概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

楊志堅內(nèi)蒙古大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院電話-mail:yangzj1970@163.com教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版，盛驟，謝式千，潘乘毅編

高等教育出版社參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》第二版

魏宗舒等編高等教育出版社

課程成績1、課堂表現(xiàn)：10%

2、平時作業(yè)：20%3、期末考試：70%

幾何圖形的面積、幾何體的體積的計算？日出日落？

在我們所生活的世界上，

充滿了不確定性

從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復(fù)雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化……，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性.

從亞里士多德時代開始，哲學(xué)家們就已經(jīng)認(rèn)識到隨機性在生活中的作用，他們把隨機性看作為破壞生活規(guī)律、超越了人們理解能力范圍的東西.他們沒有認(rèn)識到有可能去研究隨機性，或者是去測量不定性.

如同物理學(xué)中基本粒子的運動、生物學(xué)中遺傳因子和染色體的游動、以及處于緊張社會中的人們的行為一樣，自然界中的不定性是固有的.這些與其說是基于決定論的法則，不如說是基于隨機論法則的不定性現(xiàn)象，已經(jīng)成為自然科學(xué)、生物科學(xué)和社會科學(xué)理論發(fā)展的必要基礎(chǔ).什么是隨機現(xiàn)象？帶有隨機性、偶然性的現(xiàn)象隨機現(xiàn)象的特點：：當(dāng)人們在一定的條件下對它加以觀察或進行試驗時，觀察或試驗的結(jié)果是多個可能結(jié)果中的某一個.而且在每次試驗或觀察前都無法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性.或者說，出現(xiàn)哪個結(jié)果“憑機會而定。例如:

一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標(biāo)而有隨機性的誤差，但大量炮彈的彈著點則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等.問題：隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言？在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量的觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.炮火紛飛的戰(zhàn)場上如何躲避炮彈？足球賽開始如何確定誰先開球？出行交通工具的選擇？概率論的研究對象：隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性

隨機現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察中隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.

將不定性數(shù)量化，來嘗試回答這些問題，是直到20世紀(jì)初葉才開始的.還不能說這個努力已經(jīng)十分成功了，但就是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類活動的一切領(lǐng)域帶來了一場革命.

這場革命為研究新的設(shè)想，發(fā)展自然科學(xué)知識，繁榮人類生活，開拓了道路.而且也改變了我們的思維方法，使我們能大膽探索自然的奧秘.基本的知識儲備要求：深刻理解函數(shù)的內(nèi)涵集合論排列組合微積分（重點是微分和積分的涵義以及定積分、變限積分、曲線積分、曲面積分）第一章隨機事件與概率一隨機事件二概率條件概率與獨立性全概公式與貝葉斯公式（2）.隨機現(xiàn)象1、

隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象（1）、確定性現(xiàn)象

每天早晨太陽從東方升起;

水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù);

某種型號電視機的壽命;一、

隨機事件隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.特點：1.結(jié)果不止一個;2.事先不知道哪一個會出現(xiàn).隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性：隨機現(xiàn)象的各種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計規(guī)律性.是指對隨機現(xiàn)象或事物的某一特征的實驗或觀察過程。簡稱試驗，特點：(1)、重復(fù)性：可以在相同的條件下重復(fù)進行

(2)、明確性：每次試驗結(jié)果有多種可能性，所有的可能結(jié)果是事先知道的。

（3）、隨機性：每次試驗只能出現(xiàn)其中的某一種結(jié)果，在每次試驗之前不能斷定究竟出現(xiàn)那種結(jié)果。2、隨機事件1）隨機試驗

E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（HeadU）、反面T

（TailU）出現(xiàn)的情況。E3：觀察某一時間段通過某一路口的車輛數(shù)。

E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。E4：觀察某一電子元件的壽命。(1)事件：試驗的每一種可能的結(jié)果(2)隨機事件

:在試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件?？捎肁,B,C等字母表示。例：(i)拋一枚硬幣，觀察正面出現(xiàn)正面還是反面，可用H表示正面（Head），T表示出現(xiàn)正面（Tail）

(ii)拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)?？梢杂胑i表示出現(xiàn)i點

(i=1，2，3，4，5，6）

注：隨機事件發(fā)生的可能性大小是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的,是隨機事件固有的客觀規(guī)律性。(3)基本事件

:不能分解成其他事件組合的最簡單的事件。

2)隨機事件例：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。若用ei(i=1，2，3，4，5，6）表示出現(xiàn)i點，用A表示出現(xiàn)偶數(shù)點，B表示奇數(shù)點。則A與B都不是基本事件，而ei是基本事件。這是因為A={e2}U{e4}U{e6}，B={e1}U{e3}U{e5}。（4）必然事件:在試驗中一定發(fā)生的事件，記為Ω。（5）不可能事件

:在試驗中不可能發(fā)生的事件，記為。例：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。若A=“出現(xiàn)的點數(shù)小于7”，B=“出現(xiàn)的點數(shù)大于7”，則A是必然事件，而B不可能事件。注：必然事件和不可能事件在每次實驗前都是可以準(zhǔn)確預(yù)言的，其結(jié)果不是隨機事件，但為了討論方便將其看作是隨機事件的極端情況。2、樣本空間與事件

（1）樣本空間：試驗

E的每一個基本事件稱為一個樣本點，所有樣本點的集合稱為E的樣本空間，記為Ω。注:（i）我們稱一個隨機事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個它所包含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)。（ii）樣本空間Ω是所有基本事件的集合，樣本空間可視為必然事件。

（2)空集：不包含任何樣本點的集合，記為。

注:空集可視為不可能事件。例：（1）

E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（Head）、反面T（Tail）出現(xiàn)的情況。則E1

的樣本空間：

Ω1={H,T}

（2）E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。若ei=“出現(xiàn)i點”，(i=1，2，3，4，5，6）表示。則E2

的樣本空間：Ω2={e1,e2,e3,e4,e5,e6}

（3）E3：觀察某一時間段通過某一路口的車輛數(shù)。若用N表示車輛數(shù)。則E3的樣本空間：

Ω3={N|N為非負(fù)整數(shù)}（4）E4：觀察某一電子元件的壽命。則：Ω4={t|t0}例：E5：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。Ω5：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}；事件A１：“第一次出現(xiàn)的是H”，即

A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}；事件A２：“三次出現(xiàn)同一面”，即

A2＝{HHH，TTT}；在E4中事件A3

：“壽命小于1000小時”，即

A3＝｛t︱0≤t＜1000}；例：某袋中裝有4只白球和2只黑球，我們考慮依次從中摸出兩球所可能出現(xiàn)的事件。若對球進行編號，4只白球分別編為1，2，3，4號，2只黑球編為5，6號。如果用數(shù)對(i，j)表示第一次摸得i號球，第二次摸得j號球，則可能出現(xiàn)的結(jié)果是：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)

把這30個結(jié)果作為樣本點，則構(gòu)成了樣本空間。在這個問題中，這些樣本點是我們感興趣的事件；但是我們也可以研究下面另外一些事件：

A：第一次摸出黑球；

B：第二次摸出黑球；

C：第一次及第二次都摸出黑球．后面這些事件與前面那些事件的不同處在于這些事件是可以分解的，例如為了A出現(xiàn)必須而且只須下列樣本點之一出現(xiàn)：

(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)1)

包含關(guān)系

3、事件間的關(guān)系與運算ΩAB如果事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A，或者說A是B的子事件。記為：2）相等關(guān)系例：若A=“老王能活到85歲”，B=“老王能活到80歲”，則A

B（填）例：若A=“不大于7的整數(shù)”，B=“小于或者等于7的整數(shù)”，則A=B。3)和（并）事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，稱為A與B的和事件，記為

。例：某產(chǎn)品分為一，二，三，四等品，其中一、二等品為合格品，三、四等品為不合格品。若Ai=“i等品”

(i=1，2，3,4）;B=“合格品”，C=“不合格品”，則:B=A1+A2，C=A3+A4ABΩ4)

積（交）事件:“事件A與B同時發(fā)生”，稱為A與B的乘積（交）事件，記為A?B，或AB，或者。AB例：某圓柱產(chǎn)品的直徑與長度同時合格才算是合格品。若：A=“直徑合格”，

B=“長度合格”

C=“合格品”

則:C=A?BΩ注：

5)差事件：“A

發(fā)生同時B

不發(fā)生”，稱為A與B的差事件，記為A-B。ABAAB性質(zhì)：A-B=A-ABΩΩ互不相容（互斥）：若A和B不能夠同時發(fā)生，即，則稱A和B互不相容。BA注：基本事件是兩兩互不相容的。Ω7)相互對立（互逆、互補）：A逆運算的性質(zhì)：請注意互不相容與對立事件的區(qū)別！則稱A和B相互對立（互逆、互補），B叫做A的逆（補）事件，記做：同樣，Ω8）樣本空間的一個劃分定義：若兩兩互斥，且，則稱構(gòu)樣本空間Ω的一個劃分，或者說構(gòu)成Ω的一個互斥事件的完備事件組。注：樣本空間Ω中所有的基本事件一定可以構(gòu)成一個Ω

的一個劃分。

記號

概率論

集合論

Ω樣本空間,必然事件空間

φ不可能事件空集

樣本點

元素

AB

A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生A是B的子集

AB=φA與B互不相容A與B無相同元素

AB

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時發(fā)生

A與B的交集

AB

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對立事件A的余集4、事件間的運算法則1）冪等律:2）交換律:

3）結(jié)合律:4）分配律:5）DeMorgan律:

設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn)

是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點,則稱F為事件域事件域1.ΩF;

2.

若AF

，則

F;3.若AnF

，n=1,2,…,

則F.事件域φ樣本空間隨機事件A隨機事件B隨機事件C練習(xí)：設(shè)A,B,C為三個隨機事件，用A,B,C的運算關(guān)系表示下列各事件.(1)A發(fā)生，B與C都不發(fā)生.(2)A,B,C都發(fā)生.(3)A，B,C至少有一個發(fā)生.(5)A，B,C都不發(fā)生.(6)A，B,C不多于一個發(fā)生.(7)A，B,C不多于兩個發(fā)生.(8)A，B,C至少有兩個發(fā)生.練習(xí)一化簡下列格式：練習(xí)二證明下列等式：練習(xí)三從下面兩式分析各表示什么包含關(guān)系。二、概率1頻率的定義和性質(zhì)1）頻率的定義

在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值n

A/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A)。注：頻率fn(A)是一個變量，與試驗次數(shù)以及每一次試驗結(jié)果有關(guān)。2）頻率的穩(wěn)定性

實驗者德?摩根蒲豐K?皮爾遜K?皮爾遜

nnHfn(H)

204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.50053）頻率的性質(zhì)非負(fù)性：正則性：可加性：實踐證明：當(dāng)實驗次數(shù)n逐漸增大時事件A發(fā)生的頻率fn(A)逐漸趨于一個穩(wěn)定的值

1）概率的統(tǒng)計定義：2概率的定義在相同條件下重復(fù)進行的n

次試驗中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動,

且隨n越大擺動幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).頻率穩(wěn)定值概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的統(tǒng)計定義注：概率是一個隨機事件所固有的屬性，與試驗次數(shù)以及每一次試驗結(jié)果無關(guān)。統(tǒng)計定義的優(yōu)點：直觀。缺點：粗糙。2）概率的公理化定義定義：設(shè)

E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于E

的每一個事件A

賦予一個實數(shù)，記為P(A),如果集合函數(shù)P(.)滿足下列條件：則稱為事件A

的概率。1、非負(fù)性:2、規(guī)范性:3、可列可加性:若A1,A2,是兩兩互不相容的事件3、概率的性質(zhì)與推廣ABΩAΩABΩBAΩ性質(zhì)9

AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求B

的對立事件的概率。解：由P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，

所以P()=10.2=0.8.例1.3.2解：因為P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1

所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求

P(AB).

例1.3.3解：因為A、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.例1.3.4解：用對立事件進行計算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點的概率.利用對立事件例1.3.5解：記B=“至少出現(xiàn)一次雙6點”，則所求概率為

兩顆骰子擲24次，求至少出現(xiàn)一次雙6點

的概率.例1.3.6：從1,2,……,9中返回取n次，求取出的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率.利用對立事件和加法公式解：因為“乘積能被10整除”意味著：

“取到過5”(記為A)且“取到過偶數(shù)”(記為B)。因此所求概率為P(AB).利用對立事件公式、德莫根公式和加法公式解設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”，B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為

由于故得由于故得例1.3.7在1～2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少?

又由于一個數(shù)同時能被6與8整除，就相當(dāng)于能被24整除，因此，由得于是所求概率為4、等可能概型（古典概型）有限樣本空間:只有有限個樣本點的樣本空間，這種樣本空間稱為有限樣本空間。將之推廣到有可列個樣本點的樣本空間，這種空間稱為離散樣本空間，若Ω是有限樣本空間，其樣本點為e1，e2，…,en，在這種場合可以把的任何子集都當(dāng)作事件。在這種樣本空間中引進概率，只要對每個樣本點給定一個數(shù)與它對應(yīng)，此數(shù)稱為事件｛ei｝的概率，并記之為P({ei}))，它是非負(fù)的，而且滿足

P({e1})+P({e2})+…+P({en})=P(Ω)=1這樣，我們對樣本點定義了概率，用它來度量每個樣本點出現(xiàn)的可能性的大小。有限樣本空間基本事件概率的定義有限樣本空間事件概率的定義：任何事件A的概率P(A)是A中各樣本點的概率之和等可能概率模型是有限樣本空間的一種特例。這種隨機現(xiàn)象具有下列兩個特征：

(1)、在觀察或試驗中它的全部可能結(jié)果只有有限個，譬如為n個，記為e1，e2，…,en，而且這些事件是兩兩互不相容的；

(2)、基本事件｛ei｝（i=1,2,…n)的發(fā)生或出現(xiàn)是等可能的，即它們發(fā)生的概率都一樣。這類隨機現(xiàn)象在概率論發(fā)展初期即被注意，許多最初的概率論結(jié)果也是對它作出的，一般把這類隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。等可能概型（古典概型）如何理解古典概型中的等可能假設(shè)？

等可能性是古典概型的兩大假設(shè)之一，有了這兩個假設(shè)，給直接計算概率帶來了很大的方便。但在事實上，所討論問題是否符合等可能假設(shè)，一般不是通過實際驗證，而往往是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗”作出的。例如，骰子是正六面形，當(dāng)質(zhì)量均勻分布時，投擲一次，每面朝上的可能性都相等；裝在袋中的小球，顏色可以不同，只要大小和形狀相同，摸出其中任一個的可能性都相等。因此，等可能假設(shè)不是人為的，而是人們根據(jù)對事物的認(rèn)識對稱性特征而確認(rèn)的。古典概型中事件概率的計算公式

設(shè)試驗的樣本空間為Ω={e1，e2，…,en}。由于在試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同，即有

P({e1})＝P({e2})＝…＝P({en})又由于基本事件是兩兩不相容的，于是

1=P(Ω)=P({e1}∪{e2}∪…∪{en})=P({e1})+P({e2})+…+P({en})=nP({ei})P({ei})=1/n，i=1，2，…n概率的古典定義有關(guān)排列組合的知識回顧求解古典概型問題的關(guān)鍵是弄清基本事件空間的樣本點總數(shù)和所求概率事件包含的樣本點個數(shù)。在理清事件數(shù)的時候，必須分清研究的問題是組合問題還是排列問題。

1．不同元素的選排列從個不相同的元素中，無放回地取出ｍ個元素的排列(ｍ<ｎ)，稱為從n個不同元素中?。韨€元素的選排列，共有當(dāng)m＝n時，稱n個元素的全排列。共有ｎ！種。2．不同元素的重復(fù)排列在n個不同元素中，有放回地?。韨€元素進行的排列，共有種。3．不全相異元素的排列在ｎ個元素中，有ｍ類不同元素，每類有k1，k2，…,km個，將這n個元素作全排列，共有

n!／(k1!·k2!·…·km!)種。4．組合從n個不同元素中取m個而不考慮其次序的排列，共有

5．環(huán)排列從n個不同元素中，選出m個不同的元素排成一個圓圈的排列，共有

n(n-1)…(n-m+1)／m=·(m-1)!種。6．乘法原理設(shè)完成一件事有n個步驟，第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，…，第n步有mn種方法，則完成這件事有m1·

m2·

…

·mn種方法。7．加法原理設(shè)完成一件事有k類方法，每類分別有m1,…,mk種方法，而完成這件事只需一種方法，則完成這件事可以有m1+m2+…+mk種方法．

例1把一套4卷本的書隨機地擺放在書架上，問：恰好排成序（從左至右或從右至左）的概率是多少？

解：將書隨機地擺放在書架上，每一種放法就是一個基本事件，共有放法4！種。把書恰好排成序有兩種放法。所以，所求概率為

例2將

n

只球隨機的放入N(Nn)

個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。解：將

n

只球放入

N個盒子中去,共有而每個盒子中至多放一只球, 共有注意：這道題中的條件：N(Nn)

，只要有多余的盒子是空的，那么必然就有一個盒子里是兩個或兩個以上的球。例3同時擲5顆骰子，試求下列事件的概率：

A={5顆骰子不同點}；

B={5顆骰子恰有2顆同點}；

解：

例4設(shè)有

N

件產(chǎn)品，其中有

件次品，今從中按不放回抽樣方式任取

n件，問其中恰有

k

(kM)

件次品的概率是多少?（注：該問題是超幾何分布的實際背景）又

在M件次品中取k件，所有可能的取法有在N-M件正品中取n-k件,所有可能的取法有在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有解：于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有此式即為二項分布的概率公式。問題：若例4改為：設(shè)有

N

件產(chǎn)品，其中有M

件次品，今按重復(fù)抽樣方式從中任取

n件，問其中恰有

k

(kM)

件次品的概率是多少?（注：該問題為二項分布的實際背景）：例7：一口袋裝有6只球，其中4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機地取一只?？紤]兩種取球方式：(a)第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。這種取球方式叫做放回抽樣。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。這種取球方式叫做不放回抽樣。試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率；(2)取到的兩只球顏色相同的概率；(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解以A、B、C分別表示事件“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的兩只球中至少有一只是白球”。易知“取到兩只顏色相同的球”這一事件即為AUB，而C＝。(a)放回抽樣的情況。(b)不放回抽樣的情況。例6將n個男生和m個女生(m<n)隨機地排成一列,問：任意兩個女生都不相鄰的概率是多少？解：任意兩個女生都不相鄰時，首先n個男生的排法有n!種，每兩個相鄰男生之間有一個位置可以站女生，還有隊列兩側(cè)各有一個位置可以站女生，這樣m個女生共有n+1個位置可以站，所以，任意兩個女生都不相鄰這一事件的概率為n+m個學(xué)生隨機地排成一列共有排法(n+m)!種總共排法有種。

例7袋中有a只白球，b

只黑球．從中將球取出依次排成一列，問第k

次取出的球是黑球的概率．

解：設(shè)A=“第k

次取出的球是黑球”注：此結(jié)果與k無關(guān)例8從1～9這9個數(shù)中有放回地取出n

個.試求取出的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率．解：A={取出的n

個數(shù)的乘積能被10整除}；

B={取出的n

個數(shù)至少有一個偶數(shù)}；

C={取出的n

個數(shù)至少有一個5}．則A=B∩C.人們在長期的實踐中總結(jié)得到概率論中的一個重要原理——實際推理原理（小概率事件原理）：

概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的。1)、用小概率原理可以對某些命題（或假設(shè)）的是否正確做出判斷。2)、若在一次試驗中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件不是小概率事件3）、一般的，若P(A)不大于0.01,則可認(rèn)為A為小概率事件.例校長辦公室某一周內(nèi)曾接待過9次來

訪,這些來訪都是周三或周日進行的,是否

可以斷定接待時間是有規(guī)定的？解

假設(shè)無規(guī)定時間，即每天都接待，則意味來訪者在一周之內(nèi)去辦公室是等可能的。所以：P(9次來訪都在周三或周日)==0.0000127

這是小概率事件,一般在一次試驗中不會

發(fā)生.現(xiàn)居然發(fā)生了,故可認(rèn)為假定不成立,從而推斷接待時間是有規(guī)定的.5、幾何概型

古典概型是關(guān)于試驗的結(jié)果為有限種且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同的概率模型.一個直接的推廣是:保留等可能性,而允許試驗的所有可能結(jié)果為直線上的一線段,平面上的一區(qū)域或空間中的一立體等具有無限多個結(jié)果的情形,稱具有這種性質(zhì)的試驗?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?

若在一個面積為S(W)的區(qū)域W中等可能地任意投點,這里“隨機投擲一點（即等可能）”的含義是:點落入W中任何區(qū)域A的可能性大小與區(qū)域A的面積S(A)成比例,而與其位置和形狀無關(guān).

若①樣本空間充滿某個區(qū)域，其度量(長度、面積、體積)為S；

②記事件A={點落入?yún)^(qū)域A}，落在中的任一子區(qū)域A的概率只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無關(guān)(等可能的).

則事件A的概率為:

概率的幾何定義若是在直線上的某線段或空間立體上投點,則幾何概率計算公式中的面積分別改為長度或體積.例：

甲、乙兩個相約在0到T這段時間內(nèi)在預(yù)定地點會面，先到的人等候另一個，經(jīng)過時間t離去。設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的，且兩人到達的時刻互不相連。試求甲、乙兩人能會面的概率？解以x、y表示甲、乙兩人到達的時刻，則若以x、y表示平面上點的坐標(biāo)，而所有可能到達時刻組成的點可以用平面上邊長為T的正方形內(nèi)所有的點表示出來。兩人能會面的充分必要條件是：則所求的概率為：y-x=tx-y=t幾何概率的基本性質(zhì)

幾何概型的概率同樣具有下面三個基本性質(zhì)：⑴非負(fù)性：對于任何事件A,P(A)≥0；⑵規(guī)范性：P(S)=1；⑶可列可加性：若A1

，A2

，…兩兩互不相容，則

幾何概率的基本性質(zhì)(3)與古典概型的基本性質(zhì)⑶有何不同？

幾何概率的定義及計算與幾何圖形的測度密切相關(guān)，因此所考慮的事件應(yīng)是某種可定義測度的集合。這類集合并、交也還應(yīng)該是事件。甚至對它們的可列次并、交也應(yīng)有這個要求、例如考察在[0，1)中投一個點的隨機試驗，若以A記該點落入[0,1/2)中這個事件，而以An記該點落人[1/2n+1，1/2n）中這一事件，n=1,2,…,則如果假定所投的點落入某區(qū)間的概率等于該區(qū)間的長度，則P(A)=1/2，而P(An)=1/2n+1

，這時有三、條件概率與獨立性條件概率問題的提出對概率的討論總是在一組固定的條件限制下進行的。以前的討論總是假定除此之外再無別的信息可供使用。可是，有時我們卻會碰到這樣的情況，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率。例如考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個孩子(依大小排列)的性別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一樣的。若以A記隨機選取的這樣一個家庭中有一男一女這一事件，則顯然P(A)=1/2，但是如果我們預(yù)先知道這個家庭至少有一個女孩，那么，上述事件的概率便應(yīng)是2/3。在第二種情況下，我們多知道了一個條件：事件B(這一家庭至少有一女孩)發(fā)生，因此我們算得的概率事實上是“在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率”，這個概率記為P(A︱B)。

上例中，樣本點總數(shù)n=4，事件A包含的樣本點數(shù)mA=2,因此P(A)=1/2；事件B包含的樣本點數(shù)mB=3，而mAB=2，因此不難證明，上式對一般古典概型問題也成立。在幾何概率中，若以m(A),m(B),m(AB),m(S)分別記事件A,B,AB,S所對應(yīng)點集的測度，且m(B)>0,則1、條件概率的定義

設(shè)A,B是兩個事件，且P(B)>0，稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。設(shè)A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且P(B)>0，則稱A在“B已發(fā)生”這一附加條件下的概率為：在B發(fā)生的下A的條件概率，簡稱為在B之下A的條件概率。2、條件概率滿足概率定義中的三個基本性質(zhì)⑴、非負(fù)性：對于任何事件B，有P(B∣A)≥0；⑵、規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S∣A)=1；⑶、可列可加性：設(shè)B1

，B2

，…兩兩互不相容的事件，即對于i≠j,BiBj=φ,i,j=1,2,…,則有：條件概率也是概率，前面對概率所證明的一些重要結(jié)果都適用于條件概率。例如：特別當(dāng)B=Ω時，條件概率化為無條件概率。解：易知此屬古典概型問題．將產(chǎn)品編號，1，2，3號為一等品；4號為二等品。以(i，j)表示第一次、第二次分別取到第i號、第j號產(chǎn)品。試驗E(取產(chǎn)品兩次，記錄其號碼)的樣本空間為

S={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，…，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，

A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)}，

AB＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}．例9、一盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品，1只二等品。從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。設(shè)事件A為第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率P(B∣A)。

也可以直接按條件概率的含義來求P(B∣A)。我們知道，當(dāng)A發(fā)生以后，試驗E所有可能結(jié)果的集合就是A，A中有9個元素，其中只有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)屬于B，故可得按條件概率的定義，得條件概率3、乘法公式由條件概率的定義可得1）兩個事件的乘法公式：同理有：2）多個事件的乘法公式則有：這就是n個事件的乘法公式．例10、袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直至取出黑球為止．求取了n次都未取出黑球的概率例11、

設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球。每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球。若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。解以Ai(i=l，2，3，4)表示事件“第i次取到紅球”，則分別表示事件第三、四次取到白球，所求概率為例12、

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1／2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7／10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9／10。試求透鏡落下三次而未打破的概率。因為可以驗證，條件概率滿足概率定義中的三個條件，所以它是概率。條件概率是在試驗E的條件上加上一個新條件(如B發(fā)生)求事件(如A)發(fā)生的概率。條件概率P(A∣B)與P(A)的區(qū)別就是在E的條件上增加了一個新條件。而無條件概率是沒有增加新條件的概率。條件概率P(A∣B)與積事件概率P(AB)有什么區(qū)別？P(AB)是在樣本空間Ω內(nèi)，事件AB的概率，而P(A∣B)是在試驗E增加了新條件B發(fā)生后的縮減樣本空間ΩB中計算事件A的概率。雖然都是A、B同時發(fā)生，但兩者是不同的，有P(AB)＝P(B)P(A∣B)，僅當(dāng)P(B)＝P(Ω)＝1時，兩者相等。條件概率為什么是概率？它與無條件概率有什么區(qū)別？（1）、獨立性的定義：

一般說來：某個事件的無條件概率與條件概率是不相等的但是在某些情況下也相等。例：

袋中有a

只黑球，b

只白球．按有放回方式，每次從中取出一球，令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，顯然有：4獨立性這表明：在有放回情形，A

是否發(fā)生對B

是否發(fā)生在概率上是沒有影響的，即事件A

與B

呈現(xiàn)出某種獨立性．定義：設(shè)A、B

是兩個隨機事件，如果

則稱A

與B

是相互獨立的隨機事件．（2）、事件獨立性的性質(zhì)：1）如果事件A

與B

相互獨立，而且證由條件概率的定義得：2)若隨機事件A

與B

相互獨立，則也相互獨立.證明：為方便起見，只證相互獨立即可．由于設(shè)事件A

與B

滿足：（1）若事件A

與

B

相互獨立，則AB≠Φ；（2）若AB=Φ，則事件A

與B

不相互獨立．證明：思考：事件的互不相容與事件的獨立性這兩個概念的區(qū)別若AB=Φ，則有P（AB）=P(Φ)=0（1）矛盾與（2）由于AB=Φ，所以由已知條件知：。若A與B獨立，則有矛盾。這表明，事件A與B不相互獨立．此例說明：互不相容與相互獨立不能同時成立。兩事件A,B獨立與兩事件A,B互斥有什么關(guān)系？

這兩個概念并無必然的聯(lián)系。兩事件A,B獨立，則A,B中任一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生無關(guān)；而兩事件互斥，則其中任一個事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個事件不發(fā)生，所以說，兩事件的發(fā)生是有影響的。可以用圖形作一直觀解釋。左圖中A是左上半個三角形，B是右上半個三角形，P(A)=P(B)=1／2，P(AB)＝1／4，表示樣本空間中兩獨立事件間關(guān)系。右圖中，左下半個三角形是A，右上半個三角形是B，P(A)=P(B)=1／2,P(AB)=0,表示樣本空間中兩互斥事件間關(guān)系。ABBAAB（3）、多個事件的獨立性設(shè)A、B、C是三個隨機事件，1）三個事件的獨立性：則稱A、B、C是相互獨立的隨機事件．如果[思考1]

三個事件A,B,C兩兩獨立，能否保證他們相互獨立呢？即能否由

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)

推出：

P(ABC)=P(A)P(B)P(C).答：不能。這從下面的例子可以看出。例1、

一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅，白，黑三種顏色?，F(xiàn)在我們以A，B，C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅，白，黑顏色的事件，則由于在四面體中有兩面有紅色，因此

P(A)=1/2

同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出

P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4

所以A,B,C兩兩獨立，但是

P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)[思考2]能否由

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

推出

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C).答：不能。這從下面的例子可以看出。例2若有一個均勻正八面體，其第1，2，3，4面染紅色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，現(xiàn)在以A,B,C分別表示投一次正八面體出現(xiàn)紅，白，黑的事件，則

P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)

但是

P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B)2）n個事件的相互獨立性：（4）獨立隨機事件的性質(zhì)：則：（1）其中任意個隨機事件也相互獨立；即：若n個事件(n≥2)相互獨立，則將A1,A2,…An任意多個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立。若是相互獨立的事件，則（5）相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率的計算：在獨立的條件下有：3）2）1）n例12、

如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為r，0<r<1.且各元件能否正常工作是相互獨立的，試求下列系統(tǒng)的可靠性：

1）每條通路要能正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)該通路上的各元件都正常工作，故可靠性為2）一條通路發(fā)生故障的概率為兩條通路同時發(fā)生故障的概率為故系統(tǒng)的可靠性為3）每對并聯(lián)元件的可靠性為系統(tǒng)由每對并聯(lián)的元件串聯(lián)組成，故可靠性為解：1）n2）3）

例5設(shè)有電路如圖，其中1,2,3,4為繼電器接點。設(shè)各繼電器接點閉合與否相互獨立，且每一個繼電器接點閉合的概率均為

p。求L至R為通路的概率。LR2134

解：設(shè)事件Ai(i=1,2,3,4)為“第i個繼電器接點閉合”,L

至

R為通路這一事件可表示為：由和事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互獨立性，得到

例13甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p，p≥1／2。問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利。設(shè)各局勝負(fù)相互獨立。解采用三局二勝制，甲最終獲勝，其勝局的情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”。而這三種結(jié)局互不相容，于是由獨立性得甲最終獲勝的概率為

采用五局三勝制，甲最終獲勝，至少需比賽3局(可能賽3局，也可能賽4局或5局)，且最后一局必需是甲勝，而前面甲需勝二局。例如，共賽4局，則甲的勝局情況是：“甲乙甲甲”，“乙甲甲甲”，“甲甲乙甲”，且這三種結(jié)局互不相容。由獨立性得在五局三勝制下甲最終獲勝的概率為

當(dāng)p>1/2時p2>p1；當(dāng)p＝1/2時p2＝p1＝1/2。故當(dāng)p>1/2時，對甲來說采用五局三勝制為有利。當(dāng)p＝1/2時兩種賽制甲、乙最終獲勝的概率是相同的，都是50﹪。1、全概率公式：四、全概率公式和貝葉斯公式由條件：得而且由全概率公式的證明：A1BA5A4A3A2所以由概率的可加性，得得解設(shè)從這批種子中任選一顆是一等、二等、三等、四等種子的事件分別記為A1,A2,A3,A4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個分割。用B表示在這批種子中任選一顆，且這顆種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒這一事件，則由全概率公式得：例18播種用的一等小麥種子中混合2﹪的二等種子，1.5﹪的三等種子，1﹪的四等種子。用一等、二等、三等、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別是0.5,0.15,0.1,0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。練習(xí)：考卷中一道選擇題有4個答案，僅有一個是正確的，設(shè)一個學(xué)生知道正確答案或不知道而亂猜是等可能的。如果這個學(xué)生答對了，求它確實知道正確答案的概率。解樣本空間可以劃分為事件A一知道正確答案，一不知道。以B表示學(xué)生答對事件，則AB，P(AB)＝P(A)＝1／2。P(B∣A)=1，而P(B∣)＝1／4。由全概率公式

P(B)＝P(A)P(B∣A)+P()P(B∣)

＝1／2×1+1／2×1／4=5／8，故P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．2、貝葉斯（Bayes）公式設(shè)隨機事件則有：貝葉斯公式的證明：證由條件概率的定義及全概率公式即得貝葉斯定理往往與全概率公式同時使用。全概率公式一用于“由因求果”問題，而貝葉斯定理一般用于“執(zhí)果尋因”問題，在使用時要分清是什么問題，確定應(yīng)用哪個公式。當(dāng)n=2時，全概率公式和貝葉斯公式的形式什么是先驗概率和后驗概率？

貝葉斯公式在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中有著多方面的應(yīng)用。假定B1,B2,…是導(dǎo)致試驗結(jié)果的“原因”，P(Bi)稱為先驗概率，它反映了各種“原因”發(fā)生的可能性大小，一般是以往經(jīng)驗的總結(jié)，在這次試驗前已經(jīng)知道?，F(xiàn)在若試驗產(chǎn)生了事件A，這個信息將有助于探討事件發(fā)生的“原因”。條件概率P(Bi∣A)稱為后驗概率，它反映了試驗之后對各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新知識。例如在醫(yī)療診斷中，有人為了診斷病人到底是患了毛病B1,B2,…,Bn中的哪一種，對病人進行觀察與檢查，確定了某個指標(biāo)A(譬如是體溫、脈搏血液中轉(zhuǎn)氨酶含量等等)，他想用這類指標(biāo)來幫助診斷。這時就可以用貝葉斯公式來計算有關(guān)概率。首先必須確定先驗概率P(Bi)，這實際上是確定人患各種毛病的可能性大小，以往的資料可以給出一些初步數(shù)據(jù)；其次是要確定P(A∣Bi)，這里當(dāng)然主要依靠醫(yī)學(xué)知識。有了它們，利用貝葉斯公式就可算出P(Bi∣A)，顯然，對應(yīng)于較大P(Bi∣A)的“病因”Bi，應(yīng)多加考慮。在實際工作中，檢查的指標(biāo)A一般有多個，綜合所有的后驗概率，當(dāng)然會對診斷有很大幫助。在實現(xiàn)計算機自動診斷或輔助診斷中，這方法是有實用價值的。先驗概率和后驗概率兩者間有什么關(guān)系？

先驗概率是指根據(jù)以往經(jīng)驗和分析得到的概率，如全概率公式中的P(Bi)，它往往作為“由因求果”問題中的“因”出現(xiàn)。后驗概率是指在得到“結(jié)果”的信息后重新修正的概率，如貝葉斯公式P(Bi∣A)＝P(A∣Bi)P(Bi)/P(A)中的P(Bi∣A)，是“執(zhí)果尋因”問題中的“因”。先