｚ軸正方向的單位矢量。第十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日

α，β，γ分別為矢量Ａ與三個坐標(biāo)軸正方向之間的夾角，稱為方向角。ｃｏｓα，ｃｏｓβ，ｃｏｓγ稱為方向余弦。根據(jù)矢量與其分量之間的關(guān)系，矢量函數(shù)Ａ（Ｍ）可寫成如果場中的物理量不僅與點(diǎn)的空間位置有關(guān)，而且隨時間變化，則稱這種場為時變場；反之，若場中的物理量僅與空間位置有關(guān)而不隨時間變化，則稱這種場為恒定場。第十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日２．源點(diǎn)與場點(diǎn)場是由場源產(chǎn)生的。場源所在的空間位置稱為源點(diǎn)?？臻g位置上除了定義場量外，也可以定義場源。這樣，可以把空間的點(diǎn)表示為場點(diǎn)和源點(diǎn)。源點(diǎn)Ｐ′用坐標(biāo)（ｘ′，ｙ′，ｚ′）表示，也可以用位置矢量ｒ′表示；場點(diǎn)Ｐ用坐標(biāo)（ｘ，ｙ，ｚ）表示，也可以用位置矢量ｒ表示。由源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離矢量用Ｒ表示。根據(jù)矢量代數(shù)關(guān)系可知，Ｒ＝ｒ－ｒ′。矢量Ｒ的模Ｒ＝｜ｒ－ｒ′｜，矢量Ｒ對應(yīng)的單位矢量在研究場的性質(zhì)的過程中，Ｒ是一個非常重要的矢量，因為它聯(lián)系著源點(diǎn)與場點(diǎn)，決定著場量與場源之間的空間關(guān)系。第十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日３．標(biāo)量場的等值面設(shè)標(biāo)量場u(M)是空間的連續(xù)函數(shù)，那么通過所討論空間的任何一點(diǎn)M0，可以作出這樣的一個曲面Ｓ，在它上面每一點(diǎn)處，函數(shù)u(M)的值都等于u(M0)，即在曲面Ｓ上，函數(shù)u(M)保持著同一數(shù)值u(M0)，這樣的曲面Ｓ叫做標(biāo)量場ｕ的等值面。等值面的方程為式中，Ｃ為常數(shù)。給定Ｃ的一系列不同的數(shù)值，可以得到一系列不同的等值面，稱為等值面族。第十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日等值面族可以充滿整個標(biāo)量場所在的空間。等值面互不相交，因為如果相交，則函數(shù)ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在相交處就不具有惟一的值。場中的每一點(diǎn)只與一個等值面對應(yīng)，即經(jīng)過場中的一個點(diǎn)只能作出一個等值面。用等值面族表示標(biāo)量場時，一般將每兩個相鄰等值面場量值之差設(shè)為定值。這樣可以根據(jù)等值面的稀密程度觀察場量的空間分布。點(diǎn)電荷電勢方程：第十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日例求標(biāo)量場φ=(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。解點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為第十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日標(biāo)量場的等值面與一給定平面相交，就得到標(biāo)量場在該平面上的等值線。如ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在XOY平面上的等值線的方程為，ｕ（ｘ，ｙ）＝Ｃ，Ｃ為常數(shù)。第二十頁，共七十五頁，2022年，8月28日形象描繪場分布的工具標(biāo)量場--等值線(面)，其方程為。在某一高度上沿什么方向高度變化最快？第二十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日４．矢量場的矢量線對于矢量場，可以用矢量線來形象地表示其分布情況。所謂矢量線，就是這樣的曲線，在它上面每一點(diǎn)處曲線的切線方向和該點(diǎn)的場矢量方向相同。矢量線反映了場矢量在線上每一點(diǎn)的方向。一般來說，矢量場中每一點(diǎn)有一條矢量線通過。所以，矢量線應(yīng)是一族曲線，它可以充滿整個矢量場所在的空間。第二十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日意義直觀了解矢量場在空間的分布狀況定義曲線：在曲線上的每一點(diǎn)處，場的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。例：靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等性質(zhì)矢量線與矢徑的關(guān)系式：A×dr=

0第二十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日已知場矢量Ａ＝Ａ（ｘ，ｙ，ｚ），可用下述方法求得矢量線方程。設(shè)Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）為矢量線l上的任一點(diǎn)，其矢徑（始點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)位于Ｍ點(diǎn)的距離矢量）為ｒ＝ｘｅｘ＋ｙｅｙ＋ｚｅｚ，則矢量微分為在點(diǎn)Ｍ處與矢量線相切的矢量。按矢量線的定義，矢量微分必定在Ｍ點(diǎn)處與場矢量方向相同，而場矢量為這便是矢量線所滿足的微分方程，其解為矢量線族。再利用過Ｍ點(diǎn)這個條件，即可求出過Ｍ點(diǎn)的矢量線。第二十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日因矢量線的切線方向與場矢量的方向相同，所以矢量線方程又可以用矢量式表示為ｄｌ×Ａ＝０第二十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日例求矢量場的矢量線方程。解矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。第二十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日1.3標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)的定義為了確定在某空間上的標(biāo)量場ｕ（Ｍ）需要研究它在該空間的變化情況。要了解ｕ（Ｍ）沿著ｘ軸（或ｙ，ｚ軸）方向的變化，只需要求出ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）關(guān)于ｘ（或ｙ，ｚ）的偏導(dǎo)數(shù)。在許多場合，除了沿坐標(biāo)軸方向的變化外，還需要知道ｕ（Ｍ）沿著其他任意方向的變化情況。這就需要計算ｕ（Ｍ）沿著任意方向的導(dǎo)數(shù)。從標(biāo)量場中任一點(diǎn)M0出發(fā)，引一條射線ｌ，在ｌ上任取一點(diǎn)Ｍ，用Δｌ表示從M0到Ｍ的距離，則Δｕ＝ｕ（Ｍ）－ｕ（M0）。當(dāng)沿著ｌ，Ｍ→M0時，比式Δｕ/Δｌ＝(ｕ(M)-ｕ(M0))/Δｌ的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)ｕ(M)在點(diǎn)M0處沿ｌ方向的方向?qū)?shù)，記作第二十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日

方向?qū)?shù)是標(biāo)量場函數(shù)在一點(diǎn)M0處沿某一方向ｌ對距離的變化率，它反映了函數(shù)u(M)沿ｌ方向增減的情況。表示函數(shù)ｕ（Ｍ）在點(diǎn)Ｍ０沿ｌ方向是增加的，越大，表示增加得越快；表示函數(shù)ｕ（Ｍ）在點(diǎn)Ｍ０沿ｌ方向是減小的，越大，表示減小得越快。２．方向?qū)?shù)的計算

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)標(biāo)量函數(shù)ｕ(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處可微，則函數(shù)ｕ在點(diǎn)M0處沿ｌ方向的方向?qū)?shù)存在。全微分則第二十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日將ｌ方向的３個方向余弦表示式代入，得方向余弦第二十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)３．梯度

標(biāo)量函數(shù)ｕ在Ｍ０點(diǎn)沿著不同方向的變化率是不同的，那么，是否存在某個方向，使函數(shù)ｕ沿著該方向的變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？這是電磁場理論中經(jīng)常遇到的問題。標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)為ｌ方向的單位矢量可表示為即ｌ方向的方向余弦是ｌ方向的單位矢量el在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上的投影。第三十頁，共七十五頁，2022年，8月28日令令θ表示矢量Ｇ與單位矢量el之間的夾角，根據(jù)矢量點(diǎn)積的計算式可得

隨著ｌ方向的改變，θ發(fā)生變化，方向?qū)?shù)值也隨之變化。當(dāng)ｌ方向與Ｇ方向一致時，方向?qū)?shù)值達(dá)到最大，最大的方向?qū)?shù)為Ｇ（Ｇ是矢量Ｇ的模）。

如果在標(biāo)量場中任一點(diǎn)Ｍ處，存在矢量Ｇ，其方向為場函數(shù)ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在Ｍ點(diǎn)處變化率最大（方向?qū)?shù)最大）的方向，其模｜Ｇ｜是這個最大變化率的數(shù)值，則稱矢量Ｇ為標(biāo)量場ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在點(diǎn)Ｍ處的梯度，記為第三十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日

梯度運(yùn)算是分析標(biāo)量場的工具。梯度是描述標(biāo)量場中任一點(diǎn)函數(shù)值在該點(diǎn)附近增減性質(zhì)的量，但標(biāo)量場的梯度本身卻是一個矢量，沿著梯度的方向，函數(shù)ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）增加得最快。方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，表示為

場函數(shù)在點(diǎn)Ｍ處梯度的方向垂直于過該點(diǎn)的等值面ｕ＝Ｃ，且指向ｕ增大的方向。標(biāo)量場的每一點(diǎn)都有一個梯度，它是矢量，這便構(gòu)成了標(biāo)量場的梯度場。標(biāo)量場的梯度場是矢量場。第三十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日標(biāo)量函數(shù)φ的等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為即梯度的方向與過該點(diǎn)的等值面相垂直,并由梯度定義知,它指向φ增大的方向。

一座山的等高線圖第三十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);梯度的方向為該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);梯度的物理意義第三十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日設(shè)Ｃ為常數(shù)，ｕ和ｖ分別是兩個標(biāo)量函數(shù)，有第三十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日第三十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日1.4矢量場的通量和散度

1.矢量場的通量

在場域中選取一曲面Ｓ，為區(qū)分曲面的兩側(cè)，取定其中的任一側(cè)作為曲面的正側(cè)。如果曲面是閉合的，習(xí)慣上取外側(cè)為正側(cè)。表示曲面正側(cè)的方法是取曲面的法線方向。在曲面Ｓ上任取一點(diǎn)Ｍ與包含這點(diǎn)在內(nèi)的一曲面元ｄＳ，過Ｍ點(diǎn)作曲面的法向單位矢量en。矢量Ａ（Ｍ）穿過曲面元的通量定義為矢量場函數(shù)Ａ（Ｍ）穿過場中某一有向曲面Ｓ的通量定義為第三十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日通量是一個標(biāo)量。當(dāng)場矢量與曲面法線方向之間夾角為銳角時，ｄΦ＞０；當(dāng)場矢量與曲面法線方向之間夾角為鈍角時，ｄΦ＜０；當(dāng)場矢量與曲面法線方向垂直時，ｄΦ＝０若Ｓ是閉合曲面，且指定外側(cè)方向為法線方向，則有若Φ＞０，則表示流出閉合面的通量大于流入的通量，說明有矢量線從閉合面內(nèi)散發(fā)出來。若Φ＜０，則表示流入閉合面的通量大于流出的通量，說明有矢量線被吸收到閉合

面內(nèi)。若Φ＝０，則表示流出閉合面的通量與流入的通量相等，說明矢量線處于某種平衡

狀態(tài)。第三十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日矢量E沿閉合曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)矢量場的通量可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):通量的物理意義第三十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日例1-4-1在點(diǎn)電荷ｑ產(chǎn)生的電場中，場矢量其中，ｒ是點(diǎn)電荷ｑ到場點(diǎn)Ｍ的距離；er是從點(diǎn)電荷ｑ指向場點(diǎn)Ｍ的單位矢量。設(shè)Ｓ是以點(diǎn)電荷為中心、Ｒ為半徑的球面，求從球內(nèi)穿出Ｓ的電通量Φ。解在球面Ｓ上恒有ｒ＝Ｒ，且er與球面的法向單位矢量en的方向一致，所以在球面Ｓ內(nèi)產(chǎn)生電通量Φ的源就是電荷ｑ。當(dāng)ｑ為正電荷時，Φ＞０，為正源，說明有場矢量線從ｑ向外發(fā)出。當(dāng)ｑ為負(fù)電荷時，Φ＜０，為負(fù)源，說明有場矢量線終止于ｑ。第四十頁，共七十五頁，2022年，8月28日２．散度的定義

利用通量概念只能分析閉合面內(nèi)場矢量源的整體情況。要分析場中任一點(diǎn)附近的情況，必須將閉合面縮小到一點(diǎn)上。為此，引入矢量場的散度概念。設(shè)有矢量場函數(shù)Ａ（Ｍ），在場中作包圍點(diǎn)Ｍ的閉曲面Ｓ，并令Ｓ所包圍的空間區(qū)域為Ω，體積為ΔＶ。當(dāng)Ω收縮到Ｍ，即ΔＶ→０時，若極限存在，則稱此極限值為矢量場Ａ（Ｍ）在點(diǎn)Ｍ處的散度。記作ｄｉｖＡ，且矢量的散度是描述矢量場中任一點(diǎn)發(fā)散性質(zhì)的量。矢量的散度是標(biāo)量。散度就是通量的體密度，即單位體積發(fā)出的通量。矢量Ａ的散度形成一標(biāo)量場，叫做矢量場Ａ的散度場。

應(yīng)用散度概念可以分析矢量場中任一點(diǎn)的情況。在Ｍ點(diǎn)，若ｄｉｖＡ＞０，則表明Ｍ點(diǎn)有正源；若ｄｉｖＡ＜０，則表明Ｍ點(diǎn)有負(fù)源。ｄｉｖＡ為正值時，其數(shù)值越大，正源的發(fā)散量越大；ｄｉｖＡ為負(fù)值時，其絕對值越大，表明這個負(fù)源吸收量越大。若ｄｉｖＡ＝０，則表明該點(diǎn)無源。如果在場中處處有ｄｉｖＡ＝０，則稱此場為無源場，或稱為無散場。第四十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日３．散度的計算

在直角坐標(biāo)系中，若矢量場Ａ＝Ax(x,y,z)ex＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez的分量Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則可求Ａ在任一點(diǎn)Ｍ處的散度。根據(jù)散度的定義可知，ｄｉｖＡ與所取ΔＶ的形狀無關(guān)，只要在取極限時，所有的尺寸都趨于零即可。前后面左右面上下面第四十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日凈通量散度定義第四十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日

例1-4-2求點(diǎn)電荷ｑ產(chǎn)生的靜電場中，場矢量在ｒ≠０的任意一點(diǎn)Ｍ處的散度ｄｉｖＤ。第四十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日４．散度的運(yùn)算公式

設(shè)Ｃ為常數(shù)，ｕ為標(biāo)量函數(shù)，Ａ，Ｂ為矢量函數(shù)，有第四十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日５．散度定理

設(shè)矢量場Ａ＝Ax(x,y,z)ex＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez的各分量Ax，Ay，Az在閉曲面Ｓ所圍區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有上式稱為散度定理，又稱為高斯-奧斯特洛格拉特斯基公式。它的意義在于給出了閉合曲面積分與體積分之間的等價互換關(guān)系。第四十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日例球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛嬎憬獾谒氖唔摚财呤屙摚?022年，8月28日1.5矢量場的環(huán)量和旋度

1.矢量場的環(huán)量

在矢量場中選取一閉合曲線ｌ。為了表示曲線的走向，選定曲線的一個切線方向為曲線的正方向。在曲線ｌ上任取一點(diǎn)Ｍ，過Ｍ點(diǎn)作曲線的切線，其單位矢量為et。取一弧元ｄｌ，矢量函數(shù)Ａ（Ｍ）沿場中有向閉合曲線ｌ的線積分稱為矢量場Ａ按所取方向沿曲線ｌ的環(huán)量。

環(huán)量是描述矢量場特征的量，是一個標(biāo)量。由定義式可知，它的數(shù)值不僅與場矢量Ａ有關(guān)，而且與回路ｌ的形狀和取向有關(guān)。這說明Γ表示的是場矢量沿ｌ的總體旋轉(zhuǎn)特性。為了研究場矢量Ａ在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)，就需要讓ｌ收縮到一點(diǎn)，為此，引入環(huán)量面密度的概念。第四十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日２．環(huán)量面密度

設(shè)Ｍ為矢量場中的一點(diǎn)，在Ｍ點(diǎn)取一單位矢量en，并在Ｍ點(diǎn)周圍取小閉合回路Δｌ，令Δｌ的環(huán)繞方向與en構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；作以Δｌ為邊界，en為法線方向，且過點(diǎn)Ｍ的小曲面ΔＳ。當(dāng)ΔＳ以任意方式收縮到Ｍ點(diǎn)時，若極限存在，則稱該極限值為矢量場Ａ在Ｍ點(diǎn)繞方向en的環(huán)量面密度。上式是環(huán)量的平均面密度，取極限得到在Ｍ點(diǎn)的環(huán)量面密度。若極限存在，則環(huán)量面密度與en有關(guān)，與Δｌ的形狀無關(guān)。環(huán)量面密度的大小反映了Ａ在Ｍ點(diǎn)繞en方向旋轉(zhuǎn)的強(qiáng)弱情況。它與取定的方向en有關(guān)。在空間的一點(diǎn)，方向en可以任意選取。隨著en方向的改變，環(huán)量面密度將連續(xù)變化。在環(huán)量面密度最大的方向上，場矢量的旋轉(zhuǎn)性最強(qiáng)。為了表述這種特性，引入旋度的概念。第四十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日３．旋度的定義

環(huán)量面密度是一個與方向有關(guān)的量，正如在標(biāo)量場中，方向?qū)?shù)與方向有關(guān)一樣。若在矢量場Ａ中的一點(diǎn)Ｍ處存在矢量Ｒ，它的方向是Ａ在該點(diǎn)環(huán)量面密度最大的方向，它的模就是這個最大的環(huán)量面密度，則稱矢量Ｒ為矢量場Ａ在點(diǎn)Ｍ的旋度，記為ｒｏｔＡ，且

因此，旋度矢量在數(shù)值和方向上表示出了最大的環(huán)量面密度。Ａ在en方向的環(huán)量面密度就是ｒｏｔＡ在en上的投影。en方向的環(huán)量面密度表示為第五十頁，共七十五頁，2022年，8月28日４．旋度的計算

環(huán)量面密度定義式中的極限與所取小曲面邊緣的形狀無關(guān)。取平行于ｙＯｚ坐標(biāo)平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量與ｅｘ平行，小矩形面的面積為

以Ｍ點(diǎn)為中心，在其周圍將Ａ展開成泰勒級數(shù)并忽略高階項，則Ａ沿Δlx的線積分為（Δlx沿逆時針方向）第五十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日得

取平行于ｚＯｘ坐標(biāo)平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量與ey平行，小矩形面的面積為第五十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日得

取平行于XＯY坐標(biāo)平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量與ez平行，小矩形面的面積為第五十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日第五十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J

稱為旋度源(或渦旋源)；點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。若矢量場處處A=0，稱之為無旋場(或保守場)。第五十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日5．旋度的運(yùn)算公式

設(shè)Ｃ為常數(shù)，ｕ為標(biāo)量函數(shù)，Ａ，Ｂ為矢量函數(shù)，有第五十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日6斯托克斯定理設(shè)矢量場Ａ＝Ax(x,y,z)ex＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez的各分量Ax，Ay，Az在空間區(qū)域中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，l為S曲面的邊界，l與S成右手螺旋關(guān)系，則有

旋度在曲面法線方向的投影就是沿法線方向的環(huán)量面密度。將此面密度進(jìn)行面積分就得到這個曲面上的環(huán)量，也就是矢量沿曲面邊界的線積分。斯托克斯定理的意義在于給出了閉合曲線積分與面積分的等價互換關(guān)系。第五十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日

設(shè)想把曲面Ｓ分成許多個面積元。對每一個面積元，沿包圍它的閉合回路求矢量Ａ的環(huán)量，并取面積元邊緣閉合線積分的方向與外邊界大回路ｌ的方向一致。將所有面積元的這些線積分相加，可以看出，因為在各個小回路公共邊界上的積分路徑方向彼此相反，使得這部分積分互相抵消，只有外邊界的那部分積分存在。所以，積分的結(jié)果是所有沿小回路積分的總和等于沿大回路ｌ的積分，第五十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日例自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處(r≠0)電場強(qiáng)度的旋度▽×E。第五十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為