2021-2022學年遼寧省沈陽市第一四五中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2021-2022學年遼寧省沈陽市第一四五中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.同時具有性質：“①最小正周期為；②圖象關于直線對稱；③在上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是

A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：逐一排除即可2..已知外接圓的半徑為，且．，從圓內隨機取一個點，若點取自內的概率恰為，則的形狀為(

)(A)直角三角形

(B)等邊三角形

(C)鈍角三角形

(D)等腰直角三角形參考答案：B略3.下面為函數(shù)的遞增區(qū)間的是A. B. C. D.參考答案：C，當時，由得，即，所以選C.4.若函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)．則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質；指數(shù)函數(shù)的圖象變換．【分析】由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象可求出a和b的范圍，再進一步判斷g（x）=ax+b的圖象即可．【解答】解：由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象為減函數(shù)可知0＜a＜1，f（x）=loga（x+b）的圖象由f（x）=logax向左平移可知0＜b＜1，故函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是D故選D5.設滿足約束條件，若目標函數(shù)（，）的最大值為12，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A.向左平移個單位長度

B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度

D.向右平移個單位長度參考答案：C.試題分析：因為函數(shù)，所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖像.故應選C.考點：函數(shù)的圖像變換.7.如果一個數(shù)含有正偶數(shù)個數(shù)字8，則稱它為“優(yōu)選”數(shù)（如12883，787480889），否則稱它為“非優(yōu)選”數(shù)（如2348756，958288等），則四位數(shù)中所有“優(yōu)選”數(shù)的個數(shù)為（

）

A．459

B．460

C．486

D．487參考答案：B8.直線l過點(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是

A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0參考答案：A9.函數(shù)的圖像如圖所示，A為圖像與x軸的交點，過點A的直線與函數(shù)的圖像交于B、C兩點，則

(

)

A．

B．

C．4D．8參考答案：D10.已知函數(shù)的定義域為R，x∈[0，1]時，，對任意的x都有成立，則函數(shù)均零點的個數(shù)為

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設復數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則＝

．參考答案：5∵，∴．12.設為任意實數(shù)，不等式組表示區(qū)域，若指數(shù)函數(shù)的圖象上存在區(qū)域上的點，則實數(shù)的取值范圍是________參考答案：略13.（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標方程為（），曲線C在點（2，）處的切線為l，以極點為坐標原點，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則l的直角坐標方程為

▲

.參考答案：14.已知向量，，其中||=2，||=1，且（+）⊥，則|﹣2|=．參考答案：2【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)（+）⊥得出（+）?=0，求出?的值，再計算從而求出|﹣2|．【解答】解：向量，中，||=2，||=1，且（+）⊥，∴（+）?=+?=0，∴?=﹣=﹣4，∴=﹣4?+4=4﹣4×（﹣4）+4×1=24，∴|﹣2|=2．故答案為：2．15.已知復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為________.參考答案：16.函數(shù)的極小值為

．參考答案：－2求導，得：，得，當=1時，函數(shù)f(x)取得極小值－2。17.已知函數(shù)，若f（2m+1）＞f（m2﹣2），則實數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（﹣1，3）考點：函數(shù)單調性的性質．專題：計算題．分析：由題意可知g（x）=3x3﹣9x2+12x﹣4在（﹣∞，1]單調遞增，h（x）=x2+1在（1，+∞）單調遞增且h（1）=g（1），從而可得f（x）在R上單調遞增解答：解：令g（x）=3x3﹣9x2+12x﹣4則g‘（x）=9x2﹣18x+12＞0恒成立，即g（x）在（﹣∞，1]單調遞增而h（x）=x2+1在（1，+∞）單調遞增且h（1）=g（1）∴f（x）在R上單調遞增∵f（2m+1）＞f（m2﹣2）∴2m+1＞m2﹣2m2﹣2m﹣3＜0∴﹣1＜m＜3故答案為：（﹣1，3）點評：本題主要考查了分段函數(shù)的單調性的應用，解題的關鍵是根據(jù)導數(shù)知識判斷函數(shù)的單調性及端點處函數(shù)值的處理三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設a，b，c均為正實數(shù)．（1）若a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥；（2）求證：≥．參考答案：【考點】不等式的證明．【專題】推理和證明．【分析】（1）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通過放縮證明即可．（2）利用分析法由≥，得到條件（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，推出結論．【解答】證明：（1）∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，∵2ab≤a2+b2，2bc≤c2+b2，2ac≤a2+c2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．（2）由已知得a+b+c＞0，欲證≥，只需證≥，只需證3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，只需證2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≥0，即證（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，上述不等式顯然成立，故原不等式成立．【點評】本題考查不等式的證明，考查分析法以及綜合法的應用，考查邏輯推理能力．19.在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），點P的坐標為(－2,0)．（1）若點Q在曲線C上運動，點M在線段PQ上運動，且，求動點M的軌跡方程．（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求的值．參考答案：（1）（2）【分析】（1）設，，由即得動點的軌跡方程；（2）由題得直線的參數(shù)方程可設為（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求解.【詳解】（1）設，，

則由，得，即

消去，得，此即為點的軌跡方程.（2）曲線的普通方程為，直線的普通方程，設為直線的傾斜角，則，，則直線的參數(shù)方程可設為（為參數(shù)），

代入曲線的普通方程，得，

由于，

故可設點對應的參數(shù)為，，則．【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查動點的軌跡方程，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20.（本小題滿分12分）某校高二年級共有學生1000名,其中走讀生750名,住宿生250名,現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學生進行問卷調查.根據(jù)問卷取得了這n名同學每天晚上有效學習時間(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),按照以下區(qū)間分為八組①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到頻率分布直方圖如下.已知抽取的學生中每天晚上有效學習時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學生，完成下列2×2列聯(lián)表：

利用時間充分利用時間不充分總計走讀生502575住宿生101525總計6040100是否有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關？參考公式：參考列表：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；參考答案：解：（1）設第i組的頻率為Pi（i=1,2,…,8),則由圖可知：P1=×30=,P2=×30=∴學習時間少于60鐘的頻率為：P1+P2=

由題n×=5∴n=100…(2分)又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=,∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=第④組的高度h=×==

頻率分布直方圖如圖：（未標明高度1/120扣1分）……4分（2）K2=≈5.556由于K2>3.841,所以有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關………8分（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人。則X的所有可能取值為0，1，2，3P（X=i)=(i=0，1，2，3)∴P(X=0)===,P(X=1)====,P(X=2)====,P(X=3)====∴X的分布列為：P0123XEX=0×+1×+2×+3×===(或由X服從20，5，3的超幾何分布，∴EX=3×=)…12分21.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列，為其前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和。參考答案：【知識點】等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式．菁D2D3B4（1）；（2）解析：（1）由公差（2），?！舅悸伏c撥】（1）由等差數(shù)列的性質可得公差，進而求出通項公式；（2）利用分組求和即可。22.已知函數(shù)f（x）=a+（bx﹣1）ex，（a，b∈R）（1）如曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x，求a，b的值；（2）若a＜1，b=2，關于x的不等式f（x）＜ax的整數(shù)解有且只有一個，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）由曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=x，得，求出a，b的值即可；（2）構造函數(shù)，通過對構造的函數(shù)求導并分類討論，即可得出a的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，f′（x）=bex+（bx﹣1）ex=（bx+b﹣1）ex，∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x，∴，∴，解得：；（2）當b=2時，f（x）=a+（2x﹣1）ex，（a＜1），關于x的不等式f（x）＜ax的整數(shù)解有且只有一個，等價于關于x的不等式a+（2x﹣1）ex﹣ax＜0的整數(shù)解有且只有1個，構造函數(shù)F（x）=a+（2x﹣1）ex﹣ax，x∈R，故F′（x）=ex（2x+1）﹣a，1°x≥0時，∵ex≥1，2x+1≥1，故ex（2x+1）≥1