最優(yōu)化建模方法及matlab實現(xiàn)

最優(yōu)化問題的Matlab求解孟文輝西北大學數(shù)學學院

math@2015.5.15數(shù)學規(guī)劃的一般模型

x~決策變量f(x)~目標函數(shù)gi(x)0~約束條件數(shù)學規(guī)劃一般模型2015.5.151、解析解法和圖解法無約束最優(yōu)化例：用解析法求解以下函數(shù)的最小值無約束優(yōu)化問題的解析法2015.5.15<<symst;

y=exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5;ezplot(y,[04])y1=diff(y);ezplot(y1,[04])t0=solve(y1)y2=diff(y1);b=subs(y2,t,t0)無約束優(yōu)化問題的解析法2015.5.152、數(shù)值解法命令形式2：x=fminunc(fun,x0)%簡單形式[x,f,flag,out]=fminunc(fun,x0,opt,p1,p2,…)%一般形式功能：與fsolve()中的參數(shù)控制形式類似。命令形式1：x=fminsearch(fun,x0)%簡單形式[x,f,flag,out]=fminsearch(fun,x0,opt,p1,p2,…)%一般形式功能：與fsolve()中的參數(shù)控制形式類似。注：若函數(shù)時多元的，要表達成向量的形式。無約束優(yōu)化問題的數(shù)值解法2015.5.15例：>>f=inline('(x(1)^2-2*x(1))*exp(-x(1)^2-x(2)^2-(1)*x(2))','x');x0=[0,0];ff=optimset;ff.Display='iter';x=fminsearch(f,x0,ff)>>x=fminunc(f,x0,ff)無約束優(yōu)化問題的數(shù)值解法2015.5.153、全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解例：>>f=inline('exp(-2*t)*cos(10*t)+exp(-3*(t+2))*sin(2*t)','t');t0=1;[t1,f1]=fminsearch(f,t0)t1=0.92275390625000,f1=-0.15473299821860>>t0=0.1;[t2,f2]=fminsearch(f,t0)t2=0.29445312500000,f2=-0.54362463738706全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解2015.5.15習題：分別用解析法和數(shù)值方法以下二元函數(shù)的最小值。習題2015.5.15目標函數(shù)：

約束條件：約束最優(yōu)化1、線性規(guī)劃全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解2015.5.15目標函數(shù)：

約束條件：其中：價值向量

資源向量

決策變量向量

yonkey_mwh@163.com2015.5.15命令形式1：[X,lag,how]=lp(C,A,b,v1,v2,x0)功能：C,A,b的意義如矩陣表示里參數(shù)；v1,v2表示決策變量的上界和下界（其維數(shù)可以小于X,但表示前幾個分量的上下界）；x0表示初始值；X時輸出最優(yōu)解；lag是lagrange乘子，維數(shù)等于約束條件的個數(shù)，非零的向量是起作用的約束條件；how給出錯誤信息：infeasible(無可行解)，unbounded(無界解)，ok(求解成功).例：>>c=[13,-1,5];A=[-1,-1,0;0,1,1];b=[-7,10];v0=[2,0,0];[X,lag,how]=lp(c,A,b,v0)

yonkey_mwh@163.com2015.5.15目標函數(shù)：

約束條件：

yonkey_mwh@163.com2015.5.15命令形式2：

[X,f,flag,c]=linprog(C,A,b,Aeq,Beq,xm,xM,x0,opt)功能：各個參數(shù)的解釋如前，若各個約束條件不存在，則用空矩陣來代替。例：

yonkey_mwh@163.com2015.5.15>>c=[-2,-1,-4,-3,-1];A=[02142;345-1-1];b=[54,62];

Ae=[];Be=[];

xm=[0,0,3.32,0.678,2.57];ff=optimset;

ff.LargeScale='off';

ff.TolX=1e-15;

ff.Display='iter';[X,f,flag,c]=linprog(c,A,b,Ae,Be,xm,[],[],ff)

yonkey_mwh@163.com2015.5.15目標函數(shù)：

約束條件：2、二次規(guī)劃

yonkey_mwh@163.com2015.5.15命令形式：

[X,f,flag,c]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,Beq,xm,xM,x0,opt)功能：各個參數(shù)的解釋如前，若各個約束條件不存在，則用空矩陣來代替。例：

yonkey_mwh@163.com2015.5.15>>c=[-2,-1,-4,-3,-1];A=[02142;345-1-1];b=[54,62];

Ae=[];Be=[];

xm=[0,0,3.32,0.678,2.57];ff=optimset;

ff.LargeScale='off';

ff.TolX=1e-15;

ff.Display='iter';[X,f,flag,c]=linprog(c,A,b,Ae,Be,xm,[],[],ff)

yonkey_mwh@163.com2015.5.15

定義

如果目標函數(shù)或約束條件中至少有一個是非線性函數(shù)時的最優(yōu)化問題就叫做非線性規(guī)劃問題．一般形式:

（1）其中，是定義在En上的實值函數(shù)，簡記:其它情況:

求目標函數(shù)的最大值或約束條件為小于等于零的情況，都可通過取其相反數(shù)化為上述一般形式．四、非線性規(guī)劃

yonkey_mwh@163.com2015.5.15

其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.

yonkey_mwh@163.com2015.5.15（1）間接法

（2）直接法

直接搜索法以梯度法為基礎的間接法非線性規(guī)劃的求解算法

yonkey_mwh@163.com2015.5.15間接法 在非線性最優(yōu)化問題當中，如果目標函數(shù)能以解析函數(shù)表示，可行域由不等式約束確定，則可以利用目標函數(shù)和可行域的已知性質(zhì)，在理論上推導出目標函數(shù)為最優(yōu)值的必要條件，這種方法就稱為間接法（也稱為解析法）。一般要用到目標函數(shù)的導數(shù)。

yonkey_mwh@163.com2015.5.15直接法

直接法是一種數(shù)值方法。這種方法的基本思想是迭代，通過迭代產(chǎn)生一個點序列{X(k)}，使之逐步接近最優(yōu)點。只用到目標函數(shù)。如黃金分割法、Fibonacci、隨機搜索法。

yonkey_mwh@163.com2015.5.15迭代法一般步驟注意：數(shù)值求解最優(yōu)化問題的計算效率取決于確定搜索方向P

(k)和步長的效率。

yonkey_mwh@163.com2015.5.15最速下降法（steepestdescentmethod）由法國數(shù)學家Cauchy于1847年首先提出。在每次迭代中，沿最速下降方向（負梯度方向）進行搜索，每步沿負梯度方向取最優(yōu)步長，因此這種方法稱為最優(yōu)梯度法。特點：方法簡單，只以一階梯度的信息確定下一步的搜索方向，收斂速度慢；越是接近極值點，收斂越慢；它是其它許多無約束、有約束最優(yōu)化方法的基礎。該法一般用于最優(yōu)化開始的幾步搜索。

yonkey_mwh@163.com2015.5.15最速下降法算法：

yonkey_mwh@163.com2015.5.15

1.首先建立M文件fun.m,定義目標函數(shù)F（X）:functionf=fun(X);f=F(X);用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：Matlab求解步驟

yonkey_mwh@163.com2015.5.153.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=

fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=

fmincon(...)(8)[x,fval,exitflag,output]=

fmincon(...)輸出極值點M文件迭代的初值參數(shù)說明變量上下限

yonkey_mwh@163.com2015.5.15輸入?yún)?shù)的幾點說明模型中如果沒有A,b,Aeq,beq,VLB,VUB的限制，則以空矩陣[]作為參數(shù)傳入；nonlcon：如果包含非線性等式或不等式約束，則將這些函數(shù)編寫一個Matlab函數(shù)

nonlcon就是定義這些函數(shù)的程序文件名；不等式約束G(x)<=0等式約束Ceq(x)=0.如果nonlcon=‘mycon’;則myfun.m定義如下function[G,Ceq]=mycon(x)

G=...

%計算非線性不等式約束在點x處的函數(shù)值Ceq=...

%計算機非線性等式約束在點x處的函數(shù)值

yonkey_mwh@163.com2015.5.15對參數(shù)nonlcon的進一步示例2個不等式約束，2個等式約束3個決策變量x1，x2，x3如果nonlcon以‘mycon1’作為參數(shù)值，則程序mycon1.m如下

yonkey_mwh@163.com2015.5.15對照約束條件編寫myfun1.mfunction[G,Ceq]=mycon1(x)G(1)=x(1)*x(1)+x(2)*x(2)+x(3)*x(3)-100G(2)=60-x(1)*x(1)+10*x(3)*x(3)Ceq(1)=x(1)+x(2)*x(2)+x(3)-80Ceq(2)=x(1)^3+x(2)*x(2)+x(3)-80

yonkey_mwh@163.com2015.5.15注意：[1]fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認時，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設置為’on’），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當既有等式約束又有梯度約束時，使用中型算法。[2]fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關。

yonkey_mwh@163.com2015.5.151、寫成標準形式：

s.t.

2x1+3x26s.tx1+4x25x1,x20例

yonkey_mwh@163.com2015.5.152、先建立M-文件fun3.m:

functionf=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^23、再建立主程序youh2.m：

x0=[1;1];A=[23;14];b=[6;5];

Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、運算結果為：

x=0.76471.0588

fval=-2.0294

yonkey_mwh@163.com2015.5.151．先建立M文件fun4.m,定義目標函數(shù):

functionf=fun4(x);f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0s.t.1.5+x1x2-x1-x20-x1x2–10

0例2．再建立M文件mycon.m定義非線性約束：

function[g,ceq]=mycon(x)g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];

ceq=[];

yonkey_mwh@163.com2015.5.153．主程序為:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[11];beq=0;vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')3.運算結果為：

x=-1.22501.2250

fval=1.8951

yonkey_mwh@163.com2015.5.15非負條件下線性最小二乘lsqnonneg

適合如下模型：

注意：約束只有非負約束

yonkey_mwh@163.com2015.5.15語法：x=lsqnonneg(c,d)x=lsqnonneg(c,d,x0)x=lsqnonneg(c,d,x0,options)

yonkey_mwh@163.com2015.5.15語法：x=lsqlin(C,d,A,b)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,resnorm]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(...)

yonkey_mwh@163.com2015.5.15非線性最小二乘lsqnonlin

適合模型：

yonkey_mwh@163.com2015.5.15語法：x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)x=lsqnonlin(fun,x0,options,P1,P2,...)[x,resnorm]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqnonli