高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第4章第30講正、余弦定理及其應(yīng)用 文

第四章三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形.正、余弦定理及其應(yīng)用第30講.三角形解的個(gè)數(shù)的判定【例1】..

已知兩邊a、b和其中一邊a的對(duì)角A(A為銳角)，解三角形的解的情況：a<bsinA

a＝bsinA

bsinA<a<b

a≥b無(wú)解一解兩解一解點(diǎn)評(píng).【變式練習(xí)1】在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若△ABC有兩解，則x的取值范圍是_______________.判斷三角形的形狀【例2】已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊．若a＝ccosB，且b＝csinA，試判斷△ABC的形狀．..點(diǎn)評(píng)

判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形．要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩條途徑：.(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；

(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀．此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．在這兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．.【變式練習(xí)2】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，請(qǐng)判斷△ABC的形狀．..正弦定理、余弦定理、面積公式的靈活應(yīng)用..點(diǎn)評(píng)

本題將三角恒等變換、求值與解三角形綜合一起考查，這是近幾年高考的一種命題趨勢(shì)，注意綜合運(yùn)用．應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用三角公式進(jìn)行角的統(tǒng)一，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．在解三角形中，利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化是解題的基本方法．在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值中，常要重視角的統(tǒng)一，函數(shù)的統(tǒng)一，降次思想的應(yīng)用．....測(cè)量距離問(wèn)題【例1】如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)(精確到1米)．....點(diǎn)評(píng)

三角學(xué)源于測(cè)量實(shí)踐，解三角形是三角實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)重要方面．求距離問(wèn)題一般要注意：

(1)選定或創(chuàng)建的三角形要確定；

(2)利用正弦定理還是余弦定理要確定．....測(cè)量角度問(wèn)題【例5】一艘緝私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，距離12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿東偏南15°方向逃竄．緝私艇的速度為14nmile/h.若要在最短的時(shí)間內(nèi)追上該走私船，緝私艇應(yīng)沿北偏東45°＋α的方向去追．求追及所需的時(shí)間和角α的正弦值．..點(diǎn)評(píng)

測(cè)量角度問(wèn)題中，首先應(yīng)明確方位角的含義．在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題．...1.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，則cosA＝______________...3.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米．甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是_______分鐘．..4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b的值．

..5.一半徑為4m的水輪如圖，水輪圓心O距離水面2m．已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)時(shí)．(1)將點(diǎn)P距離水面的高度h(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)要多長(zhǎng)時(shí)間？.....(2)基本題型：①已知一邊和兩角，解三角形：先由內(nèi)角和定理求第三角，再用正弦定理，有解時(shí)只有一解．②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形：先由正弦定理求另一邊的對(duì)角，再由內(nèi)角和定理與正弦定理求其余的邊與角．在已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解．..3．余弦定理

(1)基本題型：①已知三邊，解三角形：由余弦定理和內(nèi)角和定理求角，在有解時(shí)只有一解．②已知兩邊及夾角，解三角形：先由余弦定理求第三邊，再由正弦定理與內(nèi)角和定理求角，有一解．

(2)余弦定理是勾股定理的推廣：判斷C為銳角a2＋b2>c2，C為直角→a2＋b2＝c2，C為鈍角→a2＋b2<c2...5．解三角形常見(jiàn)類(lèi)型及解法在三角形ABC的六個(gè)元素(三個(gè)角A、B、C，三條邊a、b、c)中要知三個(gè)(除三個(gè)角外)才能求解，常見(jiàn)類(lèi)型及其解法見(jiàn)下表：已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如：a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝π，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時(shí)只有一解.已知條件應(yīng)用定理一般解法兩邊和夾角(如：a，b，C)正弦定理余弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對(duì)的角；再由A＋B＋C＝π求另一角．在有解時(shí)只有一解三邊(如：a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝π求出角C；在有解時(shí)只有一解兩邊和其中一邊的對(duì)角(如：a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝π，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無(wú)解.6.應(yīng)用正、余弦定理解三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖；

(2)依據(jù)已知條件和求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型；

(3)根據(jù)三角形已知的邊角條件合理選擇正、余弦定理解三角形，從而得到數(shù)學(xué)模型的解；

(4)檢驗(yàn)上述所求的解是否具有實(shí)際意義，從而最終得出實(shí)際問(wèn)題的解．.7．解三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的幾種情況：