《工程電磁場》課件 第六章 時變電磁場

第六章時變電磁場大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修1大理大學(xué)羅凌霄編修2§6-1傳導(dǎo)電流、運流電流和位移電流§6-2全電流定理

§6-3電磁感應(yīng)定律§6-4麥克斯韋電磁場方程組

§6-5時變電磁場中不同媒質(zhì)交界面的邊界條件、解的唯一性定理§6-6電磁場能量、坡印廷矢量及能量流§6-7電磁動態(tài)位及其微分方程第六章時變電磁場本章所研究的對象，為時變電磁場。場中各物理量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也是時間的函數(shù)。本章將要研究統(tǒng)一的電磁場同時存在的兩個方面——隨時間變動的電場與隨時間變動的磁場。大理大學(xué)羅凌霄編修3

1.傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流是由自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則的運動而形成的電流?！?-1傳導(dǎo)電流、運流電流和位移電流傳導(dǎo)電流服從于歐姆定律。2.運流電流體分布的電荷在空間中遷移形成的電流叫做運流電流。運流電流將不服從于歐姆定律。設(shè)無阻力空間某微小區(qū)域內(nèi)，存有以速度

運動的電荷體密度ρ，在此空間作一無限小六面體。圖6-1空間無限小六面體(6-1)大理大學(xué)羅凌霄編修4dt時間內(nèi)穿過微小側(cè)面積dS的電量為微小面元dS上任一點的電流密度為考慮到運流電流的方向沿正電荷運動方向，故空間任一點的運流電流密度則穿過的電流為(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)需要注意的是，這里的是任一點處的總的電荷密度，是這些電荷的整體移動速度。大理大學(xué)羅凌霄編修5可以證明，如果把看做導(dǎo)體中載流子的電荷密度，看做載流子的漂移速度，那么也等于傳導(dǎo)電流密度。當(dāng)有幾種載流子并存時，傳導(dǎo)電流密度可以表示為這個規(guī)律無論是在有非電性場處（電源內(nèi)部）還是無非電性場處（電源外部）都是成立的。其中是第i種載流子的電荷密度，是第i種載流子的漂移速度。大理大學(xué)羅凌霄編修6

3.極化電流處于電介質(zhì)中的電場，在其變動過程中，電介質(zhì)的極化強度將發(fā)生變化，從而引起電偶極子正、負(fù)電荷的振蕩，于是會形成一種電流，這種電流叫做極化電流。極化電流由束縛電荷的振蕩形成，而非自由電荷的運動形成。由于這種電流是束縛電荷發(fā)生微觀位移的結(jié)果，因而稱之為位移電流。可以證明，極化電流密度?？梢姡灰獦O化強度隨時間變化，就會有極化電流。極化電流也具有磁效應(yīng)。極化電流概念以及極化電流密度公式是由麥克斯韋建立的，它是位移電流的一部分。大理大學(xué)羅凌霄編修4.真空位移電流圖7-18

電路中含有電容，導(dǎo)致傳導(dǎo)電流不連續(xù)在平行板電容器極板附近選取一個閉合路徑L，以此回路為邊線作兩個曲面S1和S2，S1和導(dǎo)線相交，S2和導(dǎo)線不相交。假設(shè)安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒情形仍然成立，則對于S1面有導(dǎo)線通過對于S2面沒有導(dǎo)線通過，就沒有電流通過，因此對于同一個閉合路徑，由于選擇的曲面不同，積分導(dǎo)致了不同的結(jié)果，出現(xiàn)了矛盾。所以安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒情形不成立。

S1S2L+q-qRI7大理大學(xué)羅凌霄編修圖7-18

電路中含有電容，導(dǎo)致傳導(dǎo)電流不連續(xù)麥克斯韋認(rèn)為，如果能夠給傳導(dǎo)電流加一點東西，構(gòu)成新的電流，使從左向右流過曲面S1和S2的這種新的電流相等，用這種新的電流代替安培環(huán)路定理中的電流，那么安培環(huán)路定理就發(fā)展為在非穩(wěn)恒情形仍然成立的規(guī)律。從左向右流過曲面S1和S2的這種新的電流相等，則這種新的電流流出閉合曲面的代數(shù)和等于零，所以它的電流線是閉合的，故而這種新的電流叫做連續(xù)（電）流。麥克斯韋成功地構(gòu)造了連續(xù)流，并且后來的實驗證明，經(jīng)他修正的安培環(huán)路定理的確是普遍成立的規(guī)律。這是麥克斯韋最偉大的學(xué)術(shù)成就。S1S2L+q-qRI8大理大學(xué)羅凌霄編修9圖6-2電源以傳導(dǎo)電流形式給導(dǎo)體供電考慮如圖6-2所示的兩個導(dǎo)體，其間具有電容，現(xiàn)把它們連接到帶有開關(guān)的直流電源上。在開關(guān)閉合的瞬間，電源將向兩導(dǎo)體電容系統(tǒng)充電，導(dǎo)體所帶的下面來考慮如何構(gòu)造連續(xù)流：自由電量q系由電源以傳導(dǎo)電流的形式供給。根據(jù)電荷守恒定律（麥克斯韋認(rèn)為這個規(guī)律是可靠的），流入閉合曲面S內(nèi)的傳導(dǎo)電流等于導(dǎo)體上自由電量隨時間的增加率，即大理大學(xué)羅凌霄編修10為了構(gòu)造連續(xù)流，麥克斯韋假定，高斯定理在一般情形依然成立。所以，(6-7)(6-6)（6-7）式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，得(6-7*)由（6-6）和（6-7*）式，得大理大學(xué)羅凌霄編修11可見，和構(gòu)成連續(xù)流。叫做位移電流密度，用表示。(6-9)(6-8)由于，所以位移電流密度其中就是極化電流密度。故大理大學(xué)羅凌霄編修12(6-10)電介質(zhì)內(nèi)可以有極化電流，導(dǎo)體內(nèi)也可以有極化電流，但真空中沒有極化電流。叫做真空位移電流密度（或本底極化電流密度）。真空位移電流和極化電流統(tǒng)稱為位移電流。圖6-2電源以傳導(dǎo)電流形式給導(dǎo)體供電在圖（6-2）所示的情況下，傳導(dǎo)電流和位移電流構(gòu)成連續(xù)流。真空位移電流同樣顯示出磁效應(yīng)。大理大學(xué)羅凌霄編修13例6-1

空間某點的電位移矢量依照的規(guī)律變化。求該點的位移電流密度表達(dá)式。

解按位移電流密度，故空間任一點的位移電流密度為

例6-2雷云放電以前，與地面感應(yīng)電荷形成一均勻電場，設(shè)此均勻電場的電場強度為5000V/cm，若雷云放電時間為1μs，求放電時此區(qū)域內(nèi)位移電流密度之值。解由于雷云放電時間為1μs，故電場強度(由5000V/cm降為零)的變化率的絕對值大理大學(xué)羅凌霄編修14例6-3

點電荷q沿半徑為R的圓周以角速度ω轉(zhuǎn)動。寫出其在圓心處位移電流密表達(dá)式。

解此點電荷轉(zhuǎn)動過程中，其在圓心所產(chǎn)生的電位移矢量為圖6-4例6-3圖式中：

為隨時間變化的矢量。

的模不變，其方向隨時間而變。由位移電流密度表達(dá)式，得其中為圓的切向單位矢量，指向角度增大的一側(cè)。大理大學(xué)羅凌霄編修15§6-2全電流定理在空間繞任意導(dǎo)體作任意閉合曲面S，此時若有電源以傳導(dǎo)電流形式向該導(dǎo)體充電，同時有自由體電荷進(jìn)入該閉合曲面，那么根據(jù)電荷守恒定律，穿入曲面S的傳導(dǎo)電流與運流電流應(yīng)等于曲面S內(nèi)自由電量q隨時間的增加率圖6-5全電流示意全電流連續(xù)性原理或(6-12)(6-11)此時穿出曲面S的位移電流則為(6-13)大理大學(xué)羅凌霄編修16由于(6-14)(6-15)所以故或其中叫做全電流密度（全遷移電流密度）。

是非電性場強度。（6-15）式叫做積分形式的全（遷移）電流連續(xù)性原理。大理大學(xué)羅凌霄編修17穿過不閉合的曲面S的全（遷移）電流全（遷移）電流連續(xù)性原理表明：在時變場中，全（遷移）電流線無源，它們是永遠(yuǎn)閉合的，具體地說即在傳導(dǎo)電流中斷處，必有運流電流、或位移電流接續(xù)。

微分形式的全（遷移）電流連續(xù)性原理為(6-16)需要注意的是，雖然被叫做全（遷移）電流密度，但是其中并未包含磁化電流密度

(或?qū)憺?。把磁化電流（或者叫做束縛電流）加入其中，才構(gòu)成真正的全電流?？梢宰C明磁化電流是連續(xù)的，所以全電流也是連續(xù)的。大理大學(xué)羅凌霄編修18全電流定理磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理是表征恒定磁場的基本方程之一，它的積分形式為，其中I是流過回路l所圍曲面的自由電流。只要自由電流連續(xù)，安培環(huán)路定理必定成立。在時變場中，由于自由電流不一定處處連續(xù)，安培環(huán)路定理就失去了存在的前提。但是如果把閉合回路所交鏈的電流的概念加以拓廣，把它理解為全（遷移）電流，即有(6-17)上式稱之為全（遷移）電流定理，或者叫做全（遷移）電流的安培環(huán)路定理。它說明，磁場強度沿任意回路的線積分，等于穿過該回路所圍曲面的全（遷移）電流。該式又稱為(關(guān)于磁場強度的)麥克斯韋第一積分方程，還可以叫做磁場強度的環(huán)量定律。

大理大學(xué)羅凌霄編修19如果計及磁化電流，那么（6-17）式變成（6-17）式還可以表示為(6-17*)或者(6-17**)(6-17***)提出位移電流概念，從而把安培環(huán)路定理修正為普遍適用的規(guī)律，是麥克斯韋在電磁場理論方面最重大的理論成就。大理大學(xué)羅凌霄編修20由斯托克斯公式，有式(6-19)即為(關(guān)于磁場強度的)麥克斯韋第一微分方程，也可以叫做磁場強度的旋度定律。麥克斯韋第一方程表明，不僅運動電荷將產(chǎn)生渦旋磁場，變動的電場也將產(chǎn)生變動的渦旋磁場。它說明電與磁二者間的關(guān)系，因而麥克斯韋第一方程是描述時變電磁場中不同的兩個方面——電場與磁場關(guān)系的方程之一，它是解決時變電磁場問題的一個基本依據(jù)。(6-18)于是(6-19)補充(6-19*)大理大學(xué)羅凌霄編修21電磁感應(yīng)定律經(jīng)過法拉第、楞茨的實驗探索和妞蒙、韋伯、麥克斯韋的理論研究，總結(jié)出導(dǎo)體回路內(nèi)所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，等于回路交鏈磁通隨時間的變化率的負(fù)值，即

表達(dá)式中的負(fù)號說明，導(dǎo)體回路內(nèi)變化磁通產(chǎn)生的電動勢，總是企圖產(chǎn)生這樣的感應(yīng)電流，使感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁通，去抵消或者補償引起感應(yīng)電動勢的磁通量的變化?；蛘呤垢袘?yīng)電流激發(fā)的磁場，去反抗引起感應(yīng)電動勢的原因?！?-3電磁感應(yīng)定律例如當(dāng)線圈回路的正向磁通增長時，感應(yīng)電動勢。感應(yīng)電流的方向使它激發(fā)的磁場穿過回路的磁通去抵消引起感應(yīng)電動勢的磁通量的增加。(6-20)大理大學(xué)羅凌霄編修22

圖6-6磁通與電動勢的正方向圖6-7感生電動勢的實際方向

這表明線圈回路所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，其真實方向與線圈回路電動勢的正方向相反。

大理大學(xué)羅凌霄編修23

麥克斯韋第二方程靜電場和恒定電場是位場，位場中電場強度的線積分與路徑無關(guān)，位電場強度沿回路的線積分等于零。當(dāng)場域中存在非位電場時，總電場強度的環(huán)路積分并不為零，而等于非位電場強度的環(huán)路積分非位電場即是其它形式能量轉(zhuǎn)換為電場能量的場所。麥克斯韋認(rèn)為，處在變化磁場中的不動的導(dǎo)體回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢（即感生電動勢），就等于有旋電場強度在導(dǎo)體回路中的環(huán)量，即(6-21)位電場又叫做庫侖場。非位電場是由變化的磁場激發(fā)的，它又叫做渦旋電場（或有旋電場）。渦旋電場這一概念是由麥克斯韋提出來的。大理大學(xué)羅凌霄編修24所以，(6-22)根據(jù)電磁感應(yīng)定律，導(dǎo)體回路中的感生電動勢(6-23)(6-24)麥克斯韋認(rèn)為，即使這個不動的回路不是由導(dǎo)體材料構(gòu)成，而是由電介質(zhì)構(gòu)成，或者干脆就是一個假想的幾何回路，只要它處在變化的磁場中，其中就有可能產(chǎn)生感生電動勢，電磁感應(yīng)定律對它仍然成立。和導(dǎo)體回路的差別僅僅是其中沒有感生電流。所以(6-24)式對不動的假想回路依然成立。實際上，它對于運動的假想回路也是成立的。原因在于：大理大學(xué)羅凌霄編修25(6-24)式涉及的是電場強度沿回路的線積分，以及磁感應(yīng)強度隨時間的減少率穿過回路所圍曲面的通量，所以，即使假想的回路相對于我們在其中測量磁場和電場的參考系作運動，對于任意一個時刻的回路和它此刻所圈圍的曲面，(6-24)對它仍然成立。(6-24)(6-24)式叫做麥克斯韋第二積分方程，也可以叫做電場強度的環(huán)量定律。提出渦旋電場概念，并且把電磁感應(yīng)定律改寫成(6-24)式，是麥克斯韋在電磁理論方面的第二大理論成就。大理大學(xué)羅凌霄編修26對電磁感應(yīng)定律的補充說明：右邊第一項是由于磁場變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，叫做感生電動勢；第二項是由于導(dǎo)體回路運動而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，叫做動生電動勢?？梢宰C明，對于運動的回路l所圈圍的任意的曲面S，穿過它的磁通隨時間的變化率所以，對于在變化的磁場中運動的導(dǎo)體回路，其中的感應(yīng)電動勢其中的是回路上的線元矢量的運動速度。大理大學(xué)羅凌霄編修27根據(jù)斯托克斯公式，故得此即麥克斯韋第二微分方程，或稱為微分形式的電磁感應(yīng)定律，還可以叫做電場強度的旋度定律。麥克斯韋第一方程闡明了變動的電場產(chǎn)生變動的渦旋磁場，而麥克斯韋第二方程則闡明了變動的磁場產(chǎn)生變動的渦旋電場。因而麥克斯韋第一與第二方程從不同的方面揭示了時變電磁場中電場與磁場之間的相互聯(lián)系。變動的電場將在空間產(chǎn)生變動的磁場，而變動的磁場又將在空間產(chǎn)生變動的電場，麥克斯韋就是根據(jù)這一結(jié)論，預(yù)見了電磁波的存在。

麥克斯韋第一、第二方程是我們解決時變電磁場問題的基本依據(jù)。

(6-25)(6-26)大理大學(xué)羅凌霄編修28

例6-4設(shè)空間磁場的磁感應(yīng)強度垂直于磁場的平面上，有一形狀如數(shù)字8的閉合回路，圖中斜線區(qū)域的面積分別為求閉合線路中的感生電動勢。解如圖6-8所示，穿過面積與的磁通分別為圖6-8例6-4圖由于上述兩磁通在閉合線路中的感生電動勢方向相反，取閉合回路感生電動勢e的正方向同e1的正方向一致，則大理大學(xué)羅凌霄編修29例6-5

均勻磁場內(nèi)，磁通密度B=Bmcosωt。設(shè)磁場內(nèi)有一面積為S的平面線圈回路，t=0時其初始位置于α=0處。當(dāng)線圈按角速度ω1轉(zhuǎn)動時，求此平面回路中所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。圖6-9例6-5圖解如圖6-9，穿過平面回路所界定的面積S的磁通回路中感應(yīng)的電動勢為大理大學(xué)羅凌霄編修30將前幾節(jié)中所導(dǎo)出的公式稍加匯總，加上媒質(zhì)的特性方程(或稱為輔助方程)，就可得到時變電磁場的一組完整的方程式。即為麥克斯韋方程組。§6-4麥克斯韋電磁場方程組(6-30)(6-29)(6-28)(6-27)(6-32)(6-33)(6-31)洛倫茲力公式是獨立于麥克斯韋方程組之外的電磁場的基本理論，堪稱一流成就。微分表示式不能用在媒質(zhì)交界面處。積分表示式最為基本，普遍適用。大理大學(xué)羅凌霄編修31庫侖定律、畢-薩-拉定律和電荷守恒定律都可以從麥克斯韋方程組媒質(zhì)特性方程可以借助于洛倫茲力公式和量子力學(xué)推演出來。所以麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式是電磁場理論的最基本、最核心的規(guī)律。推演出來。31大理大學(xué)羅凌霄編修32麥克斯韋第一及第二方程描述著統(tǒng)一電磁場兩個矛盾著的方面——電場與磁場相互依存(一方存在必以它方存在為前提)、相互制約(數(shù)量上、方向上以及變化規(guī)律上是相互約制的)而又相互轉(zhuǎn)化(變動電場轉(zhuǎn)化為變動磁場，變動磁場轉(zhuǎn)化為變動電場)。式(6-29)說明統(tǒng)一的電磁場的兩個方面之一——磁場本身所具有的另一規(guī)律——無散度，亦即磁場不可能為單極磁荷所激發(fā)。式(6-30)說明統(tǒng)一電磁場的另一方面——電場本身所具有的另一規(guī)律——有散度，亦即電場可以由點源電荷所激發(fā)。式(6-31)、式(6-32)及式(6-33)說明統(tǒng)一的電磁場與其所處空間媒質(zhì)的關(guān)系。大理大學(xué)羅凌霄編修33將麥克斯韋方程組的積分方程式分別應(yīng)用于場的不同媒質(zhì)交界面，即可得到時變電磁場的邊值關(guān)系。

不同電介質(zhì)交界面的邊值關(guān)系

省略導(dǎo)出邊值關(guān)系的過程，此時邊值關(guān)系為§6-5時變電磁場中不同媒質(zhì)交界面的邊值關(guān)系、解的唯一性定理(6-34)(6-35)(6-36)(6-37)大理大學(xué)羅凌霄編修34導(dǎo)體表面介質(zhì)中有圖6-11理想導(dǎo)體表面的電場

電介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面的邊值關(guān)系

由于電磁波不能透入理想導(dǎo)體內(nèi)部，故導(dǎo)體內(nèi)將不存在電場與磁場，亦即

。

大理大學(xué)羅凌霄編修35沿導(dǎo)體表面無運流電流，亦無位移電流沿導(dǎo)體表面流動，得。此處

表示垂直流過單位長度上的面?zhèn)鲗?dǎo)電流值。圖6-12介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面的磁場最后將磁通連續(xù)性原理的積分表達(dá)式運用于場的邊界，則得。小結(jié)：介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面處的邊界條件為（6-41）（6-40）（6-39）（6-38）大理大學(xué)羅凌霄編修36解的唯一性定理時變電磁場的求解問題，同樣是一個求解偏微分方程滿足定解條件的解的問題，是一個既有初始條件又有邊界條件的定解問題，或稱為混合問題。

時變電磁場同樣存在著唯一性定理，所求定解問題滿足下述條件的解具有唯一性，其具體內(nèi)容如下：設(shè)被邊界Γ所界定的場域Ω中，若已知：

1.t=0時，場域Ω中每點電場強度E的初始值與磁場強度H的初始值；

2.當(dāng)t＞0的所有時間內(nèi)，邊界面Γ上電場強度的切線分量Et或者磁場強度的切線分量Ht。則麥克斯韋電磁場方程組具有唯一確定解。亦即時變電磁場的解，由電磁場初始值，及t＞0時邊界上的電場強度切線分量或者磁場強度切線分量所唯一確定。大理大學(xué)羅凌霄編修37電磁場能量在時變電磁場中，電場與磁場同時存在，因此任何一瞬間，空間任一點的電磁能量密度應(yīng)為此時電場能量密度與磁場能量密度之和，即§6-6電磁場能量、坡印廷矢量及能量流這是麥克斯韋由邏輯推理所得的假設(shè)之一，至今尚無直接實驗證明，不過建立在此假設(shè)之上的許多理論，卻為實踐所證實。時變電磁場中場量是隨時間而變動的，場的能量狀態(tài)亦是隨時間而變動的。對于線性媒質(zhì)(6-43)大理大學(xué)羅凌霄編修38坡印廷矢量及能量流時變電磁場中，由于電場與磁場的不斷變化，并由空間一點傳遞到另一點，因而形成傳播于空間攜帶著電磁能量的電磁波，無論是電訊系統(tǒng)或電力系統(tǒng)，它們的功率傳輸過程都是電磁能量在空間的傳播過程。下面研究電源（指化學(xué)電源、溫差電源、光電源）外部的不動的導(dǎo)體中的電磁場：設(shè)空間某點的電磁能量密度為則該點電磁能量密度隨時間的變化率為(6-44)(6-45)(6-46)大理大學(xué)羅凌霄編修39——該點所在處單位體積內(nèi)電場用以增加運流電流體電荷的動能所供給的功率。——該點處電磁能量密度隨時間的增加率。——該點處電場對傳導(dǎo)電流作功的功率密度。由于假設(shè)導(dǎo)體不動，又處于電源（指化學(xué)電源、溫差電源、光電源）外部，所以此功率密度等于傳導(dǎo)電流引起的焦?fàn)枱釗p耗功率密度。所以等式左端代表該點電磁場能量密度隨時間的增加率與單位體積內(nèi)電磁場能量耗散功率之和。大理大學(xué)羅凌霄編修40(6-49)兩邊求體積分，得(6-50)對根據(jù)高斯公式，（6-49）式右邊的所以大理大學(xué)羅凌霄編修41圖6-13穿出閉合曲面的坡印廷矢量圖即為單位時間內(nèi)穿入閉合曲面S的電磁能量為單位時間內(nèi)穿出閉合曲面S的電磁能量（6-50）式左端是體積V內(nèi)電磁場能量隨時間的增加率以及電磁場能量的耗散功率之和。由于體積V內(nèi)沒有電源可以提供電磁能量，根據(jù)能量守恒定律，V中單位時間內(nèi)增加的電磁能與損耗的電磁能的總和，應(yīng)等于單位時間內(nèi)穿過V的邊界面S流入V中的電磁場能量。所以(6-50)大理大學(xué)羅凌霄編修42它的大小等于單位時間內(nèi)垂直穿過單位面積的電磁能量，方向沿著電磁能量傳輸?shù)姆较?。顯然，垂直于和所組成的平面。的單位為瓦特每平方米(W/m2)。坡印矢量描述了電磁能在空間傳播的規(guī)律：無論是電力傳輸或電訊傳輸，都必須是通過空間電磁場來實現(xiàn)能量傳送的。圖6-14坡印廷矢量的確定單位時間內(nèi)流過曲面S的電磁能量等于所以電磁能流密度矢量（坡印廷矢量）為（6-51）大理大學(xué)羅凌霄編修43忽略導(dǎo)線的電阻和電阻壓降，設(shè)雙輸電線所加電壓為u，流過的電流為i。設(shè)兩根導(dǎo)線之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于導(dǎo)線的半徑，那么電軸對于導(dǎo)線幾何軸線的偏離可圖6-15兩平行輸電線的電場和磁場內(nèi)穿過面元dS的能量平行雙輸電線的功率傳輸以忽略。于是，在兩軸線的垂面內(nèi)，到兩軸線的距離的比值為常數(shù)的點既組成磁感線，也組成等位線。它們都是兩簇偏心圓。因為電場線與等位線處處正交，而磁感線與等位線重合，所以此時電場線與磁感線處處正交，將空間劃分為無數(shù)正交網(wǎng)孔。大理大學(xué)羅凌霄編修44圖6-15兩平行輸電線的電場和磁場內(nèi)穿過面元dS的能量取任一網(wǎng)孔k，令其沿電場線方向的邊長為dn，沿磁感線方向的邊長為dm。網(wǎng)孔的面積為dS=(dn×dm)。單位時間內(nèi)穿過此面元dS的電磁能量(6-52)(6-53)由于兩根磁感線（亦即兩根等位線）之間的電位差是一樣的Edn是兩根磁感線之間的電位差能流密度矢量垂直紙面向里傳輸功率大理大學(xué)羅凌霄編修45在以上的推導(dǎo)過程中忽略了導(dǎo)線的電壓降。如果考慮導(dǎo)線電壓降，取電場強度E的軸線分量Ez進(jìn)行計算，知道電磁能量還會滲漏進(jìn)導(dǎo)線中。

圖6-16兩平行輸電線電場可見，輸電線所傳輸?shù)哪芰?，并非由?dǎo)線內(nèi)部傳送，而是通過線外的空間，以電磁波的方式（穩(wěn)恒情形是恒定能量流的形式）傳播的，此時傳輸線僅起引導(dǎo)作用。大理大學(xué)羅凌霄編修46電磁矢量動態(tài)位的達(dá)朗貝爾方程在時變電磁場中，由于（6-54），可引入電磁矢量動態(tài)位，并定義

具有多值性，

可附加任意標(biāo)量場的梯度而不影響

的單值性。(6-55)(6-56)(6-57)(6-58)(6-59)§6-7電磁動態(tài)位及其微分方程

稱之為電磁標(biāo)量動態(tài)位，簡稱為電磁標(biāo)量位。大理大學(xué)羅凌霄編修47若空間媒質(zhì)為線性時，在不考慮運流電流的情況下，引用麥克斯韋第一方程，則有當(dāng)媒質(zhì)均勻時(6-60)(6-61)由矢量公式(6-63)(6-62)大理大學(xué)羅凌霄編修48對于所引入的

場，給其散度

以一約束條件，這一約束條件的選擇當(dāng)然應(yīng)使求解的方程簡化，并能單值地確定電磁矢量位與電磁標(biāo)量位。這一約束條件可以選擇洛倫茲條件，即上式即為電磁矢量位應(yīng)滿足的達(dá)朗貝爾方程。在穩(wěn)恒情況下，它退化為矢量磁位滿足的泊松方程。(6-64)(6-65)當(dāng)空間不存在傳導(dǎo)電流時，則得電磁矢量位所滿足的波動方程，即(6-66)其中的于是大理大學(xué)羅凌霄編修49且由于電磁標(biāo)量位的達(dá)朗貝爾方程在媒質(zhì)為均勻時，運用麥克斯韋方程組中電位移矢量的散度方程，并考慮洛倫茲約束條件可得電磁標(biāo)量位的達(dá)朗貝爾方程。上式即為電磁標(biāo)量位所應(yīng)滿足的達(dá)朗貝爾方程。在穩(wěn)恒情形，它退化為電位滿足的泊松方程。(6-67)(6-68)(6-69)(6-70)故即(6-71)考慮洛倫茲條件得大理大學(xué)羅凌霄編修50當(dāng)空間不存在自由體電荷密度時，則得電磁標(biāo)量位所滿足的波動方程

(6-72)

時變電磁場邊值問題的求解，可從求解達(dá)朗貝爾方程著手。實際問題中，由于空間傳導(dǎo)電流并不存在，因此通常需要求解的只是波動方程。大理大學(xué)羅凌霄編修51滯后位波動方程解的形式如何，它與靜態(tài)場的解究竟有什么不同之處？設(shè)均勻媒質(zhì)空間，有一點電荷q，其量值隨時間t變化，原因是它的電荷與周圍電荷有交換。根據(jù)獨立作用原理和疊加原理，可以單獨考慮此點電荷所起的作用。在此情況下，對于場源以外空間各點，均滿足波動方程。選擇點電荷所在點為坐標(biāo)原點，在選擇球面坐標(biāo)情況下，電磁標(biāo)量位波動方程具有如下形式：

由于場量以電荷所在點為中心而具有球面對稱關(guān)系，因而場量僅為半徑r和t的函數(shù)，所以上式變成大理大學(xué)羅凌霄編修52(6-74)(6-73)上述表達(dá)式與電路中無損耗均勻輸電線方程相似，比照無損耗均勻輸電線方程的解，上式的解有如下形式：(6-75)(6-76)也可寫成故大理大學(xué)羅凌霄編修53可見電磁標(biāo)量位是一個由入射波(直波)分量與反射波(回波)分量所組成的具有波動性質(zhì)的量。入射波分量由點電荷源沿半徑方向四周發(fā)散，而反射波分量則由四周沿半徑相反方向向點電荷源匯集。任何一個分量的波陣面都是一個球面，因此稱這種波為球面波。

在無限大均勻媒質(zhì)空間，由于此時無反射波存在，故有(6-77)將上式變形，則(6-78)電磁動態(tài)位方程的特例，即電磁矢量位、電磁標(biāo)量位將滿足各自的靜態(tài)方程。也就是說恒定磁場與靜電場不過是時變電磁場在場源不隨時間變化情況下的特例。

大理大學(xué)羅凌霄編修54此函數(shù)

稱為電磁標(biāo)量滯后位，它說明：空間任一點的電磁標(biāo)量位的變化，較之引起此變化的點源電荷的變化，要滯后一個傳播時間r/v。亦即經(jīng)過時間r/v，場點才感受到場源發(fā)生的變化。將此式與式(6-78)比較，可見應(yīng)具有與相同的量綱，因而式(6-78)應(yīng)為(6-79)(6-80)若場源點電荷值q不隨時間變化，則大