高中數(shù)學(xué)北師大版第二章解三角形（全國一等獎(jiǎng)）

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．一艘輪船按照北偏西50°的方向，以15海里每小時(shí)的速度航行，一座燈塔M原來在輪船的北偏東10°方向上，經(jīng)過40分鐘，輪船與燈塔的距離是5eq\r(3)海里，則燈塔和輪船原來的距離為()A．2eq\r(2)海里 B．3海里C．4海里 D．5海里解析：如圖，由題知AB＝10，BM＝5eq\r(3)，∠MAB＝60°.設(shè)AM＝x，在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos60°，即75＝100＋x2－20xcos60°，解得x＝5.故選D.答案：D2.如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為()A．(15＋3eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(30＋30eq\r(3))m D．(15＋30eq\r(3))m解析：由正弦定理可得eq\f(60,sin45°－30°)＝eq\f(PB,sin30°)，PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)，h＝PBsin45°＝eq\f(30sin45°,sin15°)＝(30＋30eq\r(3))m．故選C.答案：C3.如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km \r(2)akmC．2akm \r(3)akm解析：由題意△ABC中∠C＝120°，CA＝CB＝a，由余弦定理AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2∴AB＝eq\r(3)a答案：D4.如右圖，地面上有一根旗桿OP，為了測得它的高度h，在地面上取一基線AB，AB長20米，在A處測得P點(diǎn)的仰角∠OAP＝30°，在B處測得P點(diǎn)的仰角∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°.則旗桿的高度為()A．20(eq\r(3)－eq\r(2))米 \f(20,\r(4－\r(2)))米\f(20,\r(4－\r(3)))米 D．10(eq\r(3)＋eq\r(2))米解析：AO＝OP·cot30°＝eq\r(3)h，OB＝OP＝h，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB，即400＝3h2＋h2－2eq\r(3)h2cos60°，∴h＝eq\f(20,\r(4－\r(3)))米．答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．一船向正北航行，看見正西方有相距10nmile的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°的方向上，另一燈塔在船的南偏西75°的方向上，則這只船的速度是每小時(shí)________nmile.解析：如圖所示，AB＝10，∠CBA＝∠ACB＝15°，∴AC＝10.又eq\f(OC,AC)＝sin30°，∴OC＝5.∴速度v＝eq\f(5,＝10(nmile/h)．答案：106．某海島周圍38海里有暗礁，一輪船由西向東航行，初測此島在北偏東60°方向，航行30海里后測得此島在東北方向，若不改變航向，則此船________觸礁的危險(xiǎn)．(填“有”或“無”)解析：由題意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理BC＝eq\f(AB,sin∠ACB)·sin∠BAC＝eq\f(30,sin15°)·sin30°＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.答案：無三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？(eq\r(3)≈解析：在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝135°，∴A＝15°.由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))(海里)，∴A到BC的距離為d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈海里>38海里，所以繼續(xù)向南航行沒有觸礁危險(xiǎn)．8．如圖所示，在地面上有一旗桿OP，為測得它的高度h，在地面上取一線段AB，AB＝20m，在A處測得P點(diǎn)的仰角∠OAP＝30°，在B處測得P點(diǎn)的仰角∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝30°，求旗桿的高度．解析：設(shè)旗桿高度為xm.由∠OAP＝30°，得OA＝eq\r(3)x，由∠PBO＝45°，得OB＝x.在△OAB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，∴400＝3x2＋x2－2×eq\r(3)x2×eq\f(\r(3),2)，∴x＝20.故旗桿的高度為20m．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1千米處不能收到手機(jī)信號(hào)，檢查員抽查青島市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西約千米有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時(shí)12千米的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘，檢查員開始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)多長時(shí)間該考點(diǎn)才算合格？解析：如圖所示，考點(diǎn)為A，檢查開始處為B，設(shè)公路上C、D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離為1千米．在△ABC中，AB＝eq\r(3)≈，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝eq\f(sin30°,AC)·AB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝