《金版學案》2014高考總復習(人教新課標,理科)配套精講課件第九章算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例、概率第五節(jié)

第五節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例第九章算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例考綱要求1．會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系．2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．3．了解下列兩種常用的統(tǒng)計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題．(1)獨立檢驗：了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用．(2)回歸分析：了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.課前自修知識梳理1．散點圖．(1)將變量所對應的點描出來，就組成了變量之間的一個圖，這種圖為變量之間的________．(2)從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢可用一條光滑的曲線來近似，這種近似的過程稱為曲線擬合．2．相關(guān)關(guān)系．(1)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為________；點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為________．散點圖正相關(guān)負相關(guān)(2)線性相關(guān)：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做________．(3)若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關(guān)是__________的．如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的．3．回歸直線．(1)最小二乘法：如果有n個點：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表達式來刻畫這些點與回歸直線的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2，使得上式達到最小值的就是我們要求的直線，這種方法稱為最小二乘法．回歸直線非線性相關(guān)(1)當r＞0時，表明兩個變量________；(2)當r＜0時，表明兩個變量________；(3)r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性________；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當|r|＞0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系．當|r|∈[0.3,0.75)時，相關(guān)性一般.當|r|∈[0,0.25]時，相關(guān)性較弱．正相關(guān)負相關(guān)越強

5.殘差分析．

(1)線性回歸模型：y＝bx＋a＋e中，a，b稱為模型的未知參數(shù)；e稱為隨機誤差．

(2)殘差平方和：對于樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，Q＝稱為殘差平方和，Q值越小，說明線性回歸模型的擬合效果越好．

(3)相關(guān)指數(shù)：用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，公式是R2＝1－.R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果________．越好6．獨立性檢驗．(1)若變量的不同“值”表示個體所屬的不同類型，則這類變量稱為分類變量．(2)列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．(3)利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的____________________．獨立性檢驗2×2列聯(lián)表獨立性檢驗公式K2＝__________________________________.y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d基礎自測1．下列命題：①任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系；②圓的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系；③某商品的需求與該商品的價格是一種非確定性關(guān)系；④根據(jù)散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的；⑤兩個變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過回歸直線，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進行研究．其中正確的命題為(

)A．①③④

B．②④⑤C．③④⑤

D．②③⑤答案：C2．用獨立性檢驗來考察兩個變量x與y是否有關(guān)系，當統(tǒng)計量K2的值(

)A．越大，“x與y是有關(guān)系的”成立可能性越小B．越大，“x與y是有關(guān)系的”成立可能性越大C．越小，“x與y是沒有關(guān)系的”成立可能性越小D．與“x與y有關(guān)系”成立的可能性無關(guān)答案：B3．(2012·湛江市二模)通過隨機詢問110名大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：由上表算得k≈7.8，因此得到的正確結(jié)論是(

)男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”解析：根據(jù)K2的臨界值表和獨立性檢驗的概念知，選項C正確．答案：C(2011·遼寧卷)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.解析：由題意得

2－1＝[0.254(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254，即家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元．答案：0.254考點探究考點一利用散點圖判斷兩個變量的相關(guān)關(guān)系【例1】

(1)觀察下列各圖形：其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖形是(

)A．①②

B．①④C．①②④

D．②③④(2)下表是某地的年降雨量

y(單位：mm)與年平均氣溫x(單位：℃)的數(shù)據(jù)資料，兩者是(

)年平均氣溫x/℃12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量y/mm748542507813574701432A．正相關(guān)關(guān)系B．負相關(guān)關(guān)系C．非線性相關(guān)關(guān)系D．不具有相關(guān)關(guān)系點評：(1)在散點圖中，如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)散點圖的最大優(yōu)點就是直觀，并且制作散點圖也較為方便，因此散點圖在判斷兩個變量是否相關(guān)的過程中起著重要作用．散點圖是判斷兩個變量是否相關(guān)的方法之一，至于相關(guān)性的強弱還要利用相關(guān)系數(shù)來判斷．解析：(1)相關(guān)關(guān)系有兩種情況：所有點看上去都在一條直線附近波動，是線性相關(guān)；若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，是非線性相關(guān)．由圖可以看出，①②是線性相關(guān)，④是非線性相關(guān)的．只有③是不相關(guān)的．故選C.(2)以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應的散點圖如圖所示．由圖可以看出某地的年降雨量(mm)與年平均氣溫(℃)不具有相關(guān)關(guān)系．故選D.答案：(1)C

(2)D變式探究1．(1)有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路程；②平均日學習時間和平均學習成績；③某人每日吸煙量和身體健康情況；④圓的半徑與面積；⑤汽車的重量和每公里耗油量．其中兩個變量成正相關(guān)的是(

)A．①③

B．②④C．②⑤

D．④⑤(2)有10名同學高一(x)和高二(y)的數(shù)學成績?nèi)缦拢簞t兩個變量x和y(

) A．沒有相關(guān)關(guān)系B．有正相關(guān)關(guān)系C．有負相關(guān)關(guān)系D．無法判斷高一成績x74717268767367706574高二成績y76757170767965776272解析：(1)由正相關(guān)與負相關(guān)的概念知②⑤是正相關(guān)，①③是負相關(guān)，④為函數(shù)關(guān)系．故選C.(2)以高一成績?yōu)閤軸，高二成績?yōu)閥軸，畫出散點圖如圖，可以看出，這些點在一條直線附近波動，且y隨著x增加而增加，所以x與y有正相關(guān)關(guān)系．故選B.答案：(1)C

(2)B考點二求回歸直線方程【例2】

某工廠某產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本成線性相關(guān)關(guān)系，數(shù)據(jù)如下：根據(jù)以上數(shù)據(jù)求線性回歸方程．月份產(chǎn)量x/千件單位成本y/(元/件)x2xy127341462372921634711628443739219546916276656825340合計21426791481點評：(1)最小二乘法是一種有效地求回歸方程的方法，它保證了各點與此直線在整體上最接近，最能反映樣本觀測數(shù)據(jù)的規(guī)律．(2)用最小二乘法求回歸直線方程的步驟：①判斷是否線性相關(guān)，可用散點圖判斷，也可以用殘差分析、相關(guān)指數(shù)判斷；②如果是線性相關(guān)，先計算的值，再代入公式的值；③寫出直線回歸方程．變式探究如表，其提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(單位：噸標準煤)的幾組對應數(shù)據(jù).

(1)請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程＝.x3456y2.5344.5解析：(1)依題設所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖．考點三利用回歸直線方程對總體進行估計【例3】營養(yǎng)學家為研究食物中蛋白質(zhì)含量對嬰幼兒生長的影響，調(diào)查了一批年齡在兩個月到三歲的嬰幼兒，將他們按食物中蛋白質(zhì)含量的高低分為高蛋白食物組和低蛋白食物組兩組，并測量身高，得到下面的數(shù)據(jù)：高蛋白食物組：年齡0.20.50.8111.41.8222.52.532.7身高5454.363666973828380.39193.29494低蛋白食物組：身高與年齡近似有線性關(guān)系，檢驗：不同食物的嬰幼兒的身高有無差異；若存在，這種差異有何特點．年齡0.40.7111.5222.42.831.31.80.23身高52556163.46668.567.972767465695177對低蛋白食物組，設年齡為x，身高為y，同樣可得線性回歸方程＝51.226＋8.686x，通過對斜率、截距進行比較，可以看出不同食物對嬰兒的身高有顯著的差異，且高蛋白食物組同齡嬰幼兒身高明顯高些．點評：線性回歸分析的主要作用是通過對兩個變量已有數(shù)據(jù)的分析，來預測這兩個變量的變化趨勢，一般步驟是：①進行線性相關(guān)性檢驗；②如果具有線性相關(guān)性，求出線性回歸方程；③將觀測值代入回歸方程進行預測．變式探究3．某班5名學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚?1)畫出散點圖；(2)求物理成績y對數(shù)學成績x的回歸直線方程；(3)一名學生的數(shù)學成績是96，試預測他的物理成績．學生ABCDE

數(shù)學成績x/分8876736663物理成績y/分7865716461解析：(1)散點圖如圖．考點四獨立性檢驗序號123456789數(shù)學成績957580949265678498序號101112131415161718數(shù)學成績716793647877905783【例4】

某學校課題組為了研究學生的數(shù)學成績與物理成績之間的關(guān)系，隨機抽取高二年級20名學生某次考試成績(滿分100分)如下表所示序號123456789物理成績906372879171588293序號101112131415161718物理成績817782488569916184若單科成績85分以上(含85分)，則該科成績?yōu)閮?yōu)秀．(1)根據(jù)上表完成下面的2×2列聯(lián)表(單位：人).數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀

合計物理成績優(yōu)秀物理成績不優(yōu)秀合

計20(2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù)計算，有多大的把握，認為學生的數(shù)學成績與物理成績之間有關(guān)系？(3)若從這20個人中抽出1人來了解有關(guān)情況，求抽到的學生數(shù)學成績與物理成績至少有一門不優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)①假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：則隨機變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量；y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d②獨立檢驗隨機變量K2的臨界值參考表：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)2×2列聯(lián)表為(單位：人)：數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀合計物理成績優(yōu)秀

5

27物理成績不優(yōu)秀

1

1213合計

6

1420(2)提出假設H0：學生數(shù)學成績與物理成績之間沒有關(guān)系．根據(jù)列聯(lián)表可以求得K

2＝≈8.802>7.879.當H0成立時，P(K2>7.879)＝0.005.所以我們有99.5%的把握認為學生的數(shù)學成績與物理成績之間有關(guān)系．(3)由(1)可知數(shù)學成績與物理成績都優(yōu)秀的學生的人數(shù)為5人，則數(shù)學成績與物理成績至少有一門不優(yōu)秀的學生人數(shù)為15人．故從20名學生中抽出1名，抽到的學生數(shù)學成績與物理成績至少有一門不優(yōu)秀的概率為＝.點評：獨立性檢驗的一般步驟：(1)列出2×2列聯(lián)表，假設兩個變量無關(guān)系；(2)根據(jù)公式K2＝計算K2的值；(3)比較K2與臨界值的大小關(guān)系作出統(tǒng)計推斷．變式探究(2012·羅定中學模擬)某研究小組為了研究中學生的身體發(fā)育情況，在某學校隨機抽出20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成2×2的列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有____________%的把握認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系.超重不超重合計偏高415不偏高31215合計71320附：獨立性檢驗臨界值表：

獨立性檢驗隨機變量K2值的計算公式：P(K2≥k0)0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828解析：K2＝≈5.934＞5.024，由K2的臨界值表可知，有97.5%的把握認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系．答案：97.5課時升華1．對兩個變量的線性關(guān)系情況的判斷有兩個方法：一是根據(jù)散點圖，這種方法是從圖形上粗略地觀察，比較直觀、簡單易行，但往往對相關(guān)程度刻畫得不夠準確；二是計算相關(guān)系數(shù)法，這種方法能比較準確地反映相關(guān)程度，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，相關(guān)性就越強，相關(guān)系數(shù)就是描述相關(guān)性強弱的，相關(guān)性有正相關(guān)和負相關(guān)，強相關(guān)和弱相關(guān)．2．建立回歸模型的步驟：(1)確定研究對象，明確解釋變量和預報變量；(2)畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否具有線性相關(guān)關(guān)系)；(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型，主要是線性回歸模型；(4)用最小二乘法求線性回歸方程；(5)最后是相關(guān)性檢驗，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適．3．利用獨立性檢驗可以考查兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準確地給出這種判斷的可信度．具體做法是根據(jù)公式，計算隨機變量的觀測值k，k值越大，說明“兩個變量有關(guān)系”的可能性越大．感悟高考品味高考1．(2012·湖南卷)設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心(，)C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析：根據(jù)回歸方程的概念和性質(zhì)知選項A，B，C三項均正確，選項D錯誤，線性回歸方程只能預測學生的體重.選項D應改為“若該大學某女生身高為170cm，則估計其體重大約為58.79kg”．答案：D2．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名大于40歲的觀眾應該抽取幾名？(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾年齡為20至40歲的概率．文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計5545100解析：(1)有關(guān)．收看新聞節(jié)目多為年齡大的．(2)應抽取的人數(shù)為：5×＝3(人)．(3)由(2)知，抽取的5名觀眾中，有2名觀眾年齡處于20至40歲，3名觀眾的年齡大于40歲．記大于40歲的人為a1，a2，a3,20至40歲的人為b1，b2，則從5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共10個，其中恰有1人為20至40歲的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6個，因此所求的概率P＝=.＝高考預測1．(2012·江門市一模)有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得銷售額y與平均氣溫x之間線性回歸方程y＝x＋的系數(shù)＝－2.4，則預測平均氣溫