2021-2022學年河北省承德市孛羅臺鄉(xiāng)中學高三數(shù)學文上學期期末試題含解析

2021-2022學年河北省承德市孛羅臺鄉(xiāng)中學高三數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.右圖給出的是計算的值的一個框圖，其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（

）A. B.1 C. D.2參考答案：D【分析】如圖所示建立直角坐標系，設(shè)，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設(shè)，則.當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關(guān)鍵.3.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)(如,),對于給定的,定義,,則當時,函數(shù)的值域是(

)

參考答案：D4.若一個幾何體的主視圖和左視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖是一個圓，則這個幾何體的體積是A. B. C. D.不能確定參考答案：【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】B

由三視圖知，幾何體是一個圓錐，圓錐的底面是一個直徑為2的圓，

圓錐的母線長是2，根據(jù)勾股定理可以得到圓錐的高是=∴圓錐的體積是×π×12×=故選B．【思路點撥】幾何體是一個圓錐，圓錐的底面是一個直徑為2的圓，圓錐的母線長是2，根據(jù)勾股定理可以得到圓錐的高，利用圓錐的體積公式做出結(jié)果．5.拋物線的焦點為F，M足拋物線C上的點，若三角形OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為的值為（

）

A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：【知識點】拋物線的簡單性質(zhì)．H7D

解析：∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑∵圓面積為36π，∴圓的半徑為6，又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故選：D．【思路點撥】根據(jù)△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值．6.設(shè)平面向量等于(

) （A）4 （B）5 （C）3 （D）4參考答案：D略7.下面四個條件中，使成立的充分不必要條件為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A因為，所以是成立的一個充分不必要條件，選A.8.設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.若圓臺兩底面周長的比是1：4，過高的中點作平行于底面的平面，則圓臺被分成兩部分的體積比是A.1：16 B.39：129 C.13：129 D.3：27參考答案：B10.3名老師隨機從3男3女共6名學生中各帶2名進行實驗，其中每名老師各帶一名男生和一名女生的概率為

（

）A、

B、 C、 D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖3，在中，，，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙與AC相切于點E。若BC＝6，則DE的長為

圖3參考答案：4【知識點】選修4-1

幾何證明選講N1連結(jié)OE，BC＝6，則AB=12，與相似，則,，r=4,為直角三角形，DE為中線，所以DE=4.【思路點撥】利用三角形相似，比例關(guān)系求出DE=4.。12.已知一元二次不等式的解集為{，則的解集為

。參考答案：{|<－1或>1}

略13.高三（1）班某一學習小組的A、B、C、D四位同學周五下午參加學校的課外活動，在課外活動時間中，有一人在打籃球，有一人在畫畫，有一人在跳舞，另外一人在跑步．①A不在散步，也不在打籃球；②B不在跳舞，也不在跑步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分條件；④D不在打籃球，也不在跑步；⑤C不在跳舞，也不在打籃球．以上命題都是真命題，那么D在．參考答案：畫畫【考點】進行簡單的合情推理．【分析】由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打籃球，D在畫畫，即可得出結(jié)論．【解答】解：由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打籃球，D在畫畫，故答案為畫畫．14.已知變量x，y滿足，則的最小值為________.參考答案：0【分析】畫出可行域，分析目標函數(shù)得，當在y軸上截距最小時，即可求出的最小值.【詳解】作出可行域如圖：聯(lián)立得化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過點時，在y軸上的截距最小,有最小值為，故填.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，屬于中檔題.

15.函數(shù)，實數(shù)互不相同，若，則的范圍為

．參考答案：略16.不等式的解集為

．

參考答案：[-2,3]17.從4個標有數(shù)字1，2，3，4的球中，有放回地隨機抽取2個，則抽到的2個球的數(shù)字之和不大于5的概率等于

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，求函數(shù)f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它們之間的關(guān)系證明不等式．（Ⅲ）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于3，解參數(shù)a．【解答】解：（Ⅰ）因為f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，所以當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當1＜x≤e時，f'（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1．（Ⅱ）證明：因為函數(shù)f（x）的極小值為1，即函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為1．又g′（x）=，所以當0＜x＜e時，g'（x）＞0，此時g（x）單調(diào)遞增．所以g（x）的最大值為g（e）=＜，所以f（x）min﹣g（x）max＞，所以在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞g（x）+．（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，則f′（x）=a﹣=，①當a≤0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），此時函數(shù)f（x）的最小值不是3．②當0＜＜e時，f（x）在（0，]上單調(diào)遞減，f（x）在（，e]上單調(diào)遞增．所以f（x）min=f（）=1+lna=3，a=e2，滿足條件．③當≥e時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），此時函數(shù)f（x）的最小值是不是3，綜上可知存在實數(shù)a=e2，使f（x）的最小值是3．【點評】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問題，運算量較大，綜合性較強．19.（本小題滿分14分）（1）計算：；（2）已知，求的值．參考答案：20.已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，（）．（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，求<2014時的的最大值．

參考答案：（Ⅰ）當時，，又，∴．又，所以是公比為3的等比數(shù)列，．（Ⅱ）

①—②得，．

所以．

由得，所以的最大值為6略21.已知數(shù)列⑴求證：為等差數(shù)列；⑵求的前n項和；參考答案：解：⑴∵∴∴為等差數(shù)列，首項為，公差d=1

…………6分⑵由⑴得

∴

…………8分

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1

兩式相減得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1

=∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2 略22.(本題滿分12分