2021-2022學(xué)年四川省成都市高埂中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年四川省成都市高埂中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則a＝（

）A.－9 B.－2 C.4 D.2參考答案：D∵，∴，∴當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．∴當(dāng)時(shí)，有極小值，即函數(shù)的極小值點(diǎn)為2．選D．

2.參數(shù)方程表示的曲線是A.線段

B.射線

C.雙曲線的一支

D.圓參考答案：A略3.E為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱的AB上的一點(diǎn)，且∠C1EF=90°，則AF:FB等于

A、1:4

B、1:1

C、3:1

D、1:3參考答案：D4.已知三棱錐A﹣BCD內(nèi)接于球O，AB=AD=AC=BD=，∠BCD=60°，則球O的表面積為(

)A． B．2π C．3π D．參考答案：D【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】球．【分析】畫出圖形，求出底面三角形的外接圓的半徑，求出A到底面BCD的距離，然后取得外接球的半徑，即可求解表面積．【解答】解：如圖：底面△BCD中，BD=，∠BCD=60°，∴GB=r==1，∵AB=AD=AC=BD=，A﹣BCD是圓錐，∴AG⊥平面BCD，并且經(jīng)過(guò)球的球心O，則AG===，設(shè)球的半徑為R，OB2=OG2+GB2，即，解得R=，∴球O的表面積為：4πR2==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的表面積的求法，幾何體的外接球與幾何體的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．5.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】算出基本事件的總個(gè)數(shù)n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m=C31=3，即可算出事件A的概率．【解答】解：∵總個(gè)數(shù)n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m=C31=3∴P==．故選：A．6.將連續(xù)（n3）個(gè)正整數(shù)填入nn方格中，使其每行，每列，每條對(duì)

角線上的數(shù)的和都相等，這個(gè)正方形叫做n階幻方數(shù)陣。記f（n）為n階幻方數(shù)陣對(duì)角線上數(shù)的和，如右圖就是一個(gè)3階幻方數(shù)陣，可知f（3）=15.若將等差數(shù)列：3，4，5，6，的前16項(xiàng)填入44方格中，可得到一個(gè)4階幻方數(shù)陣，則其對(duì)角線上的和f（4）等于（

） 834159672

A．44

B．36

C．42

D．40參考答案：C7.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理（

）A．結(jié)論正確

B．大前提不正確

C．小前提不正確

D．大前提、小前提、結(jié)論都不正確參考答案：C根據(jù)題意，該推理的大前提：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正確；小前提是：是正弦函數(shù)，因?yàn)樵摵瘮?shù)不是正弦函數(shù)，故錯(cuò)誤；結(jié)論：是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：C.

8.下列說(shuō)法中正確的是（

）①相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于1，相關(guān)性越弱；②回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心；③隨機(jī)誤差的方差的大小是用來(lái)衡量預(yù)報(bào)的精確度；④相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果，越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好.A．①②

B．③④

C.①④

D．②③參考答案：D①相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于，則相關(guān)性越強(qiáng)，所以錯(cuò)誤；②回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，正確；③隨機(jī)誤差的方差的大小是用來(lái)衡量預(yù)報(bào)的精確度，正確；④相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果，越小，說(shuō)明模型的擬合效果越不好，所以錯(cuò)誤．所以正確的有②③。故選D。

9.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：A，根據(jù)線面垂直的判定定理判斷．C：根據(jù)線面平行的判定定理判斷．D：由線線的位置關(guān)系判斷．B：由線面垂直的性質(zhì)定理判斷；綜合可得答案．【解答】解：A，根據(jù)線面垂直的判定定理，要垂直平面內(nèi)兩條相交直線才行，不正確；C：l∥α，m?α，則l∥m或兩線異面，故不正確．D：平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，不正確．B：由線面垂直的性質(zhì)可知：平行線中的一條垂直于這個(gè)平面則另一條也垂直這個(gè)平面．故正確．故選B10.已知點(diǎn)A(a，b)與點(diǎn)B(1,0)在直線3x－4y＋10＝0的兩側(cè)，給出下列說(shuō)法：①3a－4b＋10>0；

②>2；③當(dāng)a>0時(shí)，a＋b有最小值，無(wú)最大值；④當(dāng)a>0且a≠1，b>0時(shí)，的取值范圍為∪.其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，….，類比這些等式，若（均為正實(shí)數(shù)），則=

▲

．參考答案：41略12.若tan=3，則的值等于

；參考答案：6試題分析：考點(diǎn)：三角函數(shù)的倍角公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系13.378與90的最大公約數(shù)為________．參考答案：1814.已知點(diǎn)及橢圓上任意一點(diǎn)，則最大值為

。參考答案：15.已知三棱錐，側(cè)棱兩兩互相垂直，且，則以為球心且1為半徑的球與三棱錐重疊部分的體積是

▲

.參考答案：略16.管理人員從一池塘內(nèi)撈出30條魚，做上標(biāo)記后放回池塘。10天后，又從池塘內(nèi)撈出50條魚，其中有標(biāo)記的有2條。根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計(jì)該池塘內(nèi)共有

條魚。參考答案：750略17.若直線和圓O：沒有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A(1，2).（I）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積.參考答案：（I）依題意可設(shè)拋物線的方程是因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程（Ⅱ）法一：由（I）得，焦點(diǎn)，依題意知直線的方程是，聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，得設(shè)則，利用弦長(zhǎng)公式得.點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為.法二：由（I）得，焦點(diǎn)，依題意知直線的方程是，聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，得設(shè)則，采用割補(bǔ)法，則的面積為法三：由（I）得，焦點(diǎn)，依題意知直線的方程是，聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，得設(shè)由韋達(dá)定理，得.利用拋物線定義，得點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為.19.（本題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．參考答案：解（1）由題意知，所以．即．又因?yàn)?，所以，．故橢圓的方程為．…………4分（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．…5分由得．

①…………6分設(shè)點(diǎn)，，則．直線的方程為．令，得．將，代入整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直線與軸相交于定點(diǎn)…………13分略20.已知函數(shù)，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；參考答案：(1).(2)見解析.【分析】（1）由時(shí)，可得，求得和，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.（2）由函數(shù)，求得，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，可得，所以.又由，所以，即切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)即時(shí)，列表如下：-2+0-0+極大值極小值

所以的單調(diào)減區(qū)間是.當(dāng)即時(shí)，，列表如下：-2+0-0+極大值極小值

所以的單調(diào)減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，合理分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21.（本小題滿分12分）以橢圓的中心為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”.已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓及其“伴隨”的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作“伴隨”的切線交橢圓于,兩點(diǎn),記為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為,將表示為的函數(shù),并求的最大值.參考答案：(1)橢圓的離心率為,則,

設(shè)橢圓的方程為

……………2分 ∵橢圓過(guò)點(diǎn)，∴，

∴，

…………….………..4分 ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

橢圓的“伴隨”方程為.

………..6分(2)由題意知，.易知切線的斜率存在,設(shè)切線的方程為由得………..8分設(shè),兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,則,. 又由與圓相切,所以,. 所以

……10分

,.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))所以當(dāng)時(shí)，的最大值為1.

………..12分22.已知函數(shù)f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求證：f（x）≥2．參考答案：【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法；R4：絕對(duì)值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通過(guò)討論a的范圍得到關(guān)于a的不等式，解出取并集即可；