2021屆高三寒假復(fù)習(xí)微專題：導(dǎo)數(shù)綜合題求導(dǎo)技巧之對數(shù)單身狗指數(shù)找基友

專題3對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友口訣：對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友；指對在一起，常常要分手對數(shù)單身狗設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則有(f(x)^\nx)'=ff(x)\nx+f(x)-^,若f(x)為非常數(shù)函X數(shù)求導(dǎo)式子中含有l(wèi)n無,這類問題需要多次求導(dǎo)，處理這類函數(shù)的技巧是將Inx前面部分提出，就留下加無這個單身狗，然后研究剩余部分，這類方法技巧叫對數(shù)單身狗.例1.(對數(shù)單身狗)已知f(x)=x\nx，若f(x)>2ax2+2(aHO).在x€(0,+8)上恒成立，求a的a最小值.解：恒成立問題一般思路：1.參變分離---本題不好操作2■設(shè)新函數(shù)xlnx—2ax2—2>0，分類討論復(fù)雜，計算麻煩a3xln%>2ax2+2lnx>2ax+A>0(lnx—2ax—A)>0aa%axmin解：^f(x)>2ax2+2在尤6(0,+8)上恒成立az.lnx>2ax+—ax即lnx—2ax——>°在尤6(0,+8)上恒成立ax設(shè)h(x)=lnx—2ax——axh(x)12_—ax2+ax+2_(—ax+2)(ax+1)h(x)——a+==xax2ax2ax2

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—a2(X+U)(X—U)=—a(x+u)(x—u)X2axX2當(dāng)a>0時，hr(x)=0,xi=-丄；尤2=2TOC\o"1-5"\h\z丄a2a.?.xe(0,-)，山(x)>0,h(x)T；xe(￡,+^),b(x)<0,h(x)I,aa此時h(x)無最小值，不符合題意當(dāng)a<0時，加⑴=0,舛=一丄；尤2=2丄a2a.?.xe(0,—丄)，h，(x)<0,h(x)l；xe(丄,+^),h^(x)>0,h(x)T,aa.h(x)min=h(-1)=ln(-l)+3>0minaa.-ln(-a)>-3nln(-a)<3ln(-a)S3=lne3=-aSQ3=：、—q3<a<0???a的最小值為-Q3指數(shù)找基友設(shè)/(%)為可導(dǎo)函數(shù)，則有(e”-fa)"=-/<(%)，若/(%)為非常數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)式子中還是含有少,針對此類型，可以采用作商的方法，構(gòu)造［岡‘=WD，或L￡咒」ex者通過變形化為:e-/(%)或迪的形式。從而達(dá)到簡化證明和求最值的目的，S總在找屬于它的基友,此類方法技巧俗稱指數(shù)找基友.例1.(指數(shù)找基友)廣東省2021屆高三綜合能力測試22.(12分)已知函數(shù)/(%)=曠一a%3⑴若a>竺判斷函數(shù)/(%)有幾個零點，并說明理由：27解：(1)令h(x)=d=丄-竺則由于e%>0，/(%)=0當(dāng)且僅當(dāng)h(x)=0.exex因為a>空，h<(x)=心-3),27e”所以當(dāng)%<3時，h<(x)<0且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)%=0，當(dāng)%>3時，h<(x)>0.

因此，h(x)在(-8,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增.h(3)=1—^27<0,h(0)=1>0e3由h(x)=1一叱=1一43a(+)3丄,C4C4.X?.?乂51<1.X?.?乂51<1,二h(x)=1—=1—43a(+)exe"ex0431>1—43ae404工(龍=])04又-ex>x+1,X/、a%3X/、a%34???h(x)=1—=1—43a(——)pvX￡^431>X6443a1->X6443a44a1—-Y-=1—-4令尤=44a>3(a>空),?h(x)=1—>1—>1—=1—44^=00270旳昇I44-即Bx0￡(3,+8),使h(%)>0根據(jù)零點存在定理，h(町在(0,3),(3,勺)上各有一個零點。因此，h(x)有且只有兩個零點，進(jìn)而/(%)有且只有兩個零點.例2.(指數(shù)找基友)2021年全國統(tǒng)考試模擬演練(八省聯(lián)考)22.(12分)已知函數(shù)￡(兀)=砂_sinx—cosx,9(x)=e%+sin%+cosx.⑴證明當(dāng)％>—亟時，/(%)>0;4證明：要證/(%)=e”一sin%—cos%>0(%>一匹)4即證"-$山—cosx>0即證1一sinx+cosX>0設(shè)h(x)=1—sin”+cos”h(兀)=一cos光一sin光一cos光一sin光=2sin光①■在尤￡(一西,兀)這一段期間中,4XX當(dāng)尤€(—空，一冗)，血(x)>O,h(x)T4當(dāng)%6(-n,0),h,(^)<0,h(x)I當(dāng)尤6(0,n),hr(x)>0,h(x)T又...h(一匹)=1一Sin"(-5F)COS(-亍)=1,h(0)=1一sinOcos°=04—5^e0e~4???當(dāng)X6(—普，兀)時，h(X)m，n=h(0)=°h(x)=1一sin^cosx=1一V2sih(x)=1一sin^cosx=1一V2sin(%；)4?/V2sin(x-)的最大值為V2,e”ne兀>84?V2sin(x：)<邁<1ex84?h(x)=1—sin^cos光=1一V2sin(%；)>34綜上尤>―匹時，h(町>0,SP/(x)>04指對在一起，常常要分手設(shè)/(%)為可導(dǎo)函數(shù)，則有(0"1口尤一/XQ)'=exlnx竺一〃(尤),若/Tx)為非常數(shù)X函數(shù)，求導(dǎo)式子中還是含有ex,lnx，針對此類型，可以采用作商的方法，構(gòu)造[辿SI]=lnx-血，從而達(dá)到簡化證明和求極值、最值的目的，e-lnx膩在一起，常常會分手.例1．(指對在一起，常常要分手已知函數(shù)/(%)=e^nx込1，X⑴證明：/(%)>1.證明：要證e^lnx遠(yuǎn)1>1

即證inx+Z>丄exex這里h(x)=xlnx;g(x)=三為常見函數(shù)ex即證％lnx+2>三這里h(x)=xlnx;g(x)=三為常見函數(shù)exeex設(shè)h(x)=xlnx+2(^>0);g(x)=—(x>0)exhf(x)=lnx+1令lnx+1=0得:%=1e即：當(dāng)%E(0,荀時，f(x)\；e

當(dāng)XW(2,+8)時，f(x)/h(X)min=f二_°gf(X)=1-Xex即：當(dāng)xW(-8,1)時，f(即：當(dāng)xW(-8,1)時，f(x)7當(dāng)%E(1,+8)時，f(x)\?-h(x)min=1時，無=1，g(x)man=1時，x=1即不能同時取等-h(X)mtn>^(X)man:.x\nx+2>—e

拓展思路1）.口訣：三角函數(shù)單身狗正弦正切會朋友不是同類早分手（2）例題：設(shè)尤g（o,町,證明：皿n亠'2丿xsinxcosxJcosx證明：譏（0,匹）,要證噸n亠，即證沁n%2，即證衛(wèi)』",'2丿xsinxcosxJcosx即證皂nz—xnoJcosx設(shè)f(設(shè)f(x)=^s^^-x,Jcosx