2022年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)：26.2　用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

26.2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程專題一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．2．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論中，正確的是（）A．B．C．D．3．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①b2－4ac>0；②2a+b<0；③4a－2b+c=0；④a：b：c=－1：2：3.其A.①②B.②③C.③④D.①④專題二二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系4．設(shè)一元二次方程=m（m＞0）的兩實(shí)根分別為α，β，且α＜β，則α，β滿足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞25．二次函數(shù)的圖象如圖所示，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最大值為（）A．B．3C．D．96．已知函數(shù)y=mx2﹣6x+1（m是常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；（2）若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．7．已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)(－1,－1)，設(shè)線段AB的長為d，當(dāng)p為何值時(shí)，d2取得最小值？并求出最小值.8.【2012·珠?！咳鐖D，二次函數(shù)y=(x－2)2+m的圖象與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（1,0）及點(diǎn)B.（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b≥(x－2)2+m的的取值范圍.專題三利用二次函數(shù)知識(shí)解決動(dòng)態(tài)問題9．一條拋物線y=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)（0，QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。）與（4，QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)．【知識(shí)要點(diǎn)】1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的關(guān)系（1）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)的值是0，因此x=就是方程ax2＋bx＋c=0的一個(gè)根.（2）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn).這對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.2．二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系拋物線y＝ax2＋bx＋c在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集，所以，利用畫二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的方法，可以直接地求得不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集．【溫馨提示】1．當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c開口向下，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，y＜0對(duì)應(yīng)的x值有兩部分，不要漏掉；當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c開口向上，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，y＞0對(duì)應(yīng)的x值有兩部分，不要漏掉．2．一元二次方程的解是對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而不是與x軸的交點(diǎn).3．圓與坐標(biāo)軸相切包括與x、y軸相切，不要漏掉某一部分.【方法技巧】1．由二次函數(shù)圖象判斷y＝ax2＋bx＋c解析式中字母的符號(hào)：（1）a：拋物線開口向上，則a＞0；拋物線開口向下，則a＜0；（2）b：對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，a、b同號(hào)；對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，a、b異號(hào)；對(duì)稱軸是y軸則b=0；簡記“左同右異y軸b=0”（3）c：拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，c＞0；拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，c＜0；拋物線與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)，c=0；簡記“上正、下負(fù)、原點(diǎn)c為0”（4）b2-4ac：拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac＞0；拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac=0；拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，（5）判斷a+b+c的符號(hào)，看當(dāng)x=1時(shí)，y的值與0的關(guān)系；判斷a-b+c的符號(hào)，看當(dāng)x=－1時(shí)，y的值與0的關(guān)系；判斷4a+2b+c的符號(hào)，看當(dāng)x=2時(shí)，y的值與0的關(guān)系；判斷4a-2b+c的符號(hào)，看當(dāng)x=-2時(shí)，y的值與0的關(guān)系；（6）判斷2a+b的符號(hào)看對(duì)稱軸與直線x=1的關(guān)系；判斷2a－b的符號(hào)看對(duì)稱軸與直線x2．圓與x軸相切時(shí)，圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑；圓與y軸相切時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑.參考答案1．D【解析】二次函數(shù)化為一般形式得，所以對(duì)稱軸方程為=，因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸的右側(cè)，所以，解得．2．D【解析】∵a、b同號(hào)且a=b，c＜0，∴A、B均錯(cuò)誤；當(dāng)x=1時(shí)，由圖象知y=a+b+c＜0，即2b+c＜0，故C錯(cuò)誤；由2b+c＜0，兩邊加上2b得4b+c＜2b,不得式左邊的b用a替換，可得4a+c＜2b,所以D正確.3．D【解析】∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2-4ac＞0，①正確；∵對(duì)稱軸為直線∴=1，可得2a+b=0，②錯(cuò)誤；∵當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c＜0，∴③錯(cuò)誤；由x=-1時(shí)，y=a-b+c=0，2a+b=0，可得b=-2a，c=-3a，∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：24．D【解析】令m=0，則函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），故此函數(shù)的圖象為：∵m＞0，∴α＜1，β＞2．故選D．5．B【解析】∵拋物線的開口向上，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣3，∴a＞0，，即.∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴△=，即，即，解得，∴m的最大值為3．6．解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1．所以不論m為何值，函數(shù)y=mx2﹣6x+1的圖象都經(jīng)過y軸上一個(gè)定點(diǎn)（0，1）．（2）①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=﹣6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)m≠0時(shí)，若函數(shù)y=mx2﹣6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx2﹣6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m綜上，若函數(shù)y=mx2﹣6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0或9．7．解：把(－1,－1)代入y=x2+px+q得p－q=2，q=p－2.設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,0)、(x2,0),∴d=|x1-x2|，∴d2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1·x2=p2－4q=p2－4p+8=(p－2)2+4,當(dāng)p=2時(shí)，d2有最小值，最小值是4.8．解：（1）將點(diǎn)A（1，0）代入y=（x－2）2+m得，（1－2）2+m=0，解得m=－1.則二次函數(shù)解析式為y=（x－2）2－1．當(dāng)x=0時(shí)，y=4－1=3，故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.由于C和B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3），令y=3，有（x－2）2－1=3，解得x=4或x=0，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，解得則一次函數(shù)解析式為y=x－1.

（2）∵A、B坐標(biāo)為（1，0）、（4，3），∴當(dāng)kx+b≥（x－2）2+m時(shí)，1≤x≤4．9．解：（1）由拋物線過（0，QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。），（4，QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。）兩點(diǎn)，得解得QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源?！鄴佄锞€的解析式是y=x2﹣x+.由y=x2﹣x+QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。（x﹣2）2+QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。）.（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0）.①當(dāng)圓P與y軸相切時(shí)，有|x0|=1，∴x0=±1.由x0=1，得y0=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源?！?﹣1+QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。=.QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。由x0=﹣1，得y0=QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源?！粒ī?）2﹣（﹣1）+QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。=.QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1，QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。），P2（﹣1，QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。）.②當(dāng)圓P與x軸相切時(shí)，有|y0|=1.∵拋物線的開口向上，頂點(diǎn)在x軸的上方，y0＞0，∴y0=1.由y0=1，得QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。x02﹣x0+QUOTE