空間想象能力

發(fā)展空間觀念的序列及案例FAZHANXUESHENGDEKONGJIANGUANNIANDEXULIEJIANLItangcaibin@唐彩斌123宏觀指導(dǎo)思想是正確的中觀教學(xué)理念是認(rèn)同的微觀教學(xué)操作是困難的課程改革近十年，您是否越來越覺得……

B重點教學(xué)靈活思維A重點教學(xué)機(jī)械技能數(shù)學(xué)教學(xué)

D思維需大量訓(xùn)練C思維有序訓(xùn)練E教師告訴怎么做F學(xué)生自主思考？課程標(biāo)準(zhǔn)2011版

從雙基到四基雙基：基礎(chǔ)知識，基本技能。四基：基礎(chǔ)知識、基本技能、

基本活動經(jīng)驗，基本思想；

從兩能到四能分析問題；解決問題；發(fā)現(xiàn)問題；提出問題；

從6大核心到10大核心數(shù)感符號感空間觀念統(tǒng)計觀念推理能力應(yīng)用意識

10大核心素養(yǎng)數(shù)感符號意識空間觀念幾何直觀數(shù)據(jù)分析觀念運(yùn)算能力推理能力應(yīng)用意識創(chuàng)新意識模型思想課堂作業(yè)在聽講的過程中，能不能結(jié)合自己的實踐來作補(bǔ)充?？梢匝a(bǔ)充一個觀點。也可以補(bǔ)充一個案例。也可能是按照要求來完成仿真練習(xí)。請不要過于糾結(jié)反問自己“為什么我來說呢”這樣會不會……這里需要我們自由安全地表達(dá)。關(guān)注空間觀念空間觀念部分綜述傳統(tǒng)三大能力之一：空間想象能力；空間觀念與空間想象力的關(guān)系？空間想象能力是對幾何表象加工改造，創(chuàng)造新的形象。對學(xué)生來說，這種要求太高了，所以義務(wù)教育階段教學(xué)大綱中只提出培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。（曹才翰）空間觀念綜述空間觀念包括三個方面：(1)實物幾何化；(2)由基本圖形尋找出基本元素及其關(guān)系；(3)由比較復(fù)雜的圖形分解出簡單的、基本的圖形，能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形?？臻g觀念不僅是“觀念”，還是數(shù)學(xué)課程里新的內(nèi)容、題材和呈現(xiàn)方式。（李玉龍、朱維宗）空間觀念綜述對于學(xué)生來說，發(fā)展牢固的空間觀念，掌握幾何的概念和語言，不僅可以較好地為學(xué)習(xí)數(shù)和度量概念做準(zhǔn)備，還可以促進(jìn)其他數(shù)學(xué)課程的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。（劉曉玫）空間觀念綜述性別差異國內(nèi)外研究結(jié)果不同。大多數(shù)西方研究成果表明：男性的空間觀念有優(yōu)勢，這種優(yōu)勢隨著年齡的增長而增加。男生的優(yōu)勢隨著年齡的增長縮小并消失。（許燕、張厚粲，2000）采用適當(dāng)方式描述物體間的位置關(guān)系的能力，采用適當(dāng)方法確定物體位置的能力，利用直觀形象描述和分析問題的能力；圖形變換能力；在二維和三維圖形和它們的表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力；采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行空間測量的能力；對空間形式及其符號進(jìn)行想象、形成空間概念及空間關(guān)系的能力等。（華國棟，2008）空間觀念：空間觀念能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實物或幾何圖形的運(yùn)動和變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考。備注：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”（實驗稿），北京師范大學(xué)出版社?？臻g觀念根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。備注：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”2011版，北京師范大學(xué)出版社。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI對于概念的界定，一方面我們盡可能多地知曉已有的研究與結(jié)論，同時我們也不要拘泥于之前的某一項研究的結(jié)論。更不必試圖引用所謂權(quán)威或官方的文字來佐證自己的認(rèn)識。實踐才是檢驗理念的唯一標(biāo)準(zhǔn)。不知您是否也這樣：我們通常沒有過多的精力來搞清楚是什么空間觀念？而是很想知道到底怎么做才能發(fā)展學(xué)生的空間觀念？空間觀念的課程序列教學(xué)的過程，就像是帶著孩子爬樓梯的過程，只要有合適的階梯，學(xué)生終究是會到達(dá)終點的。觀念的形成需要合適的序列知識的序列編排就像人體基因排序一樣具有攻堅意義。我們堅信每一個孩子都會進(jìn)步，只是需要尋找適合他的學(xué)習(xí)材料。不是零散的“拼盤”，是整體的“金字塔”。

課程不是拼盤，是金字塔形成空間觀念需要基本內(nèi)容與專項材料（1）圖形的認(rèn)識；（2）圖形的測量：（3）圖形的運(yùn)動變換；（4）圖形的方位：（1）圖形的轉(zhuǎn)換；（2）圖形的分解；（3）圖形的組合；（4）圖形的辨認(rèn)；（5）圖形的概括；（6）圖形的推理；（7）圖形計數(shù)；（8）多連塊拼圖；（9）找隱蔽圖形；(10)圖形的展開和折疊；（張?zhí)煨ⅲ?012）原來8項，單列2項圖形之間的轉(zhuǎn)換生活的經(jīng)驗生活的經(jīng)驗拍照：從三維到二維，從立體到平面。用長方形折出正方形，用正方形剪出一樣大的三角形等。圖形之間的轉(zhuǎn)換圖形之間的轉(zhuǎn)換平面圖形之間的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換：圖形特征的再鞏固。來源：人教版配套五年級暑假作業(yè)思考題：一個梯形，如果上底增加4cm，就變成一個平行四邊形；如果上底減少3cm，就成了一個三角形，這時面積比原來減少了7.5平方厘米。原來這個梯形的面積是多少平方厘米？能力培養(yǎng)：不為考試，贏在考試。圖形之間的轉(zhuǎn)換一維、二維和三維之間的轉(zhuǎn)換。在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？一維和二維之間的轉(zhuǎn)換四邊形的對邊關(guān)系A(chǔ)BCD在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？七巧板長方體二維和三維之間的轉(zhuǎn)換

一條線段長5厘米，以每秒10厘米的速度向右平移，3秒鐘后，線段掃過的部分的面積是多少？一維和二維之間的轉(zhuǎn)換哪個長方體禮盒裝得多？1單位：cm1088610610810686序號1長寬高體積1086480哪個長方體禮盒裝得多？2單位：cm序號2長

寬

高

體積

20105100020101052010105158哪個長方體禮盒裝得多？3單位：cm155序號3長

寬

高

體積

1585600哪個長方體禮盒裝得多？4單位：cm815815序號4長

寬

高

體積

158？

碾路機(jī)；

二維和三維之間的轉(zhuǎn)換游泳池；四棵樹，怎樣栽，使得任兩棵樹之間距離相等?二維和三維之間的轉(zhuǎn)換觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI學(xué)習(xí)開始的地方不一定在課堂？重視日常生活中圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換，這些基本的活動經(jīng)驗積累為學(xué)校課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是奠定基礎(chǔ)。轉(zhuǎn)換并不一定是在一個維度上？一維、二維和三維之間的相互轉(zhuǎn)換，恰是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有益舉措。您是否想起了相關(guān)的案例？圖形的分解與組合圖形的分解有一塊長4米，寬3米的園地，現(xiàn)要在園地上辟出一個花圃，使花圃的面積是原園地面積的一半，問如何設(shè)計？（日本開放題）：圖形的分解：圖形的分解：2等分3等分4等分7等分圖形的組合：圖形的組合：圖形的組合：

七巧板拼平行四邊形圖形的組合：七巧板拼正方形生活中的七巧板數(shù)學(xué)老師家擺上一個，是否更能體現(xiàn)自己的學(xué)科氣質(zhì)？用七巧板拼寓言《自相矛盾》二連方三連方圖形的組合源自50年代美國多連塊圖形的組合從三連方到四連方是怎么構(gòu)造成的？五連方；六連方。分別有幾個呢？五連方12種，大都能用字母表述形狀。六連方35個不同的六連方，能拼成正方體的有11種。圖形的分解與組合觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI圖形的分與合不只是圖形的拼與拆？圖形的分解，并不僅僅是圖形外形的簡單分隔，而是相關(guān)數(shù)學(xué)知識和技能的應(yīng)用。圖形的組合中，注重我國傳統(tǒng)益智素材七巧板的活動，也吸收西方的益智素材幾連塊的應(yīng)用。作業(yè)不一定是當(dāng)天完成的？時間長短不是問題，好題的起點低，人人可參與；開放度大，不同的人不同要求，做全對人人都有挑戰(zhàn)。圖形計數(shù)圖形計數(shù)的序列數(shù)點：數(shù)線段：數(shù)角；數(shù)圖形：數(shù)方塊數(shù)線段和角下圖中有多少條線段？數(shù)線段和角平面上的5個點，每3點都不在同一條直線上，各點連接，一共有多少條線段？數(shù)圖形下圖中有多少個正方形和三角形？英國：數(shù)學(xué)大師俱樂部數(shù)圖形下面這個圖形中有多少種圖形，每種圖形各有多少個？（1982年，張德琇）數(shù)立方體的個數(shù)下圖的長方體是由1立方厘米的小正方體擺成的，它的體積是多少立方厘米？數(shù)立方體的個數(shù)

PISA樣題蘇森要搭建左圖所示的幾何體，需要多少個立方塊？那么搭建右圖所示的幾何體呢？利用小立方塊搭建右圖所示的幾何體，如果允許內(nèi)部有空洞，而外表上看起來還是這樣的大立方體，至少需要多少個小立方體？.將邊長為3和4的兩個正方體的表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體。探求滿足下面條件的小正方體的數(shù)量規(guī)律。（1）邊長為3的正方體，三面、兩面、一面有紅顏色的小正方體各有多少個？（2）邊長為4的正方體呢？邊長分別改為5和6，結(jié)果如何？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？案例：分類計數(shù)觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI操作不一定用手？一個一個數(shù)小立方塊，那只是一個數(shù)數(shù)的問題，針對不完整的立體圖形，要算出總數(shù)，就需要考量學(xué)生的空間想象能力。在數(shù)的過程中，除了實際的數(shù)，更有頭腦中的表象地數(shù)，切勿一味實物操作；有時遠(yuǎn)距離的操作比近距離操作更有挑戰(zhàn)，因為需要學(xué)生更為精準(zhǔn)地數(shù)學(xué)表達(dá)，這也是一種能力。圖形的概括圖形屬性的概括先從已知的幾個圖形中概括出特點，在把下面符合特征的圖歸入上列圖中。⑤①②③④羊毛衫上的圖案認(rèn)識圖形：從多個圖形中概括中共同特點。拉門生活中的現(xiàn)象。日本的三菱汽車標(biāo)志生活中的現(xiàn)象。地磚生活中的現(xiàn)象。色香味俱全，還有“形”生活中的現(xiàn)象。美國空中跳傘新記錄生活中的現(xiàn)象。生活中的現(xiàn)象。法國飛行表演巴西國旗生活中的現(xiàn)象。法國巴黎盧浮宮玻璃金字塔：600個菱形生活中的現(xiàn)象。德國慕尼黑安聯(lián)球場：2874個菱形生活中的現(xiàn)象。圖形共同特點？S＝c×r÷2S＝（a＋b）h÷2S＝ah÷2S＝ahS＝ab圓形梯形三角形平行四邊形長方形圖形的概括：面積公式的概括V＝Sh圖形的概括：體積公式的概括觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI公式記得多不意味著本領(lǐng)強(qiáng)？（類似：數(shù)字大不一定題目難，文章長不意味著價值大）華老的話“把厚書讀薄”，不知用在數(shù)學(xué)概括上，算否牽強(qiáng)；無論怎樣，注重概括是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)特點；圖形的推理燒開水的一般過程是：在水壺里放水，點燃燃?xì)庠?，再把水壺放到燃?xì)庠钌?。如果有一天，在你面前放著水壺，水壺里已?jīng)裝了水，那么又應(yīng)當(dāng)怎么做呢？物理學(xué)家說：點燃燃?xì)庠睿侔阉畨胤诺饺細(xì)庠钌??？墒菙?shù)學(xué)家卻不會這樣想，他們常常說：倒出水壺里的水，然后按照一般過程燒。數(shù)學(xué)家的思維：把后一問題轉(zhuǎn)化成先前的問題。

案例：燒開水。圖形面積的推導(dǎo)。圖形推理“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭開自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的”。

珍視類比。德國數(shù)學(xué)家開普勒長方形面積的推導(dǎo)

長方體體積的推導(dǎo)；類比。推理的嚴(yán)謹(jǐn)：平行四邊形的面積推導(dǎo)平行四邊形的面積推導(dǎo)一般的特殊的為了轉(zhuǎn)化成長方形，所以要沿著高剪。是不是不同形狀的平行四邊形都可以沿高剪呢？所以需要提出特殊的情況。為什么要介紹平移這種方法呢？（參見傅種孫數(shù)學(xué)教育文選，人民教育出版社）平行四邊形的面積再多的白羊也不能證明所有的羊都是白的，而只要一只黑羊就能證明所有的羊都是白的這個理論是錯誤的。認(rèn)識可能性我們常常拋硬幣，擲骰子，用來說明等可能性的事件，如果用啤酒瓶的蓋來說明這不是等可能性的，對等可能的事件的理解反而更深刻。反例的作用觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI只有提供越豐富的材料，才便于學(xué)生概括。妥善處理特殊的情況，如果連特殊的情況也滿足一般的規(guī)律，學(xué)生對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律會更堅定?？吹狡聊簧系恼Z言，您想到了什么圖？現(xiàn)場體驗一個角；一個三角形。三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個最特殊？是不是所有三角形都能作高？銳角三角形一作高，是不是分成了兩個直角三角形？鈍角三角形呢？任何一個三角形一作高，就能把它轉(zhuǎn)化成2個直角三角形；如果知道直角三角形面積計算方法，是否可以說任何三角形的面積都會了？三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個最一般？《三角形的面積》推理思路S＝（1/2h）aS＝（1/2a）hS＝1/2（ah）三角形面積公式圖形的推理：讓不完全歸納更完全；三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和是180度？三角形的內(nèi)角和是180，四邊形呢？為什么只學(xué)內(nèi)角不學(xué)外角？三角形的外角和是360，四邊形呢？一般的多邊形呢？

三角形的外角和

六邊形的外角和圖形的推理：讓不完全歸納更完全；五角星中的黃金比欣賞：奇妙的五點共圓推理的嚴(yán)謹(jǐn)：車輪為什么是圓的？陰影部分的面積怎樣計算？圖形的組合與推理：陰影部分的面積怎樣計算？圖形的組合與推理：綠色和藍(lán)色的面積哪個大？圖形的組合與推理：圖形的面積推理：

紅色與綠色的面積哪個大？下圖中，長方形的長和寬分別為40厘米和25厘米，一個直徑為4厘米的圓沿長方形內(nèi)壁無滑動地滾動一周，求圓滾過的部分的面積。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI根據(jù)已知的條件，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的關(guān)系和存在的規(guī)律，推導(dǎo)出新的結(jié)論，有時結(jié)論不一定完全正確，但可能蘊(yùn)含價值，教學(xué)需要多遵循兒童的“話語體系”；“蹲”下來傾聽孩子，不只是姿勢，更是兒童的邏輯；數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，兒童所學(xué)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)是“相對”的，小學(xué)里常用“不完全歸納”，但教學(xué)能夠盡可能“完全”還是應(yīng)該“盡力而為”。長方形的周長：24米長的繩子圍長方形土地；不靠墻，長+寬=12兩面靠墻：長+寬=24一面靠墻：長+寬×2=24比較距離和面積比較兩點之間的距離每個小方格的邊長是1厘米。①小甲蟲C爬到什么位置時，成了AD的中點?②小甲蟲C在哪一段上爬行時，始終有AC＞CB?③如果線段AB上有兩只小甲蟲，它們分別爬到哪里時，與D點的距離相等。④根據(jù)小甲蟲C的運(yùn)動情況，請你提出一個數(shù)學(xué)問題。

比較距離：三角形之間的關(guān)系三角形之間的關(guān)系先在方格紙上畫上一條線段AB。準(zhǔn)備畫出到直線AB的距離等于2厘米的點。時間只有30秒，先想好，再一起開始。準(zhǔn)備好了嗎？挑戰(zhàn)題。動手畫一畫，看誰畫的點子多。如果到一個點距離等于2厘米的點呢？比較距離。B比較周長。藍(lán)線與紅線比，哪條長？藍(lán)紅黑虛線為直徑比長短3等分直徑d=10cm藍(lán)線和紅線合起來是多長？比長短d=10cm4等分直徑比長短

n等分直徑直徑為d兩個同樣的1元硬幣，一個硬幣A繞著另一個硬幣B旋轉(zhuǎn)1圈，硬幣A轉(zhuǎn)了幾圈？好玩的圓周長圖形的面積與周長變化下圖中的小方格每邊長表示1分米，在圖1的基礎(chǔ)上，增加了2個小方格（如圖2,圖3），整個圖的面積分別增加了多少？周長增加了多少？圖1圖2圖3

增加一個小正方體，表面積比原來增加還是減少？拿掉一個小立方塊，表面積比原來增加還是減少？比較面積和距離：觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI不作具體計算而比較面積的大小和距離的長短，是空間知覺能力的反應(yīng)。比較大小和長短，不是單憑視覺所做的判斷，而是借助具有參照意義的單位來判斷，或者找到相互之間的關(guān)系來判斷。在變化中，尋找變與不變的數(shù)量，既是空間知覺的鍛煉，也是辯證關(guān)系的滲透。在復(fù)雜圖形中找隱蔽圖形您有一雙慧眼嗎從右圖中找到左邊這個簡單的圖形。在復(fù)雜圖形中找隱蔽圖形如：下面這個圖形中有多少種圖形，每種圖形各有多少個？（1982年，張德琇）這個圖形中一共有多少個三角形？北京奧運(yùn)建筑-鳥巢欣賞：建筑中的圖形。廣州亞運(yùn)會建筑-小蠻腰案例欣賞：建筑中的圖形。2010世博會陽光谷2008奧運(yùn)會水立方欣賞：建筑中的圖形。香港中銀大廈廣州電視塔法國巴黎盧浮宮玻璃金字塔：600個菱形到底是多少個菱形？德國慕尼黑安聯(lián)球場：2874個菱形到底多少個菱形？觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI在復(fù)雜圖形找出相應(yīng)的圖形，既是要感受物體間的位置關(guān)系，也需要對組成圖形的部分做合適的估計。圖形的展開與折疊圖形的展開與折疊對折一次對折兩次圖形的展開與折疊一張正方形的紙要剪下一個最大的圓，怎么操作比較方便？生活中的應(yīng)用85v58這個號碼對稱嗎圖形的展開與折疊觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI對稱的除了圖還有“數(shù)和式”？圖形的展開與折疊，有學(xué)者的研究是小學(xué)生和成人的表現(xiàn)水平差不多，值得思考的是：我們有沒有進(jìn)行過系