陜西省西安市蒼游中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

陜西省西安市蒼游中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則()A.2

B.3

C.5

D.7參考答案：A2.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略3.ABC的三邊分別為a,b,c且滿足,則此三角形是（

）A等腰三角形

B直角三角形

C等腰直角三角形

D等邊三角形參考答案：D4.是三條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題中的真命題是（）（A）若與都垂直，則∥

（B）若∥，，則∥（C）若且，則

（D）若與平面所成的角相等，則參考答案：C略5.已知，，則的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略6.曲線f（x）=x3+x﹣2在點(diǎn)P處的切線平行于直線4x﹣y﹣1=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，然后設(shè)切點(diǎn)為（a，b），根據(jù)在P點(diǎn)處的切線平行于直線y=4x﹣1建立等式，解之即可求出a，得到切點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：曲線y=x3+x﹣2求導(dǎo)可得y′=3x2+1設(shè)切點(diǎn)為（a，b）則3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1切點(diǎn)為（1，0）或（﹣1，﹣4）．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及直線平行的應(yīng)用，屬于中檔題．7.下面使用類比推理正確的是

（

）

A．“若a·3=b·3，則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”

B．“若（a+b）c=ac+bc”類推出“（a·b）c=ac·bc”

C．“若（a+b）c=ac+bc”類推出“”

D．“”類推出“”參考答案：C8.已知，，若向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為

．參考答案：略9.設(shè)分別為兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A10.已知直線l的方程為（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=m+5（m∈R），其傾斜角為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B．-1 C．

D．或-1參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是(

)A．20

B．18

C．3

D．0參考答案：A12.若直線y=kx+b是曲線y=ex+2的切線，也是曲線y=ex+1的切線，則b=

．參考答案：4﹣2ln2【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點(diǎn)分別為和，分別求出切點(diǎn)處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到b的值．【解答】解：設(shè)直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點(diǎn)分別為和，則切線分別為，，化簡得：，，依題意有：，所以．故答案為：4﹣2ln2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求得導(dǎo)數(shù)和設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．13.已知數(shù)列{an}滿足等于

。參考答案：16或-814.點(diǎn)的極坐標(biāo)為

參考答案：15.隨機(jī)向邊長為2的正方形ABCD中投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與A的距離不小于1且使為銳角的概率是__________________．參考答案：=16.若復(fù)數(shù)滿足:則參考答案：略17.過點(diǎn)M（1，1）且與曲線y=3x2－4x+2相切的直線方程是______.參考答案：y=2x﹣1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.宜昌車天地關(guān)于某品牌汽車的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（千元）由如表的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.13.45.96.67.0（1）畫出散點(diǎn)圖并判斷使用年限與所支出的維修費(fèi)用是否線性相關(guān)；如果線性相關(guān)，求回歸直線方程；（2）若使用超過8年，維修費(fèi)用超過1.5萬元時(shí)，車主將處理掉該車，估計(jì)第10年年底時(shí)，車主是否會(huì)處理掉該車？（）參考答案：（1）作出散點(diǎn)圖如圖：由散點(diǎn)圖可知是線性相關(guān)的-------------------------------2分列表如下：計(jì)算得：，于是：，即得回歸直線方程為-------------------------------6分（2）把代入回歸方程，得，因此，估計(jì)使用10年維修費(fèi)用是12.8千元，即維修費(fèi)用是1.28萬元，因?yàn)榫S修費(fèi)用低于1.5萬元，所以車主不會(huì)處理該車．-------------------------------12分19.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)．（1）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）要使二面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置．

參考答案：（1）由已知，兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，則，，，設(shè)平面的法向量為則，令得由，得又平面，故平面（2）由已知可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，設(shè)平面的法向量為則，令得由，故，要使要使二面角的大小為，只需略20.已知函數(shù)f（x）=（1）若m∈（﹣2，2），求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若m∈（0，]，則當(dāng)x∈[0，m+1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是否總在直線y=x上方，請寫出判斷過程．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)的值域．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）令g（x）=x，討論m的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，結(jié)合函數(shù)恒成立分別判斷即可證明結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)定義域?yàn)镽，f′（x）=①當(dāng)m+1=1，即m=0時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在R遞增，②當(dāng)1＜m+1＜3即0＜m＜2x∈（﹣∞，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（1，m+1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，x∈（m+1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；③0＜m+1＜1，即﹣1＜m＜0時(shí)，x∈（﹣∞，m+1）和（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（m+1，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；綜上所述，①m=0時(shí)，f（x）在R遞增，②0＜m＜2時(shí)，f（x）在（﹣∞，1），（m+1，+∞）遞增，在（1，m+1）遞減，③﹣2＜m＜0時(shí)，f（x）在（﹣∞，m+1），（1，+∞）遞增，在（m+1，1）遞減；（Ⅱ）當(dāng)m∈（0，]時(shí)，由（1）知f（x）在（0，1）遞增，在（1，m+1）遞減，令g（x）=x，①當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）min=f（0）=1，g（x）max=1，所以函數(shù)f（x）圖象在g（x）圖象上方；②當(dāng)x∈[1，m+1]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以其最小值為f（m+1）=，g（x）最大值為m+1，所以下面判斷f（m+1）與m+1的大小，即判斷ex與（1+x）x的大小，其中x=m+1∈（1，]，令m（x）=ex﹣（1+x）x，m′（x）=ex﹣2x﹣1，令h（x）=m′（x），則h′（x）=ex﹣2，因x=m+1∈（1，]，所以h′（x）=ex﹣2＞0，m′（x）單調(diào)遞增；所以m′（1）=e﹣3＜0，m′（）=﹣4＞0，故存在x0∈（1，]使得m′（x0）=ex0﹣2x0﹣1=0，所以m（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，）單調(diào)遞增所以m（x）≥m（x0）=ex0﹣x02﹣x0=2x0+1﹣﹣x0=﹣+x0+1，所以x0∈（1，]時(shí)，m（x0）=﹣+x0+1＞0，即ex＞（1+x）x也即f（m+1）＞m+1，所以函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=x上方．21.（本小題滿分6分）求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P（1，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。參考答案：由已知，，，。

2分

設(shè)所求方程為，因?yàn)檫^P（1，）

所以。

4分即，解得或（舍）為所求方程。

6分22.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)．（1）證明：AE⊥平面PAD；（2）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）通過證明AE⊥BC．PA⊥AE．說明PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，利用直線與平面垂直的判定定理證明AE⊥平面PAD．（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連結(jié)AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO的值即可．（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF的一個(gè)法向量為，求出平面AFC的一個(gè)法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連結(jié)AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，即當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大．此時(shí)tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=ADtan30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO為二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=．又F是PC的中點(diǎn)，如圖，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO?sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值為．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（，，），∴