N03-定點(diǎn)除法浮點(diǎn)運(yùn)算

第二章運(yùn)算方法與運(yùn)算器

數(shù)據(jù)與文字的表示方法定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算定點(diǎn)乘法運(yùn)算定點(diǎn)除法運(yùn)算定點(diǎn)運(yùn)算器的組成浮點(diǎn)運(yùn)算方法和浮點(diǎn)運(yùn)算器2.4定點(diǎn)除法運(yùn)算

2.4.1原碼除法運(yùn)算原理

兩個(gè)原碼表示的數(shù)相除時(shí)，商的符號(hào)由兩數(shù)的符號(hào)按位相加求得，商的數(shù)值部分由兩數(shù)的數(shù)值部分相除求得。

設(shè)有n位定點(diǎn)小數(shù)(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)：被除數(shù)ｘ的原碼為[ｘ]原＝ｘf.ｘn－1…ｘ1ｘ0除數(shù)ｙ的原碼為[ｙ]原＝ｙf.ｙn－1…ｙ1ｙ0則有商q＝ｘ/ｙ，其原碼為[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+(0.ｘn－1…ｘ1ｘ0/0.ｙn－1…ｙ1ｙ0)商的符號(hào)運(yùn)算qf＝ｘf⊕ｙf0.1101

商q

0.10110.10010

ｘ(r0)被除數(shù)小于除數(shù)，商0

－0.01011

2－1ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù)，商1

0.001110

r1得余數(shù)r1

－0.0

01011

2－2ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù)，商1

0.0000110

r2

得余數(shù)r2

－0.0

001011

2－3ｙ除數(shù)右移1位,不減除數(shù)，商0

0.00001100

r3

得余數(shù)r3

－0.0

0001011

2－4ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù)，商1

0.00000001

r4得余數(shù)r4得ｘ÷ｙ的商q＝0.1101,余數(shù)為r＝0.00000001。設(shè)被除數(shù)ｘ＝0.1001，除數(shù)ｙ＝0.1011

設(shè)被除數(shù)ｘ＝0.1001，除數(shù)ｙ＝0.1011,模仿十進(jìn)制除法運(yùn)算，得ｘ÷ｙ的商q＝0.1101，余數(shù)為r＝0.00000001。1.判斷ｘ是否小于ｙ？現(xiàn)在ｘ<ｙ，故商的整數(shù)位商“0”，ｘ的低位補(bǔ)0,得余數(shù)r0。2.比較r0和2－1ｙ，因r0>2－1ｙ，表示夠減，小數(shù)點(diǎn)后第一位商“1”，作r0－2－1ｙ，得余數(shù)r1。3.比較r1和2－2ｙ，因r1>2－2ｙ，表示夠減,小數(shù)點(diǎn)后第二位商“1”，作r1－2－2ｙ，得余數(shù)r2。4.比較r2和2－3ｙ，因r2<2－3ｙ，不夠減，小數(shù)點(diǎn)后第三位商“0”，不作減法，得余數(shù)r3(＝r2)。5.比較r3和2－4ｙ，因r3>2－4ｙ，表示夠減，小數(shù)點(diǎn)后第四2位商“1”，作r3－2－4ｙ，得余數(shù)r4。

“除數(shù)右移”“右移上商”機(jī)器不會(huì)心算,須先作減法,若余數(shù)為正,才知道夠減；若余數(shù)為負(fù),才知道不夠減。不夠減時(shí)必須恢復(fù)原來的余數(shù),以便再繼續(xù)往下運(yùn)算。這種方法稱為恢復(fù)余數(shù)法。要恢復(fù)原來的余數(shù),只要當(dāng)前的余數(shù)加上除數(shù)即可。

實(shí)際中常用不恢復(fù)余數(shù)法,又稱加減交替法。其特點(diǎn)是運(yùn)算過程中如出現(xiàn)不夠減,則不必恢復(fù)余數(shù),根據(jù)余數(shù)符號(hào),可以繼續(xù)往下運(yùn)算,因此步數(shù)固定,控制簡(jiǎn)單。串行除法器速度太慢,目前已被淘汰。

設(shè)有n位定點(diǎn)小數(shù)(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)：被除數(shù)ｘ的原碼為[ｘ]原＝ｘf.ｘn－1…ｘ1ｘ0除數(shù)ｙ的原碼為[ｙ]原＝ｙf.ｙn－1…ｙ1ｙ0則有商q＝ｘ/ｙ，其原碼為

[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+(0.ｘn－1…ｘ1ｘ0/0.ｙn－1…ｙ1ｙ0)商的符號(hào)運(yùn)算qf＝ｘf⊕ｙf

設(shè)被除數(shù)ｘ＝0.1001，除數(shù)ｙ＝0.1011,模仿十進(jìn)制除法運(yùn)算，得ｘ÷ｙ的商q＝0.1101，余數(shù)為r＝0.00000001。

“除數(shù)右移” “右移上商”

恢復(fù)余數(shù)法 加減交替法2.4.2并行除法器

陣列除法器有多種多樣形式：不恢復(fù)余數(shù)陣列除法器補(bǔ)碼陣列除法器

1.可控加法/減法(CAS)單元Bi⊕PAi⊕(Bi⊕P)CiSi=Ai⊕(Bi⊕P)⊕CiCi＋1＝(Ai＋Ci)·(Bi⊕P)＋AiCiCiAi(Ai＋Ci)AiCi(Ai＋Ci)·(Bi⊕P)Ai

CAS單元的輸入與輸出的關(guān)系可用如下一組邏輯方程來表示：

Si＝Ai⊕(Bi⊕P)⊕CiCi＋1＝(Ai＋Ci)·(Bi⊕P)＋AiCi

當(dāng)P＝0時(shí)，方程式(2.27)就等于式(2.23)，即得我們熟悉的一位全加器(FA)的公式：

Si＝Ai⊕Bi⊕Ci

Ci＋1＝AiBi＋BiCi＋AiCi（2.27）當(dāng)P＝1時(shí),則得求差公式：

Si＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋AiCi其中Bi＝Bi⊕1。在減法情況下，輸入Ci稱為借位輸入，而Ci＋1稱為借位輸出。（2.28）

為說明CAS單元的實(shí)際內(nèi)部電路實(shí)現(xiàn)，將方程式(2.28)加以變換，可得如下形式：

Si＝Ai⊕(Bi⊕P)⊕Ci

＝AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋

AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP

Ci＋1＝(Ai＋Ci)(Bi⊕P)＋AiCi

＝AiBiP＋AiBiP＋BiCiP＋BiCiP＋AiCi2.不恢復(fù)余數(shù)的陣列除法器

[例20]將余數(shù)固定除數(shù)右移等效成除數(shù)固定余數(shù)左移碼制填補(bǔ)代碼正數(shù)原碼、反碼、補(bǔ)碼0負(fù)數(shù)原碼0補(bǔ)碼左移添0右移添1反碼1算術(shù)移位運(yùn)算（有符號(hào)數(shù)的移位）邏輯移位運(yùn)算（無符號(hào)數(shù)的移位）

不管左移還是右移都添0

原碼除法（加減交替運(yùn)算規(guī)則）1、被除數(shù)（或余數(shù)）減除數(shù)，當(dāng)余數(shù)為正時(shí)商上1，余數(shù)左移減除數(shù)；當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)商上0，余數(shù)左移加除數(shù)；2、原碼運(yùn)算時(shí)，商的符號(hào)運(yùn)算qf＝ｘf⊕ｙf，商的值為q＝｜ｘ｜/｜ｙ｜，采用雙符號(hào)位，運(yùn)算中余數(shù)左移n位，則r=2-n.[r]3、對(duì)于n位數(shù)除法需進(jìn)行n+1次加法和n次移位。補(bǔ)碼除法（加減交替運(yùn)算規(guī)則）1、符號(hào)位參加運(yùn)算，被除數(shù)與除數(shù)均采用雙符號(hào)位。2、第一步，被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)時(shí)，減除數(shù)；被除數(shù)與除數(shù)異號(hào)時(shí)，加除數(shù)；3、當(dāng)余數(shù)與除數(shù)同號(hào)時(shí)，商上1，余數(shù)左移，減除數(shù)；當(dāng)余數(shù)與除數(shù)異號(hào)時(shí)，商上0，余數(shù)左移，加除數(shù)；4、包括符號(hào)位在內(nèi)n+1，重復(fù)3，共作n+1步。商和余數(shù)的校正1、商的校正（僅對(duì)補(bǔ)碼運(yùn)算）剛好除盡時(shí)（余數(shù)為0），若除數(shù)為正，則商不校正，若除數(shù)為負(fù)則商需加上2-n進(jìn)行校正；不能除盡時(shí)，若商為正則不校正；商為負(fù)則商需加上2-n進(jìn)行校正2、余數(shù)校正（對(duì)原碼和補(bǔ)碼）：前提是，余數(shù)和被除數(shù)異號(hào)若商為正，將余數(shù)加上除數(shù)進(jìn)行校正；若商為負(fù)，將余數(shù)減去除數(shù)進(jìn)行校正。原碼除法對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果商一定為正。因此當(dāng)運(yùn)算結(jié)果余數(shù)為負(fù)時(shí)，與x的絕對(duì)值異號(hào)，余數(shù)加上除數(shù)進(jìn)行校正，且校正后，余數(shù)符號(hào)應(yīng)與被除數(shù)x相同2.5定點(diǎn)運(yùn)算器的組成

2.5.1邏輯運(yùn)算

計(jì)算機(jī)中的邏輯運(yùn)算，主要是指邏輯非、邏輯加、邏輯乘、邏輯異四種基本運(yùn)算。1.邏輯非運(yùn)算

邏輯非也稱求反。對(duì)某數(shù)進(jìn)行邏輯非運(yùn)算，就是按位求反，常用變量上方加一橫來表示。2.邏輯加運(yùn)算

對(duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行邏輯加，就是按位求它們的“或”，所以邏輯加又稱邏輯或，常用記號(hào)“V”或“＋”來表示。

[例22]

3.

邏輯乘運(yùn)算

對(duì)兩數(shù)進(jìn)行邏輯乘，就是按位求它們的“與”，所以邏輯乘又稱“邏輯與”，常用記號(hào)“∧”或“·”來表示。

[例23]4.邏輯異運(yùn)算

對(duì)兩數(shù)進(jìn)行異就是按位求它們的模2和，所以邏輯異又稱“按位加”，常用記號(hào)“⊕”表示。事實(shí)上，邏輯加還可以通過邏輯乘和邏輯非來實(shí)現(xiàn)：

同樣，邏輯乘也可以用邏輯加和邏輯非來實(shí)現(xiàn)：Xi,Yi與控制參數(shù)和輸入量的關(guān)系

表中紫色為該數(shù)的非運(yùn)算根據(jù)上面所列的函數(shù)關(guān)系,即可列出Xi和Yi的邏輯表達(dá)式S0S1YiS2S3Xi0

0

0

1

1

0

1

1AiAiBi

AiBi000

0

1

1

0

111

Ai＋Bi

Ai＋Bi

Ai

2.5.2多功能算術(shù)/邏輯運(yùn)算單元(ALU)

1.基本思想一位全加器(FA)的邏輯表達(dá)式為

Fi＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAi因此，一位算術(shù)/邏輯運(yùn)算單元的邏輯表達(dá)式為

Fi＝Xi⊕Yi⊕Cn＋iCn＋i＋1＝XiYi＋YiCn＋i＋Cn＋iXiFi＝Xi⊕Yi⊕Cn＋iCn＋i＋1＝Y(jié)i＋XiCn＋i2.邏輯表達(dá)式Xi和Yi的邏輯表達(dá)式：

Xi＝S2S3＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3Ai

Yi＝S0S1Ai＋S0S1AiBi＋S0S1AiBiALU的某一位邏輯表達(dá)式如下：

Xi＝S3AiBi＋S2AiBiYi＝Ai＋S0Bi＋S1Bi設(shè)

G＝Y(jié)3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3

進(jìn)位發(fā)生輸出

P＝X0X1X2X3進(jìn)位傳送輸出則

Cn＋4＝G＋PCnG、P，有利于實(shí)現(xiàn)多片（組）ALU之間的先行進(jìn)位先行進(jìn)位發(fā)生器（CLA）（2.37）3.算術(shù)邏輯運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)M=0××××××××××M=14.兩級(jí)先行進(jìn)位的ALUCn＋ｘ＝G0＋P0CnCn＋ｙ＝G1＋P1Cn＋ｘ＝G1＋G0P1＋P0P1CnCn＋ｚ＝G2＋P2Cn＋ｙ＝G2＋G1P2＋G0P1P2＋P0P1P2Cn

Cn＋4＝G3＋P3Cn＋ｚ＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3＋

P0P1P2P3Cn

＝G*＋P*Cn

(2.32)其中 P*＝P0P1P2P3 G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3圖2.13用兩個(gè)16位全先行進(jìn)位部件級(jí)聯(lián)組成的32位ALU2.5.3內(nèi)部總線根據(jù)總線所在位置，總線分為：內(nèi)部總線外部總線按總線的邏輯結(jié)構(gòu)來說，總線可分為：?jiǎn)蜗騻魉涂偩€雙向傳送總線2.5.4定點(diǎn)運(yùn)算器的基本結(jié)構(gòu)運(yùn)算器包括ALU、陣列乘除器、寄存器、多路開關(guān)、三態(tài)緩沖器、數(shù)據(jù)總線等邏輯部件。計(jì)算機(jī)的運(yùn)算器大體有如下三種結(jié)構(gòu)形式：?jiǎn)慰偩€結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器雙總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器三總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器

1.單總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器ABABC2.雙總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器ABC3.三總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器ABC2.6浮點(diǎn)運(yùn)算方法和浮點(diǎn)運(yùn)算器

2.6.1浮點(diǎn)加法、減法運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)ｘ和ｙ，它們分別為 ｘ＝2Eｘ·Mｘ ｙ＝2Eｙ·Mｙ其中Eｘ和Eｙ分別為數(shù)ｘ和ｙ的階碼，Mｘ和Mｙ為數(shù)ｘ和ｙ的尾數(shù)。兩浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加法和減法的運(yùn)算規(guī)則是ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ

±Mｙ)2Eｙ，Eｘ<＝Eｙ（2.39）浮點(diǎn)加減運(yùn)算操作流程對(duì)階操作小階向大階看齊，大階不變。即小階的尾數(shù)向右移位(相當(dāng)于小數(shù)點(diǎn)左移），每右移一位，其階碼加1，直到兩數(shù)的階碼相等為止，右移的位數(shù)等于階差△E。

原因是什么？結(jié)果規(guī)格化右規(guī)處理：

01.x1…xn 10.x1…xn尾數(shù)右移1位，階碼加1，左邊補(bǔ)1位左規(guī)處理：

11.x1…xn 00.x1…xn尾數(shù)左移1位，階碼減1，右邊補(bǔ)1位[例25]舍入處理“0舍1入”法“恒置一”法在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中，舍入處理有四種可選方法：就近舍入朝0舍入朝＋∞舍入朝－∞舍入浮點(diǎn)數(shù)的溢出

階碼上溢階碼下溢尾數(shù)上溢尾數(shù)下溢2.6.2浮點(diǎn)乘法、除法運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)x和y：x＝2Ex·Mxy＝2Ey·My

浮點(diǎn)乘法運(yùn)算的規(guī)則是 ｘ×ｙ＝2(Eｘ＋Eｙ)·(Mｘ×Mｙ)浮點(diǎn)除法運(yùn)算的規(guī)則是 ｘ÷ｙ＝2(Eｘ－Eｙ)·(Mｘ÷Mｙ)（2.41）（2.40）浮點(diǎn)數(shù)的乘除運(yùn)算大體分為四步： 第一步，0操作數(shù)檢查； 第二步，階碼加/減操作； 第三步，尾數(shù)乘/除操作； 第四步，結(jié)果規(guī)格化及舍入處理。(1)浮點(diǎn)數(shù)的階碼運(yùn)算[ｘ＋ｙ]移

＝[ｘ]移＋[ｙ]補(bǔ)

(mod2n＋1)

(2.42)

[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]補(bǔ)(2.43)10上溢11下溢00負(fù)01正(2)尾數(shù)處理

浮點(diǎn)加減法對(duì)結(jié)果的規(guī)格化及舍入處理也適用于浮點(diǎn)乘除法。

截?cái)嗵幚?/p>

舍入處理2.6.3浮點(diǎn)運(yùn)算流水線1.流水線原理流水線的分類：線性流水線和非線性流水線

設(shè)過程段Si所需的時(shí)間為τi，緩沖寄存器的延時(shí)為τl，線性流水線的時(shí)鐘周期定義為

τ＝max{τi}＋τl＝τm＋τl

(2.44)

故流水線處理的頻率為f＝1/τ。

從理論上說，一個(gè)具有k級(jí)過程段的流水線處理n個(gè)任務(wù)需要的時(shí)鐘周期數(shù)為

Tk＝k＋(n－1)

(2.45)

如果用非流水線的硬件來處理這n個(gè)任務(wù)，時(shí)間上只能串行進(jìn)行，則所需時(shí)鐘周期數(shù)為

TL＝n·k

(2.46)

將TL和Tk的比值定義為k級(jí)線性流水線的加速比：

Ck＝TL/Tk＝n·k/[k＋(n－1)] (2.47)

當(dāng)n>>k時(shí)，Ck→k。這就是說，理論上k級(jí)線性流水線處理幾乎可以提高k倍速度。但實(shí)際上由于存儲(chǔ)器沖突、數(shù)據(jù)相關(guān)，這個(gè)理想的加速比不一定能達(dá)到。2.流水線浮點(diǎn)加法器

[例29] [例30]2.6.4浮點(diǎn)運(yùn)算器實(shí)例1.CPU之外的浮點(diǎn)運(yùn)算器(1)以異步方式與80386并行工作，80x87相當(dāng)于386的一個(gè)I/O部件，本身有它自己的指令，但不能單獨(dú)使用，它只能作為386主CPU的協(xié)處理器才能運(yùn)算。(2)可處理包括二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)、二進(jìn)制整數(shù)、和壓縮十進(jìn)制數(shù)串三大類7種數(shù)據(jù)，其中浮點(diǎn)數(shù)的格式符合IEEE754標(biāo)準(zhǔn)。字整數(shù)(16位整數(shù))短整數(shù)(32位整數(shù))長(zhǎng)整數(shù)(64位整數(shù))短實(shí)數(shù)(32位浮點(diǎn)數(shù))長(zhǎng)實(shí)數(shù)(64位浮點(diǎn)數(shù))臨時(shí)實(shí)數(shù)(80位浮點(diǎn)數(shù))十進(jìn)數(shù)串(十進(jìn)制18位)7種數(shù)據(jù)類型在寄存器中表示如下：S15位(二進(jìn)制補(bǔ)碼)S31位(二進(jìn)制補(bǔ)碼)S63位(二進(jìn)制補(bǔ)碼)S指數(shù)尾數(shù)(23位)S指數(shù)尾數(shù)(52位)S指數(shù)尾數(shù)(64位)S－d17d16…d1d080x87的內(nèi)部結(jié)構(gòu)邏輯框圖用每?jī)晌槐硎炯拇嫫鞫褩Ｖ忻總€(gè)寄存器的狀態(tài)，即特征值為00—11四種組合時(shí)表明相應(yīng)的寄存器有正確數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)為0、數(shù)據(jù)非法、無數(shù)據(jù)四種情況。加速移位操作處理浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)和尾數(shù)八個(gè)80位字長(zhǎng)以“先進(jìn)后出”方式管理的寄存器組用于表示80287的結(jié)果處理情況，例如當(dāng)“忙”標(biāo)志為1時(shí)，表示正在執(zhí)行一條浮點(diǎn)運(yùn)算指令，為0則表示80×87空閑。狀態(tài)寄存器的低6位指出異常錯(cuò)誤的6種類型，與控制寄存器低6位相對(duì)應(yīng)。當(dāng)對(duì)應(yīng)的控制寄存器位為0(未屏蔽)而狀態(tài)寄存器位為1時(shí)，因發(fā)生某種異常錯(cuò)誤而產(chǎn)生中斷請(qǐng)求。用于控制80287的內(nèi)部操作。2.CPU之內(nèi)的浮點(diǎn)運(yùn)算器

奔騰CPU將浮點(diǎn)運(yùn)算器包含在芯片內(nèi)。浮點(diǎn)運(yùn)算部件采用流水線設(shè)計(jì)。指令執(zhí)行過程分為8段流水線。一般情況下，由U流水線完成一條浮點(diǎn)數(shù)操作指令。浮點(diǎn)部件內(nèi)有浮點(diǎn)專用加法器、乘法器和除法器、寄存器堆等。對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)的取數(shù)、加法、乘法等操作，采用了新的算法，其執(zhí)行速度是80486的10倍多。假設(shè)有4個(gè)過程段組成流水線浮點(diǎn)加法器,每個(gè)過程段所需的時(shí)間為：求階差τ1＝70ns,對(duì)階τ2＝60ns,相加τ3＝90ns,規(guī)格化τ4＝80ns,緩沖寄存器L的延時(shí)為tl＝10ns,求4級(jí)流水線加法器的加速比為多少？(2)如果每個(gè)過程段的時(shí)