2021-2022學(xué)年山西省朔州市懷仁縣第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省朔州市懷仁縣第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.右圖中，為某次考試三個(gè)評(píng)閱人對(duì)同一道題的獨(dú)立評(píng)分，為該題的最終得分，當(dāng)時(shí)，等于

A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：A2.如圖，在正四棱錐中，分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．中恒成立的為（

）（A）①③

（B）③④

（C）①②

（D）②③④參考答案：A3.已知集合，則（

）A．(－3,3)

B．[－3,3]

C．(0,3]

D．[0,3)參考答案：C4.已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，則9x+3y的最小值為（）A．2 B． C．6 D．9參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由于⊥?=0，即可得出x，y的關(guān)系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）?（4，y）=0，化為4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=1時(shí)取等號(hào)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了⊥?=0、基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.對(duì)于非零向量是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C.充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A當(dāng)時(shí)，向量為相反向量，所以；反之，當(dāng)時(shí)，向量不一定為相反向量．所以是“”的充分不必要條件．選A．

6.復(fù)數(shù)z滿足（z﹣i）（2﹣i）=5，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由（z﹣i）（2﹣i）=5，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，求出z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：由（z﹣i）（2﹣i）=5，得=，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，2），位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，記．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B．C．

D．參考答案：D略8.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足，，則等式成立的是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，再用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意得,,，即，由正弦定理得，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查三角形內(nèi)角和定理以及正弦定理邊角互化，屬于基礎(chǔ)題.9.已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為1，，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】以為基底向量表示后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求的值.【詳解】，故故選：A.【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積的計(jì)算，有四種途徑：（1）利用定義求解，此時(shí)需要知道向量的模和向量的夾角；（2）利用坐標(biāo)來(lái)求，把數(shù)量積的計(jì)算歸結(jié)坐標(biāo)的運(yùn)算，必要時(shí)需建立直角坐標(biāo)系；（3）利用基底向量來(lái)計(jì)算，也就是用基底向量來(lái)表示未知的向量，從而未知向量數(shù)量積的計(jì)算可歸結(jié)為基底向量的數(shù)量積的計(jì)算；（4）靠邊靠角，也就是利用向量的線性運(yùn)算，把未知向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化到題設(shè)中的角或邊對(duì)應(yīng)的向量．10.“m<0”是“函數(shù)存在零點(diǎn)"的（

） A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知中的內(nèi)角為，重心為，若，則

.參考答案：略12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)和公比都是3的等比數(shù)列，則{an}的通項(xiàng)公式an=．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】計(jì)算題．【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得Sn=3n，再由a1=s1=3，n≥2時(shí)，an=Sn﹣sn﹣1，求出{an}的通項(xiàng)公式．【解答】解：∵數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)和公比都是3的等比數(shù)列，∴Sn=3n．故a1=s1=3，n≥2時(shí)，an=Sn﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1，故an=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的前n項(xiàng)的和Sn與第n項(xiàng)an的關(guān)系，屬于中檔題．13.已知數(shù)列滿足，若則的所有可能的取值為

．參考答案：4,7,10略14.“a＝2”是“直線ax＋2y＝0與直線x＋y＝1平行”的________條件．參考答案：充要15.函數(shù)(，),有下列命題：①的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②的最小值是2；③在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；④沒有最大值．其中正確命題的序號(hào)是

.(請(qǐng)?zhí)钌纤?/p>

有正確命題的序號(hào)）參考答案：①④16.已知點(diǎn)P是雙曲線：右支上一點(diǎn)，C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，C的右焦點(diǎn)為F，記，，當(dāng)，且時(shí)，雙曲線C的離心率e=

．參考答案：2由已知得，，則又，則有或（舍）．17.已知圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,直線3x+4y-11=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,則圓C的方程為___________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0處的切線與x﹣y+3=0垂直．（1）若函數(shù)f（x）在[，1]存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若f′（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范圍；（3）在第二問(wèn)的前提下，證明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，令，故只需，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)根，設(shè)φ（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）求出f′（x1）=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：因?yàn)閒'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1…（1）由前可知，f'（x）=ax2﹣ex根據(jù)題意：f'（x）＞0在上有解，即ax2﹣ex＞0在上有解…即在上有解，令，故只需所以，所以，當(dāng)時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在上單調(diào)遞減，所以g（x）min=g（1）=e，所以

a＞e…（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex由題可知，h'（x）=0有兩個(gè)根x1，x2，即2ax﹣ex=0有兩個(gè)根x1，x2，又x=0顯然不是該方程的根，所以方程有兩個(gè)根，…設(shè)φ（x）=，則φ′（x）=，當(dāng)x＜0時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．故要使方程2a=有兩個(gè)根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞，所以a的取值范圍是（，+∞），（3）由（2）得：0＜x1＜1＜x2…且由h'（x1）=0，得2ax1﹣=0，所以a=，x1∈（0，1）…所以f′（x1）=h（x1）=a﹣=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），則r′（t）=et（）＜0，r（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣＜f′（x1）＜﹣1．…19.在極坐標(biāo)系中，已知曲線C：ρcos（θ+）=1，過(guò)極點(diǎn)O作射線與曲線C交于點(diǎn)Q，在射線OQ上取一點(diǎn)P，使|OP|?|OQ|=．（1）求點(diǎn)P的軌跡C1的極坐標(biāo)方程；（2）以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，若直線l：y=﹣x與（1）中的曲線C1相交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)O），與曲線C2：（t為參數(shù)）相交于點(diǎn)F，求|EF|的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）設(shè)P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），則ρ?ρ′=，又曲線C：ρ′cos（θ+）=1，代入化簡(jiǎn)即可得出．（2）由曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)t化為普通方程：x+y=，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．由直線l：y=﹣x可得：極坐標(biāo)方程：（ρ∈R）．分別與曲線C2及其曲線C1的極坐標(biāo)方程聯(lián)立解出即可得出．【解答】解；（1）設(shè)P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），則ρ?ρ′=，又曲線C：ρ′cos（θ+）=1，∴×（cosθ+sinθ）=1，∴ρ=cosθ+sinθ．即為點(diǎn)P的軌跡C1的極坐標(biāo)方程．（2）曲線C2：（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：x+y=，可得極坐標(biāo)方程：ρ（cosθ+sinθ）=．由直線l：y=﹣x可得：極坐標(biāo)方程：或．把代入曲線C2可得：ρ2==（+1）．把代入曲線C1可得：ρ1=+sin=．∴|EF|=ρ2﹣ρ1=1．20.（本小題滿分12分）在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐(如圖所示)．（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出、點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且,問(wèn)是否存在點(diǎn)使得,若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．參考答案：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是的一條中位線，如圖所示.則

………………2分證明如下：．…4分 （Ⅱ）存在點(diǎn)使得，此時(shí)因?yàn)槊鍱BF又是線段上一點(diǎn)，且,∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)

………………8分（Ⅲ）因?yàn)榍?，∴?/p>

………9分又

……………12分21.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）離心率為，其短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，P，Q為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ為非零實(shí)數(shù)），求λ2+μ2的值．參考答案：（1）；（2）1【分析】（1）由題意可得b＝1，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）求得A的坐標(biāo)，設(shè)P（x1，y1），D（x0，y0），運(yùn)用向量共線坐標(biāo)表示，結(jié)合條件求得P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得λ2＝，同理得μ2＝，即可得λ2+μ2的值．【詳解】（1）因?yàn)槎梯S長(zhǎng)2b＝2，所以b＝1，又離心率e＝，且a2﹣b2＝c2，解得a＝，c＝1，則橢圓C的方程為+y2＝1；（2）由（1）可得點(diǎn)A（﹣，0），設(shè)P（x1，y1），D（x0，y0），則y1＝k1x1，y0＝k2x0，由可得x0+＝λ（x﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），即有x0＝，k1x1＝y(tǒng)1＝y(tǒng)0＝k2x0＝k2（x1﹣），兩邊同乘以k1，可得k12x1＝k1k2（x1﹣）＝﹣（x1﹣），解得x1＝，將P（x1，y1）代入橢圓方程可得λ2＝，由可得μ2＝，可得λ2+μ2＝1．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和基本量的關(guān)系，考查直線方程和向量共線的坐標(biāo)表示，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=xex﹣aex﹣1，且f′（1）=e．（1）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x1，x2，證明：|x1﹣x2|＞ln（）．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）f′（x）=ex+xex﹣aex﹣1，由f′（1）=e．解得a=e．可得f′（x）=xex．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，函即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）方程f（x）=kx2﹣2（k＞2），即（x﹣1）ex﹣（kx2﹣2）=0，令g（x）=（x﹣1）ex﹣（kx2﹣2），令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．k＞2，可得ln（2k）＞1．不妨設(shè)x1＜x2．可得：0＜x1＜1＜ln（2k）＜x2．即可證明．【解答】（1）解：f′（x）=ex+xex﹣aex﹣1，∴f′（1）=e+e﹣a=e．解得a=e．∴f′（x）=ex+xex﹣eex﹣1=xex．∴x＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x＜0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．即函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+