高中數(shù)學(xué)冪函數(shù) 新課標(biāo) 人教 必修1(A)

冪函數(shù)的概念,圖象與性質(zhì).目標(biāo):1)

理解冪函數(shù)的概念和性質(zhì)2)

會(huì)畫(huà)出五種冪函數(shù)的圖象難點(diǎn)和重點(diǎn):學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想概括出五種冪函數(shù)的性質(zhì).我們先來(lái)看看幾個(gè)具體的問(wèn)題:

(1)如果張紅買(mǎi)了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付__________P=W元(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為a,那么正方形的面積_____(3)如果立方體的邊長(zhǎng)為a,那么立方體的體積___________(4)如果某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)1km,那么他騎車(chē)的平均速度________________p是w的函數(shù)S=a2

S是a的函數(shù)V=a3

V是a的函數(shù)V=t?1km/s

V是t的函數(shù)以上的函數(shù)有什么的共同的特征？

答：形似：y=xa

一引入.以上問(wèn)題中的函數(shù)有什么共同特征？（1）都是函數(shù)；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數(shù)為常數(shù)；（4）自變量前的系數(shù)為1;（5）冪前的系數(shù)也為1。

上述問(wèn)題中涉及的函數(shù)，都是形如y=xa的函數(shù)。

y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1.從而我們歸納出冪函數(shù)的一般概念：一般地，函數(shù)y=xa叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，a為常數(shù)。.例1，判斷下列函數(shù)哪幾個(gè)是冪函數(shù)？答案（2）（6）.函數(shù)圖象的畫(huà)法是：列表、描點(diǎn)、連線，那么冪函數(shù)也用此法。冪函數(shù)圖象的畫(huà)法

.冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)我們主要學(xué)習(xí)下列幾種函數(shù).

(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3

(4)y=x1/2(5)y=x-1幾何畫(huà)板.定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：.定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：.定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：.定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：.定義域：值域：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：.冪函數(shù)的應(yīng)用證明:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2則x1/x2<1所以

所以

所以.

y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性

公共點(diǎn)奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）x∈［0，+∞）時(shí),增x∈（-∞，0]時(shí)，減增增增x∈[0，+∞）時(shí)，減x∈（-∞，0]時(shí)，減觀察冪函數(shù)圖象，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫(xiě)在下表.y=x

y=x2

y=x3

定義域

值域

奇偶性

單調(diào)性

定點(diǎn)

圖象R

R奇

增

(1,1)(0,0)

linkR[0,+∞]

偶

x∈[0,+∞]

增

x∈[-∞,0]減

(1,1)(0,0)

linkRR奇增link(1,1)(0,0)[0,+∞]

[0,+∞]

非奇非偶

增

(1,1)(0,0)

link{x|x∈R,x≠0}

{y|y∈R,y≠0}

奇

x∈[0,+∞]

減

x∈[-∞,0]

減

(1,1)

linkBack.結(jié)合以上特征得冪函數(shù)的性質(zhì)如下:所有的冪函數(shù)在都有定義,并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)>0時(shí),(1)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1）(2)圖象在第一象限,函數(shù)是增函數(shù).<0時(shí),(1)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）；(2)圖象在第一象限是減函數(shù);(3)在第一象限內(nèi),圖象向上與Y軸無(wú)限地接近,向右與X軸無(wú)限地接近.指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù),指數(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù).冪函數(shù)的應(yīng)用證明:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2則x1/x2<1所以

所以

所以例2證明冪函數(shù)f(x)=x1/2在［0，+∞）上是增函數(shù).(1)作差法:若給出的函數(shù)是有根號(hào)的式子,往往采用有理化的方式(2)作比法:證明時(shí)要注意分子和分母均為正數(shù),否則推不出ｆ(Ｘ1)<ｆ(Ｘ2).解:設(shè)f(x)=xa由題意得所以所以練習(xí)：已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),試求出此函數(shù)的解析式.總結(jié)