高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列（全國一等獎(jiǎng)）

第二課時(shí)等比數(shù)列的應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1.課時(shí)目標(biāo)搞清等比數(shù)列的應(yīng)用，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題，搞清數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，能解決與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題2.基礎(chǔ)預(yù)測(cè)（1）對(duì)于正整數(shù)，，若滿足，則等比數(shù)列中，滿足（2）等比數(shù)列滿足是單調(diào)遞增數(shù)列，滿足時(shí)，單調(diào)遞減數(shù)列.（3）在等比數(shù)列中滿足且（），則（4）遇到等比數(shù)列問題，一般先求和.二、基本知識(shí)習(xí)題化1.已知各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的數(shù)列為等比數(shù)列，且滿足，則.或B.C.或162.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值為（）.D.3.在等比數(shù)列中，已知?jiǎng)t等于（）.4.已知數(shù)列成等差，數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值為（）A.B.C.或D.三、學(xué)法引領(lǐng)對(duì)于等比數(shù)列問題，搞清等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，遇到等比數(shù)列問題，要先用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，能夠用性質(zhì)解題首先利用性質(zhì)解題，不能用性質(zhì)要通過計(jì)算求出首項(xiàng)與公比再求解.在等比數(shù)列的單調(diào)遞增與遞減問題，注意要由首項(xiàng)與公比同時(shí)確定數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，即當(dāng)或是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)滿足或單調(diào)遞減數(shù)列.利用等比數(shù)列解決應(yīng)用問題，首先要確定公比，再確定首項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)進(jìn)行求解.四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)題型1等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用已知四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，和為，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，和為，求此四個(gè)數(shù).思路導(dǎo)析：根據(jù)等比數(shù)列求出前三項(xiàng)，再求出第四項(xiàng)解方程求出四個(gè)數(shù).解：依題意可設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為:,,4,,則由前三個(gè)數(shù)和為19可列方程得,,整理得,,解得或.∴這四個(gè)數(shù)分別為:25,-10,4,18或9,6,4,2.規(guī)律總結(jié)：對(duì)于等比數(shù)列與等差數(shù)列，在設(shè)變量時(shí)越少越好，利用解方程求解.變式訓(xùn)練1．有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)題型2等比數(shù)列的應(yīng)用問題例22023年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2023年開始，計(jì)劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化.（1）設(shè)該縣的總面積為1，2023年底綠化面積為a1=，經(jīng)過n年后綠化的面積為an+1，試用an表示an+1；（2）求數(shù)列{an}的第n+1項(xiàng)an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%.（lg2=，lg3=）思路剖析：當(dāng)年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加上新綠化面積.解：（1）設(shè)現(xiàn)有非綠化面積為b1，經(jīng)過n年后非綠化面積為bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依題意，an+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積an減去被非綠化部分an后剩余的面積an，另一部分是新綠化的面積bn，于是an+1=an+bn=an+（1－an）=an+.（2）an+1=an+，an+1－=（an－）.數(shù)列{an－}是公比為，首項(xiàng)a1－=－=－的等比數(shù)列.∴an+1=+（－）（）n.（3）an+1＞60%，+（－）（）n＞，（）n＜，n（lg9－1）＜－lg2，n＞≈.至少需要7年，綠化率才能超過60%.規(guī)律總結(jié)：利用數(shù)列解應(yīng)用問題，要首先審清題意，列出關(guān)系式，求出滿足的關(guān)系式，如果有指數(shù)的問題可以求導(dǎo)解決.變式訓(xùn)練2.某林廠年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年末要砍伐固定的木材量xm3，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材的存量增加50%，則x的值是A. B. C. D.題型3三等差與等比數(shù)列的應(yīng)用例3設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路導(dǎo)析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找．第（II）問中由（I）易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以解:解：（I）由及，有由，．．．①則當(dāng)時(shí)，有．．．．．②②－①得又，是首項(xiàng)，公比為２的等比數(shù)列．（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．，規(guī)律總結(jié)：遇到由與一般進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把轉(zhuǎn)化為再求解，不是等差與等比數(shù)列的問題，要轉(zhuǎn)化等差與等比數(shù)列求解變式訓(xùn)練3.數(shù)列的前項(xiàng)和記為，，．（1）當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？（2）在（1）的條件下，若等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，又成等比數(shù)列，求．五、隨堂練習(xí)1.已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為,則的取值范圍是（）ABCD2.在等比數(shù)列的值為（） A．9 B．1 C．2 D．33.在等比數(shù)列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于() 4.若是等比數(shù)列，且公比為整數(shù)，則.5.在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為．6.三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其比為，如果最小數(shù)加上，則三數(shù)成等比數(shù)列，那么原三數(shù)為什么？六、課后作業(yè)1.在等比數(shù)列中，已知，，則等于（）A、B、C、或D、2.在等比數(shù)列｛an｝中,a1<0,若對(duì)正整數(shù)n都有an<an+1,那么公比q的取值范圍是Aq>1B0<q<1Cq<0Dq<13.已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都等于它后面相鄰兩項(xiàng)的和，則該數(shù)列的公比q＝___.4.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則_______．答案：5.已知數(shù)列中，a1=，以an-1，an為系數(shù)的二次方程：an－1x2－anx+1=0都有實(shí)根、，且滿足3－+3=1。①求證：｛a－｝是等比數(shù)列；②求的通項(xiàng)。6.已知等比數(shù)列中，分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)，第3項(xiàng)，第2項(xiàng)，且，公比，（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。參考答案一、課前準(zhǔn)備2.基礎(chǔ)預(yù)測(cè)（1）【】（2）【當(dāng)或，或】（3）【】（4）【首項(xiàng)，公比】二、基本知識(shí)習(xí)題化1.解析：D設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，故選D.2.解析：B是等比數(shù)列，且，.從而原式.3.解析：B法1：.法2：由已知得=5..4.解：A由已知可得四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)1.解：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a,b,12－b,16－a,則,解得或,∴這四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.2.解析：一次砍伐后木材的存量為S（1+25%）－x；二次砍伐后木材存量為［S（1+25%）－x］（1+25%）－x.由題意知（）2S－x－x=S（1+50%），解得x=.答案：C3.解：（1）由，可得，兩式相減得，∴當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，要使時(shí)，是等比數(shù)列，則只需，從而．（2）設(shè)的公差為d，由得，于是，故可設(shè)，又，由題意可得，解得，∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，∴，∴．五、隨堂練習(xí)1.解析：【D】設(shè)三邊為則，即得，即2.解析：【D】.3.【C】解：4.解：.聯(lián)立或.5.解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及計(jì)算，由插入三個(gè)數(shù)后成等比數(shù)列，因而中間數(shù)必與，同號(hào)，由等比中項(xiàng)的中間數(shù)為＝6，插入的三個(gè)數(shù)之積為××6＝216．6.解：設(shè)原三數(shù)為，不妨設(shè)則∴原三數(shù)為．六、課時(shí)作業(yè)1.解析：C由已知及等比數(shù)列性質(zhì)知解得或所以或，所以或，故選C.2.【B】解析：在等比數(shù)列｛an｝中,a1<0,若對(duì)正整數(shù)n都有an<an+1,則an<an即an(1－q)<若q<0,則數(shù)列｛an｝為正負(fù)