常微分方程奇解與包絡(luò)

常微分方程奇解與包絡(luò)第一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日2.4

奇解包絡(luò)和奇解克萊羅方程（ClairantEquation）本節(jié)要求：1了解奇解的意義；2掌握求奇解的方法。主要內(nèi)容第二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日利用通解和特解可以構(gòu)造解：從圖形可以看到，有無(wú)數(shù)條積分曲線過(guò)初始點(diǎn)。解：容易看到y(tǒng)=0是解，并且滿足給定的初始條件例1得通解由第三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日xy第五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日定義2.3

如果方程存在某一解，在它所對(duì)應(yīng)的積分曲線上每點(diǎn)處，解的唯一性都被破壞，則稱此解為微分方程的奇解。奇解對(duì)應(yīng)的積分曲線稱為奇積分曲線

第六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日一包絡(luò)和奇解的定義曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過(guò)這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個(gè)方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱為方程的奇解。注：奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。第七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例單參數(shù)曲線族R是常數(shù)，c是參數(shù)。xyo顯然，是曲線族的包絡(luò)。一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線族等都是沒(méi)有包絡(luò)的。第九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.

如圖從圖形可見(jiàn),此曲線族沒(méi)有包絡(luò).第十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

二、不存在奇解的判別法假設(shè)方程(1.9)的右端函數(shù)在區(qū)域上有定義，如果在D上連續(xù)且在D上有界(或連續(xù))，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，從而在D內(nèi)一定不存在奇解。有定義的區(qū)域D內(nèi)成立，那么奇解只能存在于不滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域上.進(jìn)一步如果再能表明在這樣的區(qū)域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無(wú)奇解。

如果存在唯一性定理?xiàng)l件不是在整個(gè)第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日定理2.6方程(1.9)的積分曲線族(C)的包絡(luò)線L是(1.9)的奇積分曲線。證明：應(yīng)用定理2.1積分曲線與線素場(chǎng)的關(guān)系的充要條件第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日三求奇解（包絡(luò)線）的方法C-判別曲線法

P-判別曲線法設(shè)一階方程的通積分為1C-判別曲線法結(jié)論：通積分作為曲線族的包絡(luò)線（奇解）包含在下列方程組消去C

而得到的曲線中。第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)由能確定出曲線為則對(duì)參數(shù)C求導(dǎo)數(shù)從而得到恒等式第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)至少有一個(gè)不為零時(shí)有或這表明曲線L在其上每一點(diǎn)(x(C),y(C))處均與曲線族中對(duì)應(yīng)于C的曲線相切。注意：

C-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例1

求直線族的包絡(luò)，這里是參數(shù)，p

是常數(shù)。解：對(duì)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)聯(lián)立相加，得，經(jīng)檢驗(yàn)，其是所求包絡(luò)線。xyop第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例2

求直線族的包絡(luò)，這里c

是參數(shù)。解：對(duì)參數(shù)c

求導(dǎo)數(shù)聯(lián)立得從得到從得到因此，C-判別曲線中包括了兩條曲線，易檢驗(yàn)，是所求包絡(luò)線。第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日xyo第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日2p-判別曲線結(jié)論：方程的奇解包含在下列方程組消去p

而得到的曲線中。注意：

p-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例3

求方程的奇解。解：從消去

p，得到p-判別曲線經(jīng)檢驗(yàn)，它們是方程的奇解。因?yàn)橐浊蟮迷匠痰耐ń鉃槎欠匠痰慕?，且正好是通解的包絡(luò)。第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例4

求方程的奇解。解：從消去

p，得到p-判別曲線經(jīng)檢驗(yàn)，不是方程的解，故此方程沒(méi)有奇解。注意：

以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得p-判別曲線和C-判別曲線是不是奇解，必需進(jìn)行檢驗(yàn)。第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

3克萊羅方程形式其中是

p的連續(xù)函數(shù)。解法通解奇解第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果:Clairaut方程的通解是一直線族,此直線族的包絡(luò)或是Clairaut方程的奇積分曲線,所對(duì)應(yīng)的解是奇解.第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例5

求解方程解：這是克萊羅方程，因而其通解為消去

c，得到奇解從第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日xyO如圖:此方程的通解是直線族:而奇解是通解的包絡(luò):第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例6求一曲線，使在其上每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)軸而成的直角三角形的面積都等于2。解設(shè)要求的曲線為過(guò)曲線任上一點(diǎn)的切線方程為其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為切線截割坐標(biāo)軸而成的直角三角形的面積為第二十七頁(yè)，共三十