高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 市獲獎

2023學(xué)年江西省上饒市上饒縣中學(xué)高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理零、實(shí)驗(yàn)）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．若sinα＞0，且tanα＜0，則角α的終邊位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若y軸上點(diǎn)M到兩點(diǎn)P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）3．已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．已知角θ的終邊過點(diǎn)（4，﹣3），則cos（π﹣θ）的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣5．已知直線l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為（）A． B． C． D．6．設(shè)f（x）=|sinπx|，則f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B． C．﹣ D．17．已知函數(shù)f（x）=|sinx|，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．f（x）既偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B．f（x）的最大值為C．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對稱D．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對稱8．過點(diǎn)A（1，2）且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=09．已知函數(shù)f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]10．函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，則滿足此條件的一個φ值為（）A． B． C． D．11．過點(diǎn)P（1，2）作直線l，使直線l與點(diǎn)M（2，3）和點(diǎn)N（4，﹣5）距離相等，則直線l的方程為（）A．y+2=﹣4（x+1） B．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0C．y﹣2=﹣4（x﹣1） D．3x+2y﹣7=0或4x+y+6=012．若直線y=k（x﹣2）與曲線有交點(diǎn)，則（）A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值C．k有最大值0，最小值 D．k有最大值0，最小值二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)y=的定義域是．14．若關(guān)于x的方程sin2x+2sinx﹣1+m=0有解．則實(shí)數(shù)m的范圍．15．若cos（﹣α）=，則cos（+α）=．16．若圓（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的點(diǎn)到直線4x﹣3y﹣2=0的最短距離等于1，則半徑r的值為．三、解答題（本大題共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．已知直角△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，），頂點(diǎn)C在x軸上．（1）求邊BC所在直線的方程；（2）求直線△ABC的斜邊中線所在的直線的方程．18．已知f（α）=．（1）化簡f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長是12cm，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？并且最大面積是多少？20．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）證明：無論m取什么實(shí)數(shù)，l與圓恒交于兩點(diǎn)；（Ⅱ）求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程．21．已知，，是否存在常數(shù)a，b∈Q，使得f（x）的值域?yàn)椋咳舸嬖?，求出a，b的值；若不存在，說明理由．22．已知圓M過C（1，﹣1），D（﹣1，1）兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圓M的方程；（Ⅱ）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值．

2023學(xué)年江西省上饒市上饒縣中學(xué)高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理零、實(shí)驗(yàn)）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．若sinα＞0，且tanα＜0，則角α的終邊位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點(diǎn)】象限角、軸線角．【分析】由sinα＞0，則角α的終邊位于一二象限，由tanα＜0，則角α的終邊位于二四象限，兩者結(jié)合即可解決問題．【解答】解：∵sinα＞0，則角α的終邊位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的終邊位于二四象限，∴角α的終邊位于第二象限．故選擇B．2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若y軸上點(diǎn)M到兩點(diǎn)P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用|MP|=|MC|，求出M的坐標(biāo)．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)M（0，y，0），∵|MP|=|MQ|，∴=，即y2+5=y2+6y+11，∴y=﹣1，∴點(diǎn)M（0，﹣1，0）．故選：B．3．已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【考點(diǎn)】扇形面積公式．【分析】首先，設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，然后，建立等式，求解l、r，最后，求解圓心角即可．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=6，S=lr=2，∴解得r=2，l=2或r=1，l=4，∴α==1或4，故選：C．4．已知角θ的終邊過點(diǎn)（4，﹣3），則cos（π﹣θ）的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】先根據(jù)角θ的終邊過點(diǎn)（4，﹣3），求得cosθ的值，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式求得cos（π﹣θ）=﹣cosθ=求得答案．【解答】解：∵角θ的終邊過點(diǎn)（4，﹣3），∴cosθ=∴cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣，故選B、5．已知直線l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】由，解得m=±2，m=﹣2時(shí)舍去，可得m=2，再利用平行線之間的距離公式即可得出．【解答】解：由，解得m=±2，m=﹣2時(shí)舍去，∴m=2，因此兩條直線方程分別化為：x+3y=0，x+3y﹣2=0．則l1與l2之間的距離==．故選：B．6．設(shè)f（x）=|sinπx|，則f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B． C．﹣ D．1【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)f（x）=|sinπx|，可知周期為1．當(dāng)x=1時(shí)，可得：f（1）=0，即可求解．【解答】解：設(shè)f（x）=|sinπx|，由y=sinπx可知其周期T=2那么f（x）=|sinπx|的周期為1．當(dāng)x=1時(shí)，可得：f（1）=|sinπ|=0．則f（1）+f（2）+f（3）+…+f已知函數(shù)f（x）=|sinx|，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．f（x）既偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B．f（x）的最大值為C．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對稱D．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對稱【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與性質(zhì)，對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=|sinx|，對于A，f（x）既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，正確；對于B，函數(shù)f（x）的最大值是1，∴B錯誤；對于C，函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象關(guān)于直線x=π對稱，正確；對于D，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對稱，正確．故選：B．8．過點(diǎn)A（1，2）且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；直線的一般式方程與直線的性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)A（1，2）且與原點(diǎn)距離最大的直線與OA垂直，再用點(diǎn)斜式方程求解．【解答】解：根據(jù)題意得，當(dāng)與直線OA垂直時(shí)距離最大，因直線OA的斜率為2，所以所求直線斜率為﹣，所以由點(diǎn)斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化簡得：x+2y﹣5=0，故選：B9．已知函數(shù)f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】f（x）的值域是[﹣，1]，則由正弦函數(shù)的圖象可知≤a+≤，可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f（x））=sin（x+）的值域是[﹣，1]，∴由函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知≤a+≤，可解得a∈[，π]．故選：D．10．函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，則滿足此條件的一個φ值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的對稱性．【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程，使得滿足在內(nèi)，解不等式即可求出滿足此條件的一個φ值．【解答】解：函數(shù)圖象的對稱軸方程為：x=k∈Z，函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，所以當(dāng)k=0時(shí)，φ=故選A11．過點(diǎn)P（1，2）作直線l，使直線l與點(diǎn)M（2，3）和點(diǎn)N（4，﹣5）距離相等，則直線l的方程為（）A．y+2=﹣4（x+1） B．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0C．y﹣2=﹣4（x﹣1） D．3x+2y﹣7=0或4x+y+6=0【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】設(shè)出直線l的斜率表示出直線l的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出M與N到直線l的距離，讓其相等得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率k寫出直線的方程即可．【解答】解：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y﹣2=k（x﹣1）即kx﹣y+2﹣k=0由題意可得：=，化簡得k﹣1=3k+7或k﹣1=﹣3k﹣7，解得k=﹣4或k=﹣則直線l的方程為：y﹣2=﹣4（x﹣1）或y﹣2=﹣（x﹣1）即3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0．故選B12．若直線y=k（x﹣2）與曲線有交點(diǎn)，則（）A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值C．k有最大值0，最小值 D．k有最大值0，最小值【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】曲線表示以（0，0）為圓心，1為半徑的圓（x軸上方部分），求出相切時(shí)，k的值，即可求得結(jié)論．【解答】解：如圖所示，曲線表示以（0，0）為圓心，1為半徑的圓（x軸上方部分）當(dāng)直線y=k（x﹣2）與曲線相切時(shí)，d=（k＜0），∴k=∴k有最大值0，最小值故選C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)y=的定義域是{x|}．【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．【解答】解：由2sinx+1≥0，得sinx．∴，k∈Z．∴函數(shù)y=的定義域是{x|}．故答案為：{x|}．14．若關(guān)于x的方程sin2x+2sinx﹣1+m=0有解．則實(shí)數(shù)m的范圍﹣2≤m≤2．【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的定義域和值域；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】變形換元可得m=﹣t2﹣2t+1=﹣（t+1）2+2，t∈[﹣1，1]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．【解答】解：∵sin2x+2sinx﹣1+m=0∴m=﹣sin2x﹣2sinx+1，令sinx=t，則t∈[﹣1，1]，∴m=﹣t2﹣2t+1=﹣（t+1）2+2，t∈[﹣1，1]，由二次函數(shù)的知識可知：當(dāng)t∈[﹣1，1]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)t=﹣1時(shí)，函數(shù)取最大值2，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取最小值﹣2∴實(shí)數(shù)m的范圍為：﹣2≤m≤2故答案為：﹣2≤m≤215．若cos（﹣α）=，則cos（+α）=﹣．【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】觀察已知與所求式子中的角度，發(fā)現(xiàn)（﹣α）+（+α）=π，即（+α）=π﹣（﹣α），故利用誘導(dǎo)公式cos（π﹣α）=﹣cosα把所求式子化簡后，將已知的式子代入即可求出值．【解答】解：∵，∴=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣．故答案為：﹣16．若圓（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的點(diǎn)到直線4x﹣3y﹣2=0的最短距離等于1，則半徑r的值為4．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，算出圓心C到直線4x﹣3y﹣2=0的距離，用這個距離減去圓的半徑就是所求點(diǎn)到直線距離的最小值，由此可得本題的答案．【解答】解：∵（x﹣3）2+（y+5）2=r2的圓心為C（3，﹣5），∴圓心C到直線4x﹣3y﹣2=0的距離為d==5．因此，圓（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的點(diǎn)到直線4x﹣3y﹣2=0的最短距離為5﹣r=1，∴r=4．故答案為：4．三、解答題（本大題共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．已知直角△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，），頂點(diǎn)C在x軸上．（1）求邊BC所在直線的方程；（2）求直線△ABC的斜邊中線所在的直線的方程．【考點(diǎn)】直線的一般式方程；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】（1）利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式即可得出．（2）利用直線與坐標(biāo)軸相交可得C坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得斜邊AC的中點(diǎn)，設(shè)直線OB：y=kx，代入B可得k．【解答】解：（1）依題意，直角△ABC的直角頂點(diǎn)為∴AB⊥BC，故kAB?kBC=﹣1，又∵A（﹣3，0），∴kAB==，kBC=﹣=﹣．∴邊BC所在直線的方程為：y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（2）∵直線BC的方程為，點(diǎn)C在x軸上，由y=0，得x=2，即C（2，0），∴斜邊AC的中點(diǎn)為（0，0），故直角△ABC的斜邊中線為OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．設(shè)直線OB：y=kx，代入，得，∴直角△ABC的斜邊中線OB的方程為．18．已知f（α）=．（1）化簡f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】（1）f（α）分子分母利用誘導(dǎo)公式化簡，約分即可得到結(jié)果；（2）已知等式左邊利用誘導(dǎo)公式化簡求出sinα的值，根據(jù)α為第三象限角，求出cosα的值，代入f（α）計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．19．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長是12cm，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？并且最大面積是多少？【考點(diǎn)】扇形面積公式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）利用扇形的弧長公式求出弧長，通過扇形面積減去三角形面積即可求解該弧所在的弓形面積；（2）利用扇形的周長是12cm，以及畫出公式，即可表示扇形圓心角α為，以及扇形面積，利用二次函數(shù)求出扇形最大面積．【解答】解：（1）設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，∵α=60°=，R=10，∴l(xiāng)=αR=（cm）．S弓=S扇﹣S△=××10﹣×2×10×sin×10×cos=50（﹣）（cm2）．（2）扇形周長12=2R+l=2R+αR，∴α=，∴S扇=αR2=??R2=﹣R2+6R=﹣（R﹣3）2+9．當(dāng)且僅當(dāng)R=3cm，即α=2時(shí)，扇形面積最大，且最大面積是9cm2．20．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）證明：無論m取什么實(shí)數(shù)，l與圓恒交于兩點(diǎn)；（Ⅱ）求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程．【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）求得所給的直線經(jīng)過x+y﹣4=0和2x+y﹣7=0的交點(diǎn)M（3，1），而點(diǎn)M在圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的內(nèi)部，從而得到l與圓恒交于兩點(diǎn)．（Ⅱ）弦長最小時(shí)，MC和弦垂直，再利用點(diǎn)斜式求得弦所在的直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）證明：直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，恒經(jīng)過直線x+y﹣4=0和2x+y﹣7=0的交點(diǎn)M（3，1），而點(diǎn)M到圓心C（1，2）的距離為MC==＜半徑5，故點(diǎn)M在圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的內(nèi)部，故l與圓恒交于兩點(diǎn)．（Ⅱ）弦長最小時(shí)，MC和弦垂直，故弦所在的直線l的斜率為==2，故直線l的方程為y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．21．已知，，是否存在常數(shù)a，b∈Q，使得f（x）的值域?yàn)?？若存在，求出a，