專題5折疊問(wèn)題

折疊問(wèn)題折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中“折”是過(guò)程，“疊”是結(jié)果．折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換，折疊更突出了軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用．折疊(或翻折)在三大圖形變換中是比較重要的，考查得較多，無(wú)論是選擇題、填空題，還是解答題都有以折疊為背景的試題．常常把矩形、正方形的紙片放置于直角坐標(biāo)系中，與函數(shù)、直角三角形、相似形等知識(shí)結(jié)合，貫穿其他幾何、代數(shù)知識(shí)來(lái)設(shè)題．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱軸；互相重合兩點(diǎn)(對(duì)稱點(diǎn))之間的連線必被折痕垂直平分；對(duì)稱兩點(diǎn)與對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)連結(jié)所得的兩條線段相等；對(duì)稱線段所在的直線與對(duì)稱軸的夾角相等.在解題過(guò)程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論，借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來(lái)解決有關(guān)折疊問(wèn)題．折疊后圖形判斷1．(2014·寧波)用矩形紙片折出直角的平分線，下列折法正確的是()D【解析】根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)及角平分線的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷．2．(2014·黔南州)如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，設(shè)重疊部分為△EBD，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．AB＝CD

B．∠BAE＝∠DCEC．EB＝EDD．∠ABE一定等于30°D3．(2014·南寧)如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開(kāi)鋪平后得到的平面圖形一定是(

)A．正三角形

B．正方形C．正五邊形

D．正六邊形A對(duì)折疊圖形的判斷，可以通過(guò)空間想象，找出相等的邊與角，轉(zhuǎn)化為角度的判斷．折疊后求角的度數(shù)1．(2014·赤峰)如圖，E是矩形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊到△AEF，F(xiàn)在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交DC于G點(diǎn)，若∠AEB＝55°，

求∠DAF的度數(shù)．

解：∵△ABE沿AE折疊到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°－55°＝35°，∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°2．(2014·牡丹江)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，CM是斜邊AB上的中線，將△ACM沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，如果CD恰好與AB垂直，求∠A的度數(shù)．【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊前后的兩個(gè)三角形全等，則∠MCD＝∠MCA，從而求得答案．解：∵在Rt△ABC中，CM是斜邊AB上的中線，∴AM＝MC＝BM，∴∠A＝∠MCA，∵將△ACM沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，∴CM平分∠ACD，∴∠ACM＝∠MCD，∵∠A＋∠B＝∠B＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴∠BCD＝∠DCM＝∠MCA＝30°，∴∠A＝30°3．(2014·徐州)如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，折痕為DE，求∠CBE.∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝(180°－50°)＝65°，∵將△ABC折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，折痕為DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝65°－50°＝15°4．(2014·牡丹江)如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求tan∠EAF.在折疊問(wèn)題中，利用對(duì)稱性可得到相等的角和邊．折疊后求長(zhǎng)度1．(2014·黔東南州)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，求折痕EF的長(zhǎng)．【解析】設(shè)BE＝x，則CE＝16－x，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE＝CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，可得四邊形ABEH是矩形，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．2．(2014·新疆)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED，EC為折痕將兩個(gè)角(∠A，∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A，B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處．若AD＝3，BC＝5，求EF的值．【解析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD為矩形，在Rt△DHC中，利用勾股定理計(jì)算．3．(2014·舟山)如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將這張紙片折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)G處，折痕為AH.若HG的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng)．∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點(diǎn)，∴EF⊥AB，∴EF∥BC，∴EG是△DCH的中位線，∴DG＝HG，由折疊的性質(zhì)可得∠AGH＝∠ABH＝90°，∴∠AGH＝∠AGD＝90°，在△AGH和△AGD中，??í?ìHG＝DG，∠AGH＝∠AGD，AG＝AG，∴△ADG≌△AHG(SAS)，∴AD＝AH，∠DAG＝∠HAG，由折疊的性質(zhì)可得∠BAH＝∠HAG，∴∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝13∠BAD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AD＝4，∠BAH＝30°，∴HB＝2，AB＝23，∴CD＝AB＝23

4．(2014·河南)如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7.點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)，求DE的長(zhǎng).

在折疊問(wèn)題中，利用對(duì)稱性可得到相等的線段，通過(guò)三角形相似、勾股定理列出方程求解．折疊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中去處理．折疊后求周長(zhǎng)、面積1．(2014·孝感)如圖，已知矩形ABCD，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連結(jié)DE，BE，若△ABE是等邊三角形，求S△DCES△ABE的值．

【解析】過(guò)E作EM⊥AB于M，交DC于N，設(shè)AB＝AE＝BE＝2a，求出EN，根據(jù)三角形面積公式求出兩個(gè)三角形的面積，即可得出答案．2．(2014·上海)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE＝2CE，將矩形沿著過(guò)點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C，D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C′，D′處，且點(diǎn)C′，D′，B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，D′F與BE交于點(diǎn)G.設(shè)AB＝t，用含t的代數(shù)式表示△EFG的周長(zhǎng)．【解析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CE＝C′E，判斷出△EFG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出EF，即可得解．3．(2012·泰安)如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，若AB＝2，BC＝3，求△FCB′與△B′DG的面積之比．4．(2014·長(zhǎng)沙)如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE與AD相交于點(diǎn)O.(1)求證：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面積．

在折疊問(wèn)題中，利用對(duì)稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積．折疊后結(jié)論探究1．(2014·遵義)如圖，二次函數(shù)y＝43x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(3，0)，B(－1，0)，與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)．2．(2014·河北)圖①和圖②中，優(yōu)弧AB︵所在⊙O的半徑為2，AB＝23.點(diǎn)P為優(yōu)弧AB︵上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A，B重合)，將圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A?.

(1)點(diǎn)O到弦AB的距離是____，當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，∠ABA′＝

；160°(2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí)，如圖②，求折痕BP的長(zhǎng)；(3)若線段BA′與優(yōu)弧只有一個(gè)公共點(diǎn)B，設(shè)∠ABP＝α，確定α的取值范圍．3．(2013·龍巖)如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB＝3＋1，AD＝3.

(1)如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點(diǎn)D恰好落在AB邊上的D?處，壓平折痕交CD于點(diǎn)E，則折痕AE的長(zhǎng)為_(kāi)___；

(2)如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點(diǎn)F，則四邊形B′FED′的面積為