二項(xiàng)分布與超幾何分布專題訓(xùn)練

二項(xiàng)分布與超幾何分布專題訓(xùn)練一、知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一n重伯努利試驗(yàn)及其特征n重伯努利試驗(yàn)的概念將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).n重伯努利試驗(yàn)的共同特征同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次.各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=Cnpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…，n.稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?B(n,p).知識(shí)點(diǎn)三二項(xiàng)分布的均值與方差若X?B(n,p)，則E(X)=np，D(X)=np(1-p).知識(shí)點(diǎn)四超幾何分布定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為r.P(X=k)=CkMCN-M，k=m，m+1,m+2,其中n,N,MEN*,MWN,nWN,m=max{0,n—N+M},r=min{n,M}r.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.2?均值：E(X)=N?二、題型歸納】考點(diǎn)一：超幾何與二項(xiàng)分布概念的辨析【例1-1】下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有 .(填序號(hào))在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)；一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈數(shù)為隨機(jī)變量X.【例1-2】下列例子中隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布的有 .隨機(jī)變量E表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)E；有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品,采用有放回抽取方法，E表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M〈N)；有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，E表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).【考點(diǎn)精練】一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6,還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：X表示取出的最大號(hào)碼；X表示取出的最小號(hào)碼；取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；X表示取出的黑球個(gè)數(shù).這四種變量中服從超幾何分布的是（）A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④2?下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（ ）將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為X從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為XC?某射手的射擊命中率為0.8,現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X3?下列例子中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的個(gè)數(shù)為（ ）某同學(xué)投籃的命中率為0?6,他10次投籃中命中的次數(shù)￡；某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)￡；從裝有5個(gè)紅球，5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，摸到白球時(shí)的摸球次數(shù)￡；有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，￡表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)A.0B.1A.0B.1C.2D.34?下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是（ ）拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)X某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)XC.從裝有除顏色外其余均相同的5C.從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)X1,取出白球<0,取出紅球D.某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X考點(diǎn)二：二項(xiàng)分布的均值與方差【例2】?已知隨機(jī)變量:，耳滿足2C+H=9，且匚?B（8,p）,E（匚）二2，則e（q）,D（q）分別是（ ）A.5,3B.5,6A.5,3B.5,6C.8,3D.8,6【考點(diǎn)精練】(1、1?設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿足：Y=3X-1,X?B2,-，則V(Y)=()V3丿A.4 B.5 C.6 D.72?設(shè)隨機(jī)變量B(2,p),q~B(4,p)，若P(￡>1)=9，則P(q>2)的值為( )9A.3281cA.3281c65D.16813?已知隨機(jī)變量X?B（5,0.2），隨機(jī)變量Y=5X+10，則（ ）A.E（Y）=5 B.E（Y）=10 C.D（Y）=20 D.D（Y）=30考點(diǎn)三：二項(xiàng)分布【例3】很多新手拿到駕駛證后開車上路，如果不遵守交通規(guī)則，將會(huì)面臨扣分的處罰，為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定，某市交警部門結(jié)合機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)擞羞`法行為一次記12分、6分、3分、2分的新規(guī)定設(shè)置了一份試卷（滿分100分），發(fā)放給新手解答，從中隨機(jī)抽取了12名新手的成績，成績以莖葉圖表示如圖所示，并規(guī)定成績低于95分的為不合格，需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，成績不低于95分的為合格.687288955667891000（1） 求這12名新手的平均成績與方差；（2） 將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若從該市新手中任選4名參加座談會(huì)，用X表示成績合格的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)精練】影響青少年近視形成的因素有遺傳因素和環(huán)境因素，主要原因是環(huán)境因素學(xué)生長時(shí)期近距離的用眼狀態(tài)，加上不注意用眼衛(wèi)生、不合理的作息時(shí)間很容易引起近視除了學(xué)習(xí)，學(xué)生平時(shí)愛看電視、上網(wǎng)玩電子游戲、不喜歡參加戶外體育活動(dòng)，都是造成近視情況日益嚴(yán)重的原因?yàn)榱私馇闆r，現(xiàn)從某地區(qū)隨機(jī)抽取16名學(xué)生，調(diào)查人員用對數(shù)視力表檢查得到這16名學(xué)生的視力狀況的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉），如圖.學(xué)生視力測試結(jié)果6 6 6 7 7 7S12（1） 寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).（2） 若視力測試結(jié)果不低于5.0,則稱為“好視力”?從這16名學(xué)生中隨機(jī)選取3名，求至少有2名學(xué)生是“好視力”的概率；以這16名學(xué)生中是“好視力”的頻率代替該地區(qū)學(xué)生中是“好視力”的概率若從該地區(qū)學(xué)生（人數(shù)較多）中任選3名，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列.甲、乙二人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，已知甲、乙二人每次投進(jìn)的概率均為丄，兩人各投1次稱為一輪投籃.2（1） 求乙在前3次投籃中，恰好投進(jìn)2個(gè)球的概率；（2） 設(shè)前3輪投籃中，甲與乙進(jìn)球個(gè)數(shù)差的絕對值為隨機(jī)變量g,求g的分布列與期望.某部門在同一上班高峰時(shí)段對甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客，統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間（指乘客

從進(jìn)站口到乘上車的時(shí)間，乘車等待時(shí)間不超過40分鐘)?將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按［5,10),110,15),［15,20)，…,［35,40］分組，制成頻率分布直方圖：假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立.在上班高峰時(shí)段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為A;從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為B.用頻率估計(jì)概率，求乘客A，B乘車等待時(shí)間都小于20分鐘的概率；在上班高峰時(shí)段，從甲站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人，X表示乘車等待時(shí)間小于20分鐘的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)四：超幾何分布【例4】某班利用課外活動(dòng)時(shí)間舉行了一次“函數(shù)求導(dǎo)比賽”活動(dòng)，為了解本次比賽中學(xué)生的總體情況,從中抽取了甲、乙兩個(gè)小組的樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示11葉11葉6872 4 6 981391Z(1)分別求出甲、乙兩個(gè)小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個(gè)小組的成績更穩(wěn)定?(2)從甲組同學(xué)成績不低于70分的人中任意抽取3人，設(shè)X表示所抽取的3名同學(xué)的得分在［70,80)的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)精練】2020年5月28日，十三屆全國人大三次會(huì)議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行?它被稱為“社會(huì)生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位，也是市場經(jīng)濟(jì)的基本法某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法，組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國民法典》并組織知識(shí)競賽.為了解學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(單位:分)，繪制成如圖所示的莖葉圖：~s^r TO高二8 9 8 63612697 6 5 00734 5 7 99 6 11呂0 2 5 7 8 87 7 110913 3 5 89根據(jù)學(xué)生的競賽成績，將其分為四個(gè)等級(jí):測試成績(單位：分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀從樣本中任取2名同學(xué)的競賽成績，在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這2名同學(xué)來自同一個(gè)年級(jí)的概率；現(xiàn)從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談，記X為抽到高二年級(jí)的人數(shù)，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差.為慶祝2021年中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校高二年級(jí)舉行“黨史知識(shí)你我答”活動(dòng)，共有10個(gè)班，每班選5名選手參加了預(yù)賽，預(yù)賽滿分為150分，現(xiàn)預(yù)賽成績?nèi)拷橛?0分到140分之間?將成績結(jié)果按如下方式分成五組：第一組b0,100)，第二組1100,110)，…，第五組1130,140]?按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.若成績大于或等于100分且小于120分認(rèn)為是良好的，求參賽學(xué)生在這次活動(dòng)中成績良好的人數(shù)；若從第一五組中共隨機(jī)取出兩個(gè)成績，記X為取得第一組成績的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.已知袋中裝有5個(gè)白球，2個(gè)黑球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球.求恰有一個(gè)白球的方法種數(shù)；求至少有一個(gè)紅球的方法種數(shù)；設(shè)隨機(jī)變量X為取出3球中黑球的個(gè)數(shù)，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)五：二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合【例5】袋中有6個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取2次，每次取1個(gè)球.若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X,求X的分布列；若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y,求Y的分布列.【考點(diǎn)精練】某校從高三年級(jí)中選拔一個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識(shí)大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)入最后決賽，規(guī)定回答1道相關(guān)問題做最后的評判選擇由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加大賽.每個(gè)班級(jí)4名選手，現(xiàn)從每個(gè)班級(jí)4名選手中隨機(jī)抽取2人回答這個(gè)問題.已知這4人中，甲班級(jí)有3人可以正確回答3這道題目，而乙班級(jí)4人中能正確回答這道題目的概率均為二，甲、乙兩班級(jí)每個(gè)人對問題的回答都是相4互獨(dú)立、互不影響的.求甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的4人都能正確回答的概率.設(shè)甲、乙兩個(gè)班級(jí)被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為X，Y，求隨機(jī)變量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y),并由此分析由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加大賽更好.PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5pm的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35pg/m3以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35?75pg/m3之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75pg/m3以上空氣質(zhì)量為污染?某市生態(tài)環(huán)境局從該市2021年上半年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖，個(gè)位為葉)?PM2.5日均值(pg/m 從這15天的數(shù)據(jù)中任取1天，求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率； 從這15天的數(shù)據(jù)中任取1天，求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率； 從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記g表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求g的分布列和數(shù)學(xué)期望； 以這15天的PM2.5的日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況(一年按365天來計(jì)算)，則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)？某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495，500],…,(510，515].由此得到樣本的頻285371 4 344563879863925根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.考點(diǎn)六：二項(xiàng)分布與超幾何分布與其他知識(shí)綜合【例6】某企業(yè)為檢驗(yàn)?zāi)撤N設(shè)備生產(chǎn)的零件質(zhì)量，現(xiàn)隨機(jī)選取20個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，分出合格品和次品?設(shè)每個(gè)零件是次品的概率為P(0<P<1)，且相互獨(dú)立.若20個(gè)零件中恰有2個(gè)次品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p；0若合格品又分為一等品和二等品，每個(gè)零件是二等品的概率為是一等品概率的2倍.已知生產(chǎn)一個(gè)一等品可獲利100元，生產(chǎn)一個(gè)二等品可獲利30元，生產(chǎn)一個(gè)次品會(huì)虧損40元，當(dāng)每個(gè)零件平均獲利低于20元時(shí)，需對設(shè)備進(jìn)行技術(shù)升級(jí).當(dāng)P滿足什么條件時(shí)，企業(yè)需對該設(shè)備進(jìn)行技術(shù)升級(jí)？【考點(diǎn)精練】某商城玩具柜臺(tái)五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)系列盲盒，每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶A,A，A中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出1 2 3玩偶B1，B2中的一個(gè).記事件E:一次性購買n個(gè)甲系列盲盒后集齊玩偶A，A，A玩偶；事件F：—次性購買n個(gè)乙系n 1 2 3 n列盲盒后集齊B1，B2玩偶；求概率P(三)及P(佇)；某禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會(huì)，且購買時(shí)，只能選2擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為亍，購買乙系1 1 3列的概率為-；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為；，購買乙系列的概率為匚，前3 4 4一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為1，購買乙系列的概率為1；如此往復(fù)，記某人第n次22購買甲系列的概率為Q.n求｛q｝的通項(xiàng)公式；n若每天購買盲盒的人數(shù)約為100，且這100人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).由于“新冠肺炎”對抵抗力差的人的感染率相對更高，特別是老年人群體，因此某社區(qū)在疫情控制后，及時(shí)給老年人免費(fèi)體檢，通過體檢發(fā)現(xiàn)“高血糖，高血脂，高血壓”，即“三高”老人較多為此社區(qū)根據(jù)醫(yī)