高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測(cè)試【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

2.2直接證明與間接證明第一課時(shí)綜合法一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的基本方法之一：綜合法；（2）了解綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；（3）能夠利用綜合法證明一些相關(guān)等式或不等式。2．基礎(chǔ)預(yù)探（1）直接證明：直接從逐步推得命題成立的證明方法稱為直接證明。（2）直接證明的形式為通過(guò)①②③④直接推出結(jié)論。（3）綜合法:一般地，利用和某些已經(jīng)學(xué)過(guò)的等，經(jīng)過(guò)一系列的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。（4）綜合法的思維特點(diǎn)是：，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法（5）用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論，則用綜合法證明命題的邏輯關(guān)系是：二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，綜合法表現(xiàn)為由因?qū)Ч?，是尋求解題思路的基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛.三、典例導(dǎo)析題型一用綜合法來(lái)證明等式例1.已知數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，并且（1，2，…），。設(shè)（1，2，…），求證：數(shù)列是等比數(shù)列。思路導(dǎo)析:觀察題設(shè)條件中數(shù)列之間的相互關(guān)系，著眼于問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化。解：（1）∵，∴，兩式相減得（1，2，…），即，變形得?！撸?，2，…），∴，由此可知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列；由，，得，。故。所以數(shù)列是等比數(shù)列。規(guī)律總結(jié):本題從已知條件入手，分析數(shù)列間的相互關(guān)系，合理實(shí)現(xiàn)了數(shù)列間的轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題獲解。綜合法是直接證明中最常用的表述方法。變式練習(xí)1在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.題型二用綜合法證明不等式例2.已知、、是不全相等的正數(shù)，且。求證：思路導(dǎo)析:分析思維通常采用分析法多，這是因?yàn)榉治龇繕?biāo)明確，追求充分條件。要證明，只需要證明，由已知，只需證明。證明：由公式知，，，∵、、不全相等，上面三式相乘，，即成立，∴成立。規(guī)律總結(jié):應(yīng)用綜合法可以使證明過(guò)程表述于簡(jiǎn)短的形式，所以非常適宜于敘述證明。但用綜合法論證命題時(shí)，必須首先想到從哪里開(kāi)始起步，而這一點(diǎn)正是我們所感到困難的。變式練習(xí)2已知求證題型三用綜合法證明幾何問(wèn)題例3如圖所示，正四棱錐棱長(zhǎng)均為13，，分別是，上的點(diǎn)，且．（1）求證：直線平面；（2）求直線與底面所成角的正弦．思路導(dǎo)析:（1）要證明平面，根據(jù)線面平行的判定定理，需證明與平面內(nèi)某一條直線平行．為此連并延長(zhǎng)交于，連．需證明即可．（2）若能證明，則即為直線與底面所成的角．證明：（1）連并延長(zhǎng)交于，再連．∵，∴，又，∴，∴，又平面，平面，∴平面．（2）設(shè)為底面中心，連，，則平面．又，則為直線與平面所成的角．由及，得，在△中，，，，由余弦定理，得．在△中，，，則．規(guī)律總結(jié):在立體幾何證明中，若要證明線面平行，則可轉(zhuǎn)化為證明線線平行，證明線線平行，多利用三角形的中位線，補(bǔ)形，相似比來(lái)證明。在這種證明中，充分利用綜合法，確實(shí)是一種分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有效方法。變式練習(xí)3如圖，在三棱錐中，底面，，、分別是和的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，．求證：平面。四、隨堂練習(xí)一、選擇題1．已知正六邊形，在下列表達(dá)式①；②；③；④中，與等價(jià)的有（）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)2．函數(shù)內(nèi)（）A．只有最大值B．只有最小值C．只有最大值或只有最小值D．既有最大值又有最小值3．已知是不相等的正數(shù)，，則的大小關(guān)系是_________。4.已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc五、課后作業(yè)1．如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則（）A．B．C．D．2．若，則（）A．B．C．D．3．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是()A．B．C．D．4．若正整數(shù)滿足，則5.設(shè)圖像的一條對(duì)稱軸是.（1）求的值；（2）求的增區(qū)間；（3）證明直線與函數(shù)的圖象不相切。第一課時(shí)綜合法答案解析一、基礎(chǔ)預(yù)探（1）答案：題目條件（2）答案：本題條件；已知定義；已知公理；已知定理（3）答案：已知條件；定義、定理、公理；推理、論證（4）答案：由因?qū)Ч?）答案：三．典例導(dǎo)析變式訓(xùn)練1.證明：由A,B,C成等差數(shù)列，有2B=A+C．①因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A+B+C=．②由①②得B=③.由a,b，c成等比數(shù)列有.由余弦定理及③，可得④.再由④得.,因此.從而A=C⑤.由②③⑤得:A=B=C=.所以△ABC為等邊三角形．2.證明：法1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。法2）商值比較法：設(shè)故原不等式得證。3.證明：∵平面，且平面∴平面平面，且相交于在△中，∵，是邊上的中線∴．∴平面∵平面，∴利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可以證明平面在△和△中設(shè)，則，，，∵，∵，∴△～△∵，∴∴．∵利用相似三角形的性質(zhì)，得到∴∵，∴平面．四、隨堂練習(xí)1．D解析：①；②③；④，都是對(duì)的2．D提示：利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得。3．提示：4.證明：因?yàn)閎2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因?yàn)閏2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2