初等數(shù)論期中考試答案

設(shè)a,,滿足a|bn,x,a|nnn(by)bny,a|anx,a|bna|anx,a|a|(bny),a|n:1,,|bna|bny,a|.a2.(a,b)，c|a,(c,a)(c,b)1.證明：記d(c,a),c|ab,故q,abcqbcqad|a,d|c,故d|(cqa),即d|d|ad|(a,b),(a,b)d(c,a)，同理可證(c,b)(c,a)(c,b)1:若d|a,d|c,|abd|ab,d|bd1,(c,a)c同理(c,b)3.已知[，B]42[C]66(,C)3,,B,C.[，B]4223[B,C]662311,A237,B237,123123其中0,1,i1,2,3)(,C)3,3|,3|C,1,又由[,B]ii2223知11,[B,C]23117,7|11|C故A212,332(,)知與1.BAC113311當(dāng),1,即A21時(shí)C3366,B6,A21,B2,11C33或A21,B6,C33A21,B2,CA21,B6,C66.當(dāng)時(shí),0,即A42時(shí)C33,B6,A42,B2,C3311或A42,B6,C33(21,2,33),(21,6,33),(21,2,66),(21,6,66),(42,2,33),(42,6,33).5x7y2z3xy4z4解：2(2)13xyxy,x2t，ty2-t又由(1)7得x-zx-z2zx-z2t-2tx2ty2t,tzt消去z13xy即xy方程xy的一個(gè)特解是xy00xt,(t)y4-txty4-tt)z-2t6y5.由原方程得x6,y6y6所以y:x2x3x4x5,,,.3y6yyy試證：不定方程x-4yz.442證明：x-4yzx4yz442442存在一組解使得的取值達(dá)到最小，記為4yzu(2y)zu，4242224(2y,z)1事實(shí)上，若2y不互素必可導(dǎo)出222y2ab,zab,uab,aba,b)1222222又由y解得am,bnymn,mnm,n)222u2a2b2m4nm44n4u.26.z4(x44y4)2(x44y4)2(2xy)4,(2xy)4z4(x44y4)2,故無正整數(shù)解.7.3,3,3,...3一起能否構(gòu)成模11的完全剩余系.0129解：不能構(gòu)成模11的完全剩余系.3243,31(mod11),33(mod11),55633(mod11),33(mod11),33(mod11),3,3,3,...311個(gè)數(shù)，但它們7283940129中間有對(duì)模11同余的數(shù)，故不能構(gòu)成模11的完全剩余系.8已知(m)，求m解：當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，由(m)m-1m4m5當(dāng)為合數(shù)時(shí)，若為奇數(shù)，則mp(為奇素?cái)?shù)，t僅含一個(gè)素因數(shù))t或mnn(n,n)n,n至少含兩個(gè)素因數(shù)1212121當(dāng)mp時(shí)，(m)(p)p(pp(p32與(m)4tttt1p.當(dāng)mnn(n,n)1,n,n3,此時(shí)(m)(nn)(n(n)n,n，121212121212且n,n比它們小且與它們互素，故(n，(n)1212(n(n)得(n)(n)2nn(n,n).12121212故不存在既是奇數(shù)又是合數(shù)的使得(m)1若為偶數(shù)，則m2或2n,當(dāng)m2時(shí)，(m))）ttttt224t3mm2n)從而(m)t1t)()2()()2nnnnt12t2,tttt1()nnt當(dāng)時(shí)，得()2nnmnn3,此時(shí)m故9.設(shè)（,1,mn1(modmn).()()mn,，由Eulerm1,n0,()()nmmn1(modn),n|(mn1),mn1(modm),即()()()()()()mnmnmnm|()()1,,|(()n()1)()()1mn)nmnmnmmn1(modmn