13.4課題學習 最短路徑問題

13.4課題學習最短路徑問題后預習目標：1.理解并掌握平面內(nèi)一直線同側兩個點到直線上的某一點的距離之和為最小值時點的位置的確定。2.能利用軸對稱解決實際問題路徑最短的問題。3.通過獨立思考，合作探究，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的基本能力，感受學習成功的快樂。2.能利用軸對稱平移解決實際問題中路徑最短的問題。

3.通過獨立思考，合作探究，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的基本能力，感受學習成功的快樂。

活動一：創(chuàng)設情境，設疑引思1、觀察圖片ABCEDF③①② 如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇走哪條路最近?你的理由是什么？理由：兩點之間線段最短2、兩點在一條直線異側已知：如圖，A、B在直線l的兩側，在l上求一點P，使得PA＋PB最小.

方法：為什么這樣做就得到最短距離呢？根據(jù)：

引言：

前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”．活動二：引入新知問題1

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B處，牧馬人到河邊什么地點飲馬，可使他所走的路徑最短？探索新知1BAl？？你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？追問1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al追問1

對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知2問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·追問2

你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知3問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．B·lA·B′CC′追問1

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？追問2

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′利用軸對稱的有關知識使問題轉化成“兩點之間線段最短”運用新知 如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋活動三：

基本思路：

由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉化為“點P，Q在直線BC的同側，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

活動四：課堂檢測1、如圖（造橋選址問題）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.)作法：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E

2.連接AE，交河岸與點M，則點M為建橋的位置，MN為所建的橋.ABMNab2、已知：如圖，A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點B、C組成三角形，使三角形周長最小.析；分別作點A關于OM、ON的對稱點A‘、A“，連接A’、A”分別交OM、ON于點B、點C，則點D、點C即為所求。AMNOBCA'A"3、（實際應用題)茅坪民族中學八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)