2021-2022學(xué)年湖南省婁底市新澤中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省婁底市新澤中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.已知全集，集合,,則圖中的陰影部分表示的集合為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B3.設(shè)分程和方程的根分別為和，函數(shù)，則（

）A． B．C． D．參考答案：A4.設(shè)全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}參考答案：D【考點(diǎn)】1J：Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．【分析】由陰影部分表示的集合為?U（A∪B），然后根據(jù)集合的運(yùn)算即可．【解答】解：由圖象可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為?U（A∪B），由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（﹣1，+∞），則?U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故選D．5.函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以為

（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略6.（理）若的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中x6項(xiàng)的系數(shù)為A.4

B．7

C．8

D．2參考答案：A7.已知M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，C為圓的圓心，則的最小值為（

）A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：B【分析】設(shè)出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，問(wèn)題求的最小值，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，就轉(zhuǎn)化為，在拋物線(xiàn)上找一點(diǎn)，使到點(diǎn)、到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)距離之和最小，利用平面幾何的知識(shí)可以求解出來(lái)．【詳解】解：設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，為圓的圓心，所以的坐標(biāo)為，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，所以問(wèn)題求的最小值，就轉(zhuǎn)化為求的最小值，由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)，，在一條直線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)，有最小值，最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，以及動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)定點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線(xiàn)的定義把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．8.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）A．i＞4？ B．i＜4？ C．i＞5？ D．i＜5？參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算并輸出變量P的值，要確定進(jìn)入循環(huán)的條件，可模擬程序的運(yùn)行，對(duì)程序運(yùn)行過(guò)程中各變量的值進(jìn)行分析，不難得到題目要求的結(jié)果．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：i=1，T=0，P=15滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，i=2，T=1，P=5滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，i=3，T=2，P=1滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，i=4，T=3，P=滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，i=5，T=4，P=此時(shí)，由題意，應(yīng)該不滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出的結(jié)果為，即i=5時(shí)退出循環(huán)，故繼續(xù)循環(huán)的條件應(yīng)為：i＜5？故選：D．9.已知點(diǎn)A（3，0），過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)P的直線(xiàn)與直線(xiàn)x=﹣1垂直相交于點(diǎn)B，若|PB|=|PA|，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A．1 B． C．2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合|PB|=|PA|，即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【解答】解：由題意，可知F（1，0），∵過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)P的直線(xiàn)與直線(xiàn)x=﹣1垂直相交于點(diǎn)B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的橫坐標(biāo)為2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．10.的三邊長(zhǎng)分別為，若，則△ABC是（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．無(wú)法確定參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計(jì)算定積分＝＿＿＿參考答案：12.若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和=______參考答案：略13.已知x＞﹣3，則x+的最小值為．參考答案：4﹣3考點(diǎn)： 基本不等式．

專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 由題意可得x+3＞0，可得x+=x+3+﹣3，由基本不等式可得．解答： 解：∵x＞﹣3，∴x+3＞0，∴x+=x+3+﹣3≥2﹣3=4﹣3，當(dāng)且僅當(dāng)x+3=即x=2﹣3時(shí)取等號(hào)，故答案為：4﹣3．點(diǎn)評(píng)： 本題考查基本不等式求最值，湊出可用基本不等式的形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．14.設(shè)x,y是正實(shí)數(shù),且x+y=5,則+的最小值為.

參考答案： 本題主要考查利用基本不等式求最值,考查考生的基本運(yùn)算能力.解題時(shí),先令,將+轉(zhuǎn)化為2++,然后利用基本不等式求解.利用基本不等式求最值,關(guān)鍵是滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”的條件. 令,則,a+b=x+y+3=8,所以+++= a+b++-6=2++=2+(a+b)(+)=2+(5++)≥2+(5+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,即x=,y=時(shí)取等號(hào),所以+的最小值為. 15.（5分）已知，均為單位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=

．參考答案：考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專(zhuān)題： 平面向量及應(yīng)用．分析： ，均為單位向量，則它們的模都是1，要求向量|+3|的模，可求其平方，然后利用向量模的平方等于向量的平方，展開(kāi)后再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．解答： ∵，均為單位向量，∴．又＜，＞=60°，∴===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化，是中檔題．16.在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算

，并定義：若存在元素使得對(duì)，有，則稱(chēng)為上的零元，那么，實(shí)數(shù)集上的零元之值是

參考答案：；根據(jù)“零元”的定義，，故17.球?yàn)槔忾L(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，為球的球面上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，,則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為

．

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角A的大小;(2)若,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.參考答案：略19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3﹣ax．（1）求f（x）的最大值；（2）若對(duì)?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范圍；（3）證明不等式：（）n+（）n+…+（）n＜．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；不等式的證明．【專(zhuān)題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）≤f（1）=0，從而可求f（x）的最大值；（2）若對(duì)?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等價(jià)于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，分類(lèi)討論，求出g（x）max，即可求a的取值范圍；（3）由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0），取x=，可得ln≤﹣1=，從而可得（）n≤ek﹣n，即可證明結(jié)論．【解答】（1）解：∵f（x）=lnx﹣x+1（x＞0）∴f′（x）=，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，x＞1時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）≤f（1）=0，∴f（x）的最大值為0；（2）解：?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等價(jià)于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）=x3﹣ax在x∈[1，2]時(shí)恒為正，滿(mǎn)足題意．當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）=3x2﹣a，令g′（x）=0，解得x=±，∴g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上單調(diào)增若≤1即0＜a≤3時(shí)，g（x）max=g（2）=8﹣2a，∴8﹣2a≥0，∴a≤4，∴0＜a≤3若1＜≤2即3＜a≤12時(shí)，g（x）在[1，]，[，2]而g（1）=1﹣a＜0，g（2）=8﹣2a在（3，4]為正，在（4，12）為負(fù)∴3＜a≤4當(dāng)＞2而a＞12時(shí)g（1）＜0，g（2）＜0不合題意綜上a的取值范圍為

a≤4．（3）證明：由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0）取x=，∴l(xiāng)n≤﹣1=，∴nln≤k﹣n，即（）n≤ek﹣n，∴（）n+（）n+…+（）n≤e1﹣n+e2﹣n+…+en﹣n==＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．20.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對(duì)任意x，x，xx，有。參考答案：解析：(1)的定義域?yàn)椤?分（i）若即,則故在單調(diào)增加。(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù)則由于1故，即g(x)在(4,+∞)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有·········12分21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：（a＞b＞0），圓O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．當(dāng)圓O的一條切線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)k=﹣，r=1時(shí)，若點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓E的方程；（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，探究a，b，r是否滿(mǎn)足，并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得d==1，即可求得m的值，由點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求得m2=r2（1+k2），將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b與r的關(guān)系．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)k=﹣，r=1時(shí)，則切線(xiàn)l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，由圓心到l的距離d==1，解得：m=±，點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，則m＞0，∴直線(xiàn)l：y=﹣x+，∴A（0，），B（，0），∴B為橢圓的右頂點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，則a=，b=，∴橢圓方程為：；（Ⅱ）a，b，r滿(mǎn)足+=成立，理由如下：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），直線(xiàn)l與圓x2+y2=r2相切，則=r，即m2=r2（1+k2），①則，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．則x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則∠AOB=90°，則⊥=0，∴x1x