第一章量子力學(xué)課件(11光電子)

第1章波函數(shù)與Schr?dinger方程2011級(jí)光電子技術(shù)科學(xué)§1.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋§1.2Schrodinger方程§1.3態(tài)疊加原理2011級(jí)光電子技術(shù)科學(xué)（一）實(shí)物粒子的波動(dòng)性（二）波動(dòng)－粒子二象性的分析（三）概率波，多粒子體系的波函數(shù)（四）動(dòng)量分布概率（五）不確定度關(guān)系（六）力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn)（七）統(tǒng)計(jì)詮釋對(duì)波函數(shù)提出的要求1.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋2011級(jí)光電子技術(shù)科學(xué)并稱之為物質(zhì)波.與動(dòng)量為和能量為的粒子相應(yīng)的波的波長(zhǎng)和頻率為1.1.1實(shí)物粒子的波動(dòng)性在Planck-Einstein的光量子論（光具有波粒二象性）的啟發(fā)下，面對(duì)Bohr的原子的量子論取得的成功和碰到的困難，deBroglie(1923)提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量的粒子，例如電子），也具有波粒二象性（wave-particleduality）的假設(shè).即為了更好地理解微觀粒子在雙縫干涉中呈現(xiàn)的量子特征，先對(duì)比一下用經(jīng)典粒子（例如子彈）與經(jīng)典波（例如聲波）來做類似的雙縫實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。粒子的雙縫干涉是最直觀地展現(xiàn)波粒二象性的實(shí)驗(yàn),也是量子力學(xué)中最難理解的現(xiàn)象.Wecannotexplainhowitworks;

Wewilljusttellyouhowitworks.經(jīng)典粒子（如子彈）子彈經(jīng)過縫的運(yùn)動(dòng)軌道,與縫存在與否，并無關(guān)系.結(jié)論只開縫1子彈密度分布只開縫2子彈密度分布雙縫齊開上圖給出聲波的雙縫干涉圖像.表示一個(gè)具有穩(wěn)定頻率的聲源,聲波經(jīng)過一個(gè)具有雙縫的隔音板,在它后面有一個(gè)“吸音板”,到達(dá)板上的聲波將被吸收,并把聲波強(qiáng)度分布表示出來.12經(jīng)典波（如聲波）當(dāng)只開縫時(shí)，顯示出聲波強(qiáng)度分布用描述.當(dāng)只開縫時(shí),強(qiáng)度分布用描述.當(dāng)雙縫齊開時(shí)，強(qiáng)度分布用描述.當(dāng)只開一條縫時(shí)聲音很強(qiáng)的地方（例如點(diǎn)和點(diǎn)）,在雙縫齊開時(shí),聲音可能變得很弱.實(shí)驗(yàn)表明原因是由于出現(xiàn)了聲波的干涉現(xiàn)象.下面通過對(duì)其干涉項(xiàng)的研究,來具體找出經(jīng)典和量子的區(qū)別!由于干涉項(xiàng)的影響，經(jīng)典波的強(qiáng)度分布與經(jīng)典粒子的密度分布大不相同.設(shè)分別打開縫和縫時(shí)的聲波用和描述，雙縫齊開時(shí)的聲音則用描述，因此聲波強(qiáng)度分布為波的相干疊加性人們可以設(shè)想，如在圖所示實(shí)驗(yàn)中，用分子束來代替聲波，則觀測(cè)到的雙縫干涉圖像應(yīng)該沒有什么差異.但此時(shí)波的強(qiáng)度是代表被測(cè)到的

人們應(yīng)如何理解在干涉實(shí)驗(yàn)中分子所展現(xiàn)出的這種波粒二象性呢？人們對(duì)物質(zhì)粒子波動(dòng)性的理解，曾經(jīng)經(jīng)歷過一場(chǎng)激烈的爭(zhēng)論，包括波動(dòng)力學(xué)創(chuàng)始人Schr?dinger,deBroglie等在內(nèi)的一些人，對(duì)于物質(zhì)粒子波動(dòng)性的見解，都曾經(jīng)深受經(jīng)典概念的影響，他們?cè)?jīng)把電子波理解為電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即看成三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包，因而呈現(xiàn)出干涉與衍射等現(xiàn)象，波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度.1.1.2波粒二象性的分析稍加分析，這種看法就碰到了難以克服的困難。例如，在非相對(duì)論情況下，自由粒子能量利用deBroglie關(guān)系，可得所以波包的群速度（見附錄）為即經(jīng)典例子的速度.但由于依賴于自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散,即使原來的波包很窄,在經(jīng)歷一段時(shí)間后,也會(huì)擴(kuò)散到很大的空間中去;或者形象地說,隨時(shí)間的推移,粒子將越來越“胖”.這與實(shí)驗(yàn)是矛盾的.物質(zhì)波包的觀點(diǎn)顯然夸大了波動(dòng)性一面,而實(shí)際上抹殺了粒子性的一面,是帶有片面性的。與物質(zhì)波相反的另一種看法是:波動(dòng)性是由于大量電子分布于空間形成的疏密波.它類似于空氣振動(dòng)出現(xiàn)的縱波,即由于分子密度疏密相間而形成的一種分布.這種看法也與實(shí)驗(yàn)矛盾.實(shí)際上可以通過做這樣的電子衍射實(shí)驗(yàn),讓入射電子流極其微弱.電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過儀器.但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上仍將出現(xiàn)衍射花樣.這表明電子的波動(dòng)性并不是很多電子在空間聚集在一起時(shí)才呈現(xiàn)的現(xiàn)象.單個(gè)電子就具有波動(dòng)性.事實(shí)上,正是由于單個(gè)點(diǎn)在具有波動(dòng)性,才能理解氫原子（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象.因此,把波動(dòng)性看成大量電子分布于空間所形成的疏密波的看法也是不正確的,它夸大了粒子性的一面,而實(shí)際上抹殺了粒子波動(dòng)性一面,也帶有片面性.“電子既不是粒子,也不是波”.更確切地說,它既不是經(jīng)典例子,也不是經(jīng)典的波.我們也可以說,電子既是粒子,也是波,它是粒子性和波動(dòng)性兩重性矛盾的統(tǒng)一.但這個(gè)波不再是經(jīng)典概念下的波,粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子.在經(jīng)典概念下,粒子與波的確是難以統(tǒng)一到同一客體上去然而究竟應(yīng)該怎樣理解波粒二象性呢？然而電子究竟是什么東西？是粒子？還是波？仔細(xì)分析一下實(shí)驗(yàn)可以看出，電子所呈現(xiàn)的粒子性，只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性”或“顆粒型”，即總是以具有一定質(zhì)量和電荷等屬性的客體出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中，但并不與“粒子有確切的軌道”的概念有必然的聯(lián)系.而電子呈現(xiàn)的波動(dòng)性，也只不過是波動(dòng)最本質(zhì)的東西——波的相干疊加性，但并不一定與某種實(shí)在的物理量在空間的波動(dòng)聯(lián)系在一起.

把粒子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來，更確切地說，把微觀粒子的“原子性”與波的“相干疊加性”統(tǒng)一起來的是M.Born(1926)提出的概率波.1.1.3概率波，多粒子體系的波函數(shù)電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)：現(xiàn)在來分析電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，設(shè)入射電子流很微弱，電子幾乎是一個(gè)一個(gè)地經(jīng)過雙縫，然后在感光底片上被記錄下來.起初，當(dāng)感光時(shí)間較短時(shí)，底片上出現(xiàn)一些點(diǎn)子，它們的分布看起來沒有什么規(guī)律.當(dāng)感光時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，底片上感光點(diǎn)子愈來愈多，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有些地方點(diǎn)子很密，有些地方幾乎沒與點(diǎn)子.最后，底片上的感光點(diǎn)子的密度分布將構(gòu)成一個(gè)有規(guī)律的花樣，與X光衍射中出現(xiàn)的花樣完全相似，就強(qiáng)度分布來講，與經(jīng)典波（例如聲波、壓強(qiáng)波）是相似的，而與機(jī)槍子彈上的密度分布完全不同.這種現(xiàn)象應(yīng)怎樣理解呢？原來，在底片點(diǎn)附近干涉花樣的強(qiáng)度在點(diǎn)附近感光點(diǎn)子的數(shù)目在點(diǎn)附近出現(xiàn)電子的數(shù)目設(shè)干涉波波幅用描述，與光學(xué)中相似，干涉花樣的強(qiáng)度在空間的分布則用來描述.但這里干涉強(qiáng)度的意義與經(jīng)典波根本不同，它是刻畫電子出現(xiàn)在附近的概率大小的一個(gè)量.電子出現(xiàn)在附近的概率更確切的說，表示在點(diǎn)處的體積元中找到粒子的概率.這就是Born提出的波函數(shù)的概率詮釋.這稱為波函數(shù)的歸一化條件.但應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，對(duì)于概率分布來說，重要的是相對(duì)概率分布.根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，很自然要求該粒子（不產(chǎn)生，不湮沒）在空間各點(diǎn)的概率之總和為，即要求波函數(shù)滿足下列條件.不難看出，與（為常數(shù)）所描述的相對(duì)概率分布是完全相同的。因此在空間任意兩點(diǎn)和處，描述的粒子相對(duì)概率為與描述的相對(duì)概率完全相同.換言之，與描述的是同一個(gè)概率波.所以，波函數(shù)有一個(gè)常數(shù)因子不定性.在這一點(diǎn)上，概率波與經(jīng)典波有本質(zhì)的差別.一個(gè)經(jīng)典波的波幅若增大一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)的能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài).正因?yàn)槿绱?，?jīng)典波根本談不上“歸一化”，而概率波則可以進(jìn)行歸一化.因?yàn)椋僭O(shè)則顯然有但與描述的同一個(gè)概率波.沒有歸一化，而是歸一化的.稱為歸一化因子.波函數(shù)歸一化與否，并不影響概率分布有何變化.還應(yīng)提到，即使加上歸一化條件，波函數(shù)仍然有一個(gè)模為1的相因子的不定性，或者說，相位不定性.因?yàn)?，假設(shè)是歸一化的波函數(shù)，則（為常實(shí)數(shù)）也是歸一化的，而與描述的是同一概率波.以上討論的是單個(gè)粒子的波函數(shù).設(shè)一個(gè)體系包含兩個(gè)粒子，波函數(shù)用表示，其物理意義是注意表示測(cè)得粒子1

在空間體積元中、同時(shí)粒子

2

在空間體積元中的概率.描述的不是維空間中某種實(shí)在物理量的波動(dòng)，而是維空間中的概率波.這個(gè)維空間只不過是標(biāo)記一個(gè)具有個(gè)自由度的體系的坐標(biāo)的抽象空間.

對(duì)于個(gè)粒子組成的體系，它的波函數(shù)表示為其中分別表示各粒子的空間坐標(biāo).此時(shí)表示粒子1出現(xiàn)在中，同時(shí)粒子2出現(xiàn)在中，同時(shí)粒子N出現(xiàn)在中，歸一化條件表示為以后，為了表述方便，引進(jìn)符號(hào)其中代表對(duì)體系的全部坐標(biāo)空間進(jìn)行積分.所以描述的是抽象的維位形空間（configurationspace)中的概率波.這樣，歸一化條件就可以簡(jiǎn)單表示為對(duì)于一維粒子對(duì)于三維粒子對(duì)于N維粒子組成的體系按照已為衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)的deBroglie關(guān)系，若為一個(gè)平面單色波（波長(zhǎng)，頻率），則相應(yīng)的粒子動(dòng)量為，能量為.在一般情況下，是一個(gè)波包，有許多平面單色波疊加而成，即含有各種波長(zhǎng)（頻率）的分波.因而相應(yīng)的粒子動(dòng)量（能量）有一個(gè)分布，與測(cè)量的位置相似，也可以設(shè)計(jì)某種實(shí)驗(yàn)裝置來測(cè)量粒子的動(dòng)量，晶體衍射實(shí)驗(yàn)就是其中的一種.不難想象，與表示粒子在坐標(biāo)空間中的概率密度相似，表示粒子的動(dòng)量分布的概率密度.1.1.4動(dòng)量分布概率這里是按平面波展開（Fourier展開）的波幅，即其逆表示為注意代表中含有平面波的成分，所以粒子動(dòng)量為的概率與成比例是自然的，即粒子動(dòng)量在范圍中的概率為.不難證明因?yàn)槔霉郊癋ourier積分公式，可得下面來分析電子衍射實(shí)驗(yàn)（圖）.設(shè)電子（動(dòng)量為）沿垂直方向射到單晶表面，即入射波具有一定波長(zhǎng)的平面波，則衍射波將沿一定的角度出射，由下式（Bragg公式）決定式給出了衍射角（特別是）與入射粒子動(dòng)量的確定關(guān)系.如果入射波是一個(gè)波包，它的每一個(gè)Fourier分波（平面波）將各自按照一定的角分布出射.d沿角出射的波的幅度正比于入射波包中相應(yīng)的Fourier分波的幅度，因而沿方向的衍射波強(qiáng)度.在衍射過程中，波長(zhǎng)未改變，即粒子動(dòng)量的值未改變（雖然方向改變了）.所以，對(duì)于一個(gè)粒子，它在方向被測(cè)到的概率，即粒子動(dòng)量為的概率

Born對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，把波粒二象性統(tǒng)一到概率波的概念上.再次概念中，經(jīng)典波俄概念只是部分地（波的疊加性）被保留下來，而另一部分內(nèi)容則被摒棄.所以經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的圖像和概念對(duì)于微觀粒子不可能全盤適.Heisenberg的不確定關(guān)系（uncertaintyrelation）對(duì)此做了最集中和最形象的概括.不確定關(guān)系是Heisenberg于1927年根據(jù)逆向思維，并對(duì)一些理想實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析和利用De-Broglie關(guān)系而得出的.1.1.5不確定關(guān)系下面先分析幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子。例1設(shè)一維粒子具有確定的動(dòng)量p0，即動(dòng)量的不確定度△p＝0，相應(yīng)的波函數(shù)為平面波即粒子在空間各點(diǎn)的幾率都相同（不依賴于x）。換言之，粒子的位置是完全不確定的，即△x=∞。例2設(shè)一維粒子具有確切的位置x0，即位置的不確定為△x＝0。相應(yīng)的波函數(shù)為其Fourier展開為表明粒子動(dòng)量取各種值的幾率都相同（不依賴于p），所以動(dòng)量完全不確定，△p＝∞。例3考慮用Gauss波包描述的粒子，可以看出，粒子位置主要局限在的區(qū)域中，即的Fourier變換為可以看出，因此對(duì)于Gauss波包0x不確定度關(guān)系不確定關(guān)系表明，微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動(dòng)量不能同時(shí)具有完全確定的值，這是波粒二象性的反映，在物理上可以如下理解：按照deBroglie關(guān)系，由于波長(zhǎng)是描述波在空間變化快慢的量，是與整個(gè)波動(dòng)關(guān)系聯(lián)系的量，因此正如“在空間某一點(diǎn)的波長(zhǎng)”的提法是沒有意義一樣，“微粒子在空間某一點(diǎn)的動(dòng)量”的提法也同樣沒有意義.這樣，粒子運(yùn)動(dòng)軌道的概念就沒有意義.

與經(jīng)典不同?。×Ｗ犹幱诓ê瘮?shù)所描述的狀態(tài)下，雖然不是所有力學(xué)量都具有確定的值，但它們都有確定的分布，因而有確定的平均值.例如位置的平均值為這里假定了波函數(shù)已歸一化.又例如勢(shì)能的平均值為1.1.6力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn)前面已提到，由于波粒二象性，“粒子在空間某一點(diǎn)的動(dòng)量”的提法是沒有意義的.因此不能像求勢(shì)能平均值那樣來求動(dòng)量平均值，即我們必須換一種方法來處理這問題.按前面所述，給定波函數(shù)之后，測(cè)得粒子動(dòng)量在中的概率為，其中注意因此可以借助來間接計(jì)算動(dòng)量的平均值（利用式（13）和（14））這樣，我們就找到了用來直接計(jì)算動(dòng)量平均值的公式，而不必借助于的Fourier變換來間接計(jì)算（見式，）.但只是就出現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)工具——.算符令則式可表成稱為動(dòng)量算符.上式表明，動(dòng)量平均值與波函數(shù)的梯度密切相關(guān).這是可以理解的，因?yàn)榘凑誨eBroglie關(guān)系，動(dòng)量與波長(zhǎng)的倒數(shù)（波數(shù)）成比例，所以波函數(shù)的梯度愈大，即波長(zhǎng)愈短（波數(shù)愈大），動(dòng)量平均值也就愈大.（動(dòng)能算符）動(dòng)能和角動(dòng)量的平均值也可類似求出（角動(dòng)量算符）是一個(gè)矢量算符，它的三個(gè)分量可以表示為一般來說，粒子的力學(xué)量的平均值可如下求出:是力學(xué)量相應(yīng)的算符.如波函數(shù)未歸一化，則

統(tǒng)計(jì)詮釋賦予了波函數(shù)確切的物理含義.根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋（a）根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋，要求取有限值似乎是必要的，即要求取有限值，但應(yīng)注意，只是表示概率密度，而在物理上只要求空間任何有限體積中找到粒子的概率為有限值即可.因此，并不排除在空間某些孤立奇點(diǎn)處.例如，是的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，是包圍點(diǎn)在內(nèi)的任何體積，則按統(tǒng)計(jì)詮釋只要1.1.7統(tǒng)計(jì)詮釋對(duì)波函數(shù)提出的要求就是物理上可以接受的.如?。ㄗ鴺?biāo)原點(diǎn)），是半徑為的小球，顯然，當(dāng)時(shí),式的積分值趨于，即要求.如時(shí)，，則要求（b）按照統(tǒng)計(jì)詮釋，一個(gè)真實(shí)的波函數(shù)需要滿足歸一化條件（平方可積）()230ry?rr但概率描述中實(shí)質(zhì)的問題是相對(duì)概率。因此，在量子力學(xué)中并不排除使用某些不能歸一化的理想的波函數(shù).例如平面波，波包.實(shí)際的波函數(shù)當(dāng)然不會(huì)是一個(gè)理想的平面波或波包，但如果粒子態(tài)可以用一個(gè)很大的波包來描述，波包的廣延比所處理的問題的特征長(zhǎng)度大得多，而且在問題所涉及的空間區(qū)域中粒子的概率密度可視為常數(shù)，則不妨用平面波來近似代替，例如在散射理論中，入射粒子態(tài)常用平面波來描述.（c）按照統(tǒng)計(jì)詮釋，要求單值，是否由此可得出要求單值？否，在量子力學(xué)中還會(huì)有在空間不單值的波函數(shù)(例如計(jì)及自旋后的電子波函數(shù)，見第8章).（d）波函數(shù)及其各階微商的連續(xù)性.一般的要求及其微商連續(xù)是不正確的（例如，見2.2節(jié)，2.3節(jié)的分析）.在學(xué)習(xí)了表現(xiàn)理論（特別是離散表象）之后，就會(huì)對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋和量子態(tài)有更深入的理解（見第7章）.

這個(gè)問題已經(jīng)由Schr?dinger方程圓滿解決。下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的方案來引進(jìn)這個(gè)方程。先討論自由粒子：

量子力學(xué)中最核心的問題就是要解決波函數(shù)如何隨時(shí)間演化以及在各種具體情況下找出描述體系狀態(tài)的各種可能的波函數(shù)。1.2Schr?dinger方程1.2.1Schr?dinger方程的引進(jìn)其能量與動(dòng)量的關(guān)系是按照deBroglie關(guān)系即與具有一定能量和動(dòng)量的粒子相聯(lián)系的是平面單色波由上式可以看出利用式（1），可以得出即

描述自由粒子的一般狀態(tài)的波函數(shù)，具有波包的形式，即為許多平面單色波的疊加由此，不難證明所以

可見如式（5）所示的波包仍滿足方程(4).所以方程(4)是自由粒子的波函數(shù)滿足的方程.即,在方程(1)中,令并作用于波函數(shù)上,就可得出方程(4).在此基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步考慮在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子,可以得到上式就是單粒子的Schr?dinger波動(dòng)方程.它揭示了微觀世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律.下面將圍繞它進(jìn)行一系列的討論.1.定域的概率守恒

Schr?dinger方程是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程.在非相對(duì)論(低能)情況下,實(shí)物粒子()沒有產(chǎn)生和湮沒現(xiàn)象,所以在隨時(shí)間演化的過程中,粒子數(shù)目保持不變.對(duì)于一個(gè)粒子來說,在全空間中找到它的概率之總和應(yīng)不隨時(shí)間變化,即1.2.2

Schr?dinger方程的討論以上結(jié)論可以從Schr?dinger方程加以論證:由,得對(duì)式(7)取復(fù)共軛,(注意),得將上式在空間區(qū)域中積分,由Gauss定理,可得令表示概率密度,表示概率流密度.因此,式(11)可化為所以具有概率流(粒子流)密度的意義,是一個(gè)矢量.

上式左邊代表在閉區(qū)域中找到粒子的總概率(或粒子數(shù))在單位時(shí)間內(nèi)的增量,而右邊(注意負(fù)號(hào)!)則應(yīng)表示單位時(shí)間內(nèi)通過的封閉表面而流入內(nèi)的概率(粒子數(shù)).

式(11)或(14)是概率(粒子數(shù))守恒的積分表達(dá)式,而式(10)可改寫為上式即為概率守恒的微分表達(dá)式.即:歸一化不隨時(shí)間而改變.在物理上這表示粒子既未產(chǎn)生也未湮沒.在式(11)中,讓(全空間),得上面提到的概率守恒具有定域的性質(zhì).2.初值問題,傳播子

由于Schr?dinger方程只含波函數(shù)對(duì)時(shí)間的一次微商,只要在初始時(shí)刻()體系的狀態(tài)給定,則以后任何時(shí)刻的狀態(tài)原則上就完全確定了.

在一般情況下,這個(gè)初值問題的求解是不容易的,往往要采用近似方法.但對(duì)于自由粒子,容易嚴(yán)格求解.滿足自由粒子的Schr?dinger方程的解具有如下的形式:式中.

的初態(tài)波函數(shù)為

正是的Fourier展開的波幅,它并不依賴于上式之逆變換即把式(18)代入式(5),得

這樣,體系的初始狀態(tài)完全決定了以后任何時(shí)刻的狀態(tài).

由初態(tài)完全確定.更一般講,取初始時(shí)刻為,則式中對(duì)于自由粒子,這個(gè)傳播子由式(21)明顯給出.可以證明的物理意義如下借助于傳播子,體系在時(shí)刻的狀態(tài)可由時(shí)刻的狀態(tài)給出.

稱為傳播子(propagator).設(shè)初始時(shí)刻粒子處于空間點(diǎn),,按式(20)所以即時(shí)刻在點(diǎn)找到粒子的概率波幅.

因此,一般地說,如在時(shí)刻粒子位于點(diǎn),則時(shí)刻在空間點(diǎn)找到由傳來的粒子概率波幅就是,即粒子從傳播到了.由式(20)可以看出

在時(shí)刻于空間點(diǎn)找到粒子的概率波幅是時(shí)刻粒子在空間中各點(diǎn)的概率波幅傳播到點(diǎn)后的相干疊加.

下面討論勢(shì)能不顯含時(shí)間,從初態(tài)去求解末態(tài)的情況.此時(shí),Schr?dinger方程的特解表示為代入式(7),得1.2.3能量本征方程在上式中,是既不依賴于,也不依賴于的常數(shù).這樣所以因此,特解(23)可表示為其中,滿足下列方程論述:

從數(shù)學(xué)上講,對(duì)于任何E值,不含時(shí)Schr?dinger方程(28)都有解.但并非對(duì)于一切E值所得出的解都滿足物理上的要求.

這些要求中,有些是根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋而提出的,有的是根據(jù)具體物理情況而提出的.如束縛態(tài)邊條件,周期性邊條件,散射態(tài)邊條件等.

在束縛態(tài)邊條件下,只有某些離散的E值所對(duì)應(yīng)的解才是物理上可以接受的.所以得到能量本征方程(不含時(shí)Schr?dinger方程)

能量本征值(energyeigenvalue)

能量本征函數(shù)(energyeigenfunction)

Schr?dinger方程的更普遍的表示是此時(shí),能量本征方程為

對(duì)于更復(fù)雜的體系的Schr?dinger方程的具體表達(dá)式,關(guān)鍵在于如何寫出其Hamilton量算符.

是體系的Hamilton算符.當(dāng)不顯含時(shí),體系的能量是守恒量.

若在初始時(shí)刻()體系處于某一個(gè)能量本征態(tài),則處于定態(tài)下的粒子具有如下特征:形式如的波函數(shù)所描述的態(tài),稱為定態(tài)(stationarystate).1.2.4定態(tài)與非定態(tài)(b)

任何(不顯含的)力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間改變.

若體系的初態(tài)不是能量本征態(tài),而是若干個(gè)能量本征態(tài)的疊加可以證明不同能量本征值相應(yīng)的本征態(tài)正交(a)粒子在空間的概率密度以及概率流密度顯然不隨時(shí)間改變.(c)任何(不顯含的)力學(xué)量的測(cè)值概率分布也不隨時(shí)間改變(以后證明).在式(32)中,由初態(tài)唯一確定不難證明滿足含時(shí)Schr?dinger方程在式(35)所示狀態(tài)下,粒子的能量平均值為這種由若干個(gè)能量不同的本征態(tài)的疊加所形成的態(tài),稱為非定態(tài)(nonstationarystate).

為在式(35)所示狀態(tài)下粒子能量取值的概率.

設(shè)體系由N個(gè)粒子組成,粒子質(zhì)量分別為.體系的波函數(shù)表示為.設(shè)第i個(gè)粒子受到的外勢(shì)場(chǎng)為,粒子之間相互作用為,則Schr?dinger方程表示為1.2.5多粒子體系的Schr?dinger方程在式(37)中而不含時(shí)Schr?dinger方程表示為E為多粒子體系的能量.由前面所學(xué)知識(shí)得到當(dāng)給定后,粒子所有力學(xué)量的測(cè)值分布概率就確定了.從這個(gè)意義上來講,完全描述了一個(gè)三維空間中粒子的量子態(tài).所以波函數(shù)也稱為態(tài)函數(shù).同理,也完全描述了粒子的量子態(tài).1.3.1量子態(tài)及其表象

它們彼此間有確定的變換關(guān)系,彼此完全等價(jià).它們描述的都是同一個(gè)量子態(tài)

,只不過表象(representation)不同而已.

總之,量子態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述方式根本不同,這是由波粒二象性所決定的.

這猶如一個(gè)矢量可以采用不同的坐標(biāo)系來表述一樣,我們稱是粒子態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示,而則是同一個(gè)狀態(tài)在動(dòng)量表象中的表