2021-2022學(xué)年福建省廈門市麗偉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省廈門市麗偉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)在x＝2時(shí)取最大值，則θ的一個(gè)值是()參考答案：A2.若函數(shù)，且，的最小值是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是

（

）參考答案：A3.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，,為的中點(diǎn)，若為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為（

）A.

B.

C.

D.9參考答案：D4.已知|a|=|b|=1，且a⊥b，則2a+b在a+b方向上的投影為A.B. C.

D.參考答案：A∵∴∴在方向上的投影為故選A

5.下圖為某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是(

)．A3

B4

C

5

D

6參考答案：A6.已知集合A={x|x（x﹣2）=0}，B={x∈Z|4x2﹣9≤0}，則A∪B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．[﹣2，2] D．{0，2}參考答案：B【考點(diǎn)】1D：并集及其運(yùn)算．【分析】求出集合A，B，然后利用并集的求法，求解即可．【解答】解：A={x|x（x﹣2）=0}={0，2}，B={x∈Z|4x2﹣9≤0}={﹣1，0，1}，則A∪B={﹣1，0，1，2}，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查并集的定義以及求解，基本知識(shí)的考查．7.若過(guò)點(diǎn)P（a，a）與曲線f（x）=xlnx相切的直線有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】設(shè)切點(diǎn)為（m，mlnm），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式可得=，設(shè)g（m）=，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，由題意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為（m，mlnm），f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，可得切線的斜率為1+lnm，由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（a，a），可得1+lnm=，化簡(jiǎn)可得=，（*），由題意可得方程（*）有兩解，設(shè)g（m）=，可得g′（m）=，當(dāng)m＞e時(shí)，g′（m）＜0，g（m）遞增；當(dāng)0＜m＜e時(shí)，g′（m）＞0，g（m）遞減．可得g（m）在m=e處取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．8.某程序框圖如圖所示,若該程序運(yùn)行后輸出的值是,則（）A． B． C． D．參考答案：A9.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（—1，1）,若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知函數(shù)f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）=x3﹣x2+ax﹣（a＞1）若對(duì)任意的x1∈[0，4]，總存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（1，] B．[9，+∞） C．（1，]∪[9，+∞） D．[，]∪[9，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得極值點(diǎn)，分別求出f（0），f（1），f（3），f（4），可得值域；再求g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得極值點(diǎn)，求出g（0），g（1），g（a），g（4），討論a的范圍，分a＞4，1＜a＜3，3≤a≤4，比較可得值域，再由題意可得f（x）的值域包含于g（x）的值域，得到不等式，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3﹣6x2+9x，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），可得f（x）的極值點(diǎn)為1，3，由f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0，f（4）=4，可得f（x）在[0，4]的值域?yàn)閇0，4]；g（x）=x3﹣x2+ax﹣（a＞1），導(dǎo)數(shù)為g′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），當(dāng)1＜x＜a時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)x＜1或x＞a時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．由g（0）=﹣，g（1）=（a﹣1），g（a）=﹣a3+a2﹣，g（4）=13﹣4a，當(dāng)3≤a≤4時(shí)，13﹣4a≤（a﹣1），g（x）在[0，4]的值域?yàn)閇﹣，（a﹣1）]，由對(duì)任意的x1∈[0，4]，總存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），可得[0，4]?[﹣，（a﹣1）]，即有4≤（a﹣1），解得a≥9不成立；當(dāng)1＜a＜3時(shí)，13﹣4a＞（a﹣1），g（x）在[0，4]的值域?yàn)閇﹣，13﹣4a]，由題意可得[0，4]?[﹣，13﹣4a]，即有4≤13﹣4a，解得a≤，即為1＜a≤；當(dāng)a＞4時(shí)，可得g（1）取得最大值，g（4）＜﹣3為最小值，即有[0，4]?[13﹣4a，（a﹣1）]，可得13﹣4a≤0，4≤（a﹣1），即a≥，且a≥9，解得a≥9．綜上可得，a的取值范圍是（1，]∪[9，+∞）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意性和存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用以及分類討論思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中，分別是角的對(duì)邊，若成等差數(shù)列，則的最小值為

.參考答案：12.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為

。

參考答案：13.已知函數(shù)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，向量是向量與i的夾角，則的值為_(kāi)_________.參考答案：14.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．參考答案：15.某校有高級(jí)教師26人，中級(jí)教師104人其他教師若干人.為了了解該校教師的工資收入情況，若按分層抽樣從該校的所有教師中抽取56人進(jìn)行調(diào)查，已知從其他教師中共抽取了16人，則該校共有教師

人．參考答案：18216.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略17.關(guān)于函數(shù)f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R），有下列命題：①y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱

②y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱③若f（x1）=f（x2）=0，可得x1﹣x2必為π的整數(shù)倍④y=f（x）在（﹣，）上單調(diào)遞增⑤y=f（x）的圖象可由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位得到⑥y=f（x）的表達(dá)式可改寫(xiě)成y=2cos（2x+），其中正確命題的序號(hào)有．參考答案：①④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)判斷可得．【解答】解：由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，當(dāng)k=﹣1時(shí)，可得函數(shù)的一條對(duì)稱軸為x=﹣，故選項(xiàng)①正確；由2x﹣=kπ可得x=+，k∈Z，令+=可解得k=?Z，即y=f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；∵函數(shù)的周期為=π，若f（x1）=f（x2）=0，可得x1﹣x2必為的整數(shù)倍，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣，]?（﹣，），故y=f（x）在（﹣，）上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)④正確；函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）的圖象，而不是f（x）=2sin（2x﹣）的圖象，故選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤；由誘導(dǎo)公式可得y=2sin（2x﹣）=2cos[﹣（2x﹣=2cos[（2x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）≠2cos（2x+），故選項(xiàng)⑥錯(cuò)誤．故答案為：①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為，向量與向量夾角余弦值為。（Ⅰ）求角的大?。?/p>

（Ⅱ）外接圓半徑為，求范圍．

參考答案：(1)，，，，，由，得，即……7分（2），又，，所以又正弦定理可知：==，所以?！?4分

略19.時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量（單位：千套）與銷售價(jià)格（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套.（1）求的值；（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價(jià)格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.（保留1位小數(shù)）參考答案：解：（1）因?yàn)闀r(shí)，，

代入關(guān)系式，得，解得.（2）由（1）可知，套題每日的銷售量，

所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)，從而.

令，得,且在上,，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)在內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.

故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.略20.已知f（x）=ln（x+1），（1）若a=0，b=1時(shí)，求證：f（x）﹣g（x）≤0對(duì)于x∈（﹣1，+∞）恒成立；（2）若b=2，且h（x）=f（x﹣1）﹣g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）令h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣x，求出h（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，求得h（x）的最大值即可得證；（2）求出導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于h′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）有解，分離參數(shù)求出函數(shù)的最小值即可．【解答】（1）證明：若a=0，b=1時(shí)，令h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣x，則h′（x）=﹣1=，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．則x=0為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，故最大值為h（0）=0，故h（x）≤h（0）．即有f（x）﹣g（x）≤0對(duì)于x∈（﹣1，+∞）成立（2）解：∵函數(shù)h（x）=lnx﹣ax2﹣2x的定義域?yàn)椋?，+∞），且函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴h′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）有解，即﹣ax2﹣2x+1＜0在（0，+∞）有解，故a＞﹣=（﹣1）2﹣1在（0，+∞）有解，∴a＞﹣1，故a的范圍為（﹣1，+∞）．21.某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上40間產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；（Ⅱ）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的數(shù)學(xué)期望．參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖．專題：應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（Ⅰ）重量超過(guò)505克的產(chǎn)品結(jié)合頻率分布直方圖可知有兩個(gè)部分，求出兩矩形的面積，根據(jù)重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量等于該頻率乘以樣本容量即可；（Ⅱ）Y的所有可能取值為0，1，2，然后利用組合數(shù)分別求出它們的概率，列出分布列即可求Y的數(shù)學(xué)期望．解答： 解：（Ⅰ）重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（Ⅱ）Y的所有可能取值為0，1，2；P（Y=0）==，P（Y=1）==，P（Y=2）==，Y的分布列為：Y012P∴EY=0×+1×+2×=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及組合及組合數(shù)公式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)期望．屬于中檔題．22.私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開(kāi)私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：年齡（歲）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,