小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：乘法原理之染色問(wèn)題-帶詳解

乘法原理之染問(wèn)題教學(xué)目使學(xué)生掌握乘法原理主要內(nèi)容，掌握乘法原理運(yùn)用的方法；使學(xué)生分清楚什么時(shí)候用乘法原理，分清有幾個(gè)必要的步驟，以及各步之間的關(guān)系．培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確分解步驟的解題能力；乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問(wèn)題，本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問(wèn)題的習(xí)．知識(shí)要一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學(xué)們上課得家出發(fā)到長(zhǎng)寧上點(diǎn)的課得到黃埔上下午點(diǎn)的課果說(shuō)申老師的家到長(zhǎng)寧有可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車(chē)、自行車(chē)、步行），然后再?gòu)拈L(zhǎng)寧到黃埔有可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學(xué)們，你們說(shuō)老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個(gè)示意圖，老師必須先的到長(zhǎng)寧，然后再到黃埔．這幾個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的，老是一定要先到長(zhǎng)寧上完課，才能去黃埔的．在沒(méi)學(xué)乘法原理之前，我們可以通過(guò)一條一條的數(shù)，把線找出來(lái)，顯而易見(jiàn)一共是條路線但要是老師從家到長(zhǎng)寧有25可選擇的交通工具并且從長(zhǎng)寧到黃埔也有30可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費(fèi)很多的時(shí)間了．這個(gè)時(shí)候們的乘法原理就派上上用場(chǎng)了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個(gè)事情可以分成必不可少的步驟（比如說(shuō)老師從家到黃埔，必須要先到長(zhǎng)寧，那么一共可以分成兩個(gè)必不可少的步驟，一是從家到長(zhǎng)寧，二是從長(zhǎng)寧到黃埔），第1步種同的方法，第二步有B不同的方法…，n步有種同的方法．么完成這件事情一共有A×N種同的方法．結(jié)合上個(gè)例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個(gè)驟，第步從家到長(zhǎng)寧，一共5種選擇；第2步長(zhǎng)寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有個(gè)選擇的路線了，即條．三、乘法原理解題三部曲完成一件事分N個(gè)要步驟；每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事）；步步相乘四、乘法原理的考題類(lèi)型路線種類(lèi)問(wèn)——比如說(shuō)老師舉這個(gè)例子就是個(gè)路線種類(lèi)問(wèn)題；字的染色問(wèn)——比如說(shuō)要個(gè)后5種色可以給每個(gè)字然后個(gè)字有多少種染色方法；、地圖的染色問(wèn)—同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國(guó)每個(gè)省的染色情況，給你幾種顏色，問(wèn)你一張1包括幾個(gè)部分的地圖有幾種染色的方法；排隊(duì)問(wèn)——比如說(shuō)個(gè)同學(xué)，排成一個(gè)隊(duì)伍，有多少種排法；數(shù)碼問(wèn)——就是對(duì)一些數(shù)字的列如說(shuō)給你幾個(gè)數(shù)字后排個(gè)幾為數(shù)的偶數(shù)多少種排法．例題精【】地上，，，D四國(guó)如下圖)，有、、三顏給圖色使鄰國(guó)的色同但是種色必要，有少染方？C

D【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】有3種色可選；當(dāng)，C取相同的顏色時(shí)，有種色可選，此時(shí)D也種色可選．根據(jù)乘法原理，不同的涂法有3種當(dāng)BC取同的顏色時(shí)有2種色選C僅1種顏色可選時(shí)也有顏色可(與A相同．根據(jù)乘法原理，不同的涂法有3種綜上，根據(jù)加法原理，共有1種同的涂法．【答案】18【固如有、、、四顏給題的圖染，相國(guó)的色同但是種色必要，有少染方？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】第一，首先對(duì)進(jìn)染色一共有種方法，然后對(duì)C進(jìn)染色，如果取同的顏色，三種方式，D剩種式，如果B、C不同顏色，有3種方法剩下2種法，對(duì)該圖的染色方法一共有4種法．【意給地圖染色問(wèn)題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類(lèi)解決，前者分類(lèi)做可以解決問(wèn)題．【答案】【】在圖每區(qū)內(nèi)上、B、、D四種色一使得個(gè)里恰四顏，一有__________種同染方．

【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】因?yàn)閭€(gè)圓內(nèi)個(gè)域上染的顏色都不相同，所以一個(gè)圓內(nèi)的個(gè)域一共有種色方法右圖所示當(dāng)一個(gè)圓內(nèi)的2、3、4四個(gè)區(qū)域的顏色染定后于號(hào)區(qū)域的顏色不能與2、、三區(qū)域的顏色相同，所以只能與1號(hào)域的顏色相同，同理區(qū)域只能與4號(hào)域的顏色相同，7號(hào)域只能與2號(hào)區(qū)域的顏色相同，所以當(dāng)1、2、3、四個(gè)區(qū)域的顏色染定后，其他區(qū)域的顏色也就相應(yīng)的只有一種染法，所以一共有24種同的染法．【答案】【】如，圖有A，，D四個(gè)家現(xiàn)五顏給地染，使鄰家顏不同有少不染方?2AB

【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】為了要求給地圖上的四個(gè)國(guó)家染色，我們可以分四步來(lái)完成染色的工作：第一步：給染，有種色可選．第二步：給色，由于不能與A同，所以有4種色可選．第三步：給C染，由于不能與A、同色，所以C有3種色可選．第四步：給染，由于D不與BC同，但可以與A同，以3種色可選．根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，用5顏色給地圖染色共有5180種同的染色方法．【答案】180【固如，張圖有個(gè)家，B，，DE，現(xiàn)在求四不的色分不國(guó)，要相的家能用一顏，不的家以用—種顏，那這地有少色方？D

C【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】第一，給A國(guó)色，可以任選顏色，有四種選擇；第二步，給國(guó)上色，國(guó)不能使用A國(guó)顏色，有三種選擇；第三步，給C國(guó)上色，國(guó)B，兩國(guó)相鄰，所以不能使A，B國(guó)顏色，只有兩種選擇；第四步，給D國(guó)上色，D國(guó)B，C兩相鄰，因此也只有兩種選擇；第五步，給國(guó)色，國(guó)與C，D國(guó)相鄰，有兩種選擇．共496種色方法【答案】96【】如：一紙如操，、橫將劃相的塊二、豎將邊區(qū)劃相等兩，、橫將右方區(qū)分相的塊四用豎將右方區(qū)劃相等兩……，此進(jìn)步作問(wèn)如用四顏對(duì)一形行色要相區(qū)顏色同應(yīng)有少不的色法【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】對(duì)這紙的操作一共進(jìn)了，每次操作都增加了一個(gè)區(qū)塊，所以8操作后一共有9個(gè)塊，我們對(duì)這張紙，進(jìn)行染色就需要9個(gè)驟，從最大的區(qū)塊從大到小開(kāi)始染色，每個(gè)步驟地染色方法有：、3、22、2…，所以一共有：種【答案】1536【固用種色涂圖示三區(qū)要相的域不的色，么有種同涂？3【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】涂三毫無(wú)疑問(wèn)是分成步．第一步，涂A部，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂B部，由于要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色A和相，當(dāng)A確定了一種顏色后B只有兩種顏色可選擇了；第三步，涂部，和A、B都鄰A和B確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了．然后再根據(jù)乘法原理．3【答案】6【】如，一地上五國(guó)，在用種色這幅圖進(jìn)染，相的家染的色同不鄰國(guó)的色以同那一可有少種色法【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】這一題實(shí)際上就是例，因?yàn)閮煞鶊D各個(gè)字母所代表的國(guó)家的相鄰國(guó)家是相同的，如果將本題中的地圖邊界進(jìn)行直角化就會(huì)轉(zhuǎn)化為原題這幅地圖染色同樣一共有96方法．【論如染色步驟為-D-,么應(yīng)該該如何解答？答案：也是496種法如果染色步驟為D-E那么應(yīng)該如何解答？答案色的前步一共有4×3種方法染第三步時(shí)需要分類(lèi)討論，如果與顏相同，那么B有2種法，也有種方法，如果D與A染不同的顏色，那么D染法那么只一種染法，有染法，所以一共應(yīng)該有4種法(師應(yīng)該向?qū)W生說(shuō)明第三個(gè)步驟用到了分討論和加法原理，加法原理在下一講中將會(huì)講授，染色步驟選擇的經(jīng)驗(yàn)方法：每一步驟所染的區(qū)塊應(yīng)該盡量和之前所染的區(qū)塊相鄰．【答案】96【固某海市轄7個(gè)，7個(gè)縣位如圖現(xiàn)紅黑綠、、五顏給圖色要任相的個(gè)染同色共多種同染方法【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】為了于分析，把地圖的7個(gè)分別編為A、、C、D、E、FG如左下圖．B

ADF為了便于觀察，在保持相鄰關(guān)系不變的情況下可以把左圖改畫(huà)成右圖．那么，為了完成地圖染這件工作需要多少步?4由于有7個(gè)域，我們不妨按A、B、、D、、F、的順序，用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五顏色依次分步來(lái)完成染色任務(wù)．第：先染區(qū)域，有種顏色可供選擇；第：再染區(qū)域由于B不與同色所以區(qū)域B的色方式有；第：染區(qū)域，由于不與B、同色，所以區(qū)域C的染色方式有3種；第：染區(qū)域D，由于D不與、A色，所以區(qū)域D的染色方式有；第：染區(qū)域，于E不與D、同色，所以區(qū)域E的色方式有；第：染區(qū)域F，于F不與EA同色，所以區(qū)域F的染色方式有；第：染區(qū)域G，于不能與C同，所以區(qū)域的色方式有3種．根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，共有4860種不同的染色方法．【答案】4860【】用種顏把個(gè)3的格染，要相行相列3個(gè)所的色不同一有種同染法【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】根據(jù)意可知，染完后個(gè)的方格表每一行和每列都恰有3個(gè)色．用3種顏色染第一行，有種法；染完第一行后再染第一列剩下的個(gè)方格，有種染法；當(dāng)?shù)谝恍泻偷谝涣卸既竞煤?，再根?jù)每一行和每一列都恰有個(gè)顏色對(duì)剩下的方格進(jìn)行染色，可知其余的方格都只有唯一一種染法．所以，根據(jù)乘法原理，共有3種同的染法．【答案】6【】如圖有、、E五區(qū)，用種色區(qū)染，染要：相兩區(qū)不同，個(gè)域一．多種同染方？B

EAD【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】先采分步：第一步給染色，有種方法；第二步給染色，有種式；第三步給染，方式；第四步給D染，有3種式；第五步，給E染，由于E不與ABD色，但可以和同．此時(shí)就出現(xiàn)了問(wèn)題：當(dāng)D與同時(shí)有3種色可染；而當(dāng)D與異色時(shí)E有顏色可染．所以必須從第四步就開(kāi)始類(lèi)：第一類(lèi)D與同色．有3種色可染，共有5（）染色方式；第二類(lèi)DB異D2種色可染E有種顏色可染，共有240（種）染色方式．根據(jù)加法原理，共有180240（種）染色方式．【注意】給圖形染色問(wèn)題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往要分類(lèi)解決．【答案】【固如圖有，，D四個(gè)域現(xiàn)四顏給域色要相區(qū)的色不，個(gè)域一．多種色法

DC【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】有4種色可選，然后分：第一類(lèi)：，D取同的顏色．有3種色可染，此時(shí)也種顏色可選．根據(jù)乘法原理，不同的染法有436（第二類(lèi)：當(dāng)，D取不同的顏色時(shí)，B有3種色染，C有2種顏色可染，此時(shí)也2種顏色可染．根據(jù)乘法原理，不同的染法有448種根據(jù)加法原理，共有48(種)色方法．5【答案】【固用種色右的個(gè)染，求鄰區(qū)域字不的色但是種色必要用問(wèn)共多種同染方?學(xué)而奧

數(shù)思【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】第一給而上色，4種擇；然后對(duì)學(xué)染，學(xué)有種顏色可選；當(dāng)奧，數(shù)取同的顏色時(shí)，有種色可選，此時(shí)思也種顏色可選不同的涂法有種；當(dāng)奧，數(shù)取不同的顏色時(shí)“有2種色可選數(shù)”僅種顏色可選，此思也有1種顏色可選與學(xué)相)，不同的涂法有3種所以，根據(jù)加法原理，共有472種同的涂法．【答案】【】分用種色的一對(duì)圖ABD，，F(xiàn)個(gè)域色要相鄰區(qū)染不的色但是種色必要．：多種同染法

D【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】先按，BD，，E的次序染色，可供選擇的顏色次有5，，32，種，注意E與D的顏色搭配有3(種，其中有3和D同，6E和色．最后染F，與D同時(shí)有3種顏色可選，當(dāng)E與異時(shí)有種顏色可選，所以共有5840種法．【答案】840【】將中eq\o\ac(○,)別成色、色綠，求線相的個(gè)鄰eq\o\ac(○,)不同的色共多種不涂？

C【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】如右圖ABC，D的色確定后正方形四個(gè)角上顏色就確定了以需求A，，CD有少種不同涂法．按先，再，D，C的順序涂色．按A-B-D-C的順序涂顏色：有3種色可選；當(dāng)，D相同的顏色時(shí)，種顏色可選，此也2種色可選，不同的涂法；當(dāng)D取同的顏色時(shí)，B有2種色可選，僅種色可選，此時(shí)C也只有1種色可選(與相)，不同的涂法有(種)．所以，根據(jù)加法原理，共有2種不同的涂法．【答案】18【】用種同顏色涂四體如，個(gè)都完相的三形的4個(gè)，不的面有同顏，有________不的法（正面任意轉(zhuǎn)仍不的色，6被為不的【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度4星【型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)賽，第題【解析不轉(zhuǎn)時(shí)共有4×3×2×1=24種色方式，而一個(gè)正四面體4×3=12種置方法（個(gè)面中選1個(gè)作底面，再?gòu)氖Ｓ?個(gè)面中選個(gè)正面以每種染色方式被重復(fù)計(jì)算了12次則不同的染色方法有24÷12=2種【答案】2種【】用紅、、黃綠、5種顏中種或2種，種或種分涂正四體個(gè)上一面能兩，無(wú)個(gè)不色，共幾不涂方式【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】我們看正四面體四個(gè)的相關(guān)位置，當(dāng)?shù)酌娲_定后面俯視）三個(gè)側(cè)面的順序有時(shí)針和逆時(shí)針兩種（當(dāng)三個(gè)側(cè)面的顏色只有一種或兩種時(shí)，順時(shí)針和逆時(shí)針的顏色分布是相同的按使用了的顏色種數(shù)分類(lèi)：第一類(lèi)：用了種顏色．第一步，選種色，相當(dāng)于選不用，有5種法．第二步，如果取定顏色涂于面上，有2種法．這一類(lèi)有5（）涂法；第二類(lèi)：用了種顏色．第一步，選種色，相當(dāng)于選不用，有（）選法；第二步，取定種色如紅、橙、黃色涂于4個(gè)上，有方法，如下①（中用數(shù)字1，，3分表示紅、橙、黃3色．這一類(lèi)有1060（種）涂法；第三類(lèi)：用了顏色．第一步，選種顏色，有（）選法；第二步，取2種顏色如紅、橙2色涂于面上，有3種方法，如下④⑤⑥這一類(lèi)有（種）涂法；第四類(lèi)：用了一種顏色．第一步選種色有5種法；第二步，取定顏色涂于個(gè)面上，只有方法．這一類(lèi)5（）涂法．根據(jù)加法原理，共10（種）不同的涂色方式．【答案】【】用紅黃藍(lán)種顏對(duì)個(gè)方進(jìn)染使鄰顏不一有少方法如有、黃藍(lán)綠種色正體行色相面色同共多少方？果五顏去染有少？(注正體能轉(zhuǎn)旋)【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題【度【題型】解答【解析】如果共只有三種顏色染色，那么正方體的相對(duì)表面只能涂上一種顏色，一共有上下、左右、前后一共三組對(duì)立面，所以染色的方法有種法．如果有四種顏色，那么染色方法可分為兩類(lèi)，一類(lèi)是從四種顏色中選取三種對(duì)正方體進(jìn)行染色一共有424種．另一種是四種顏色都染上，用這種染色方法，就允許有一組相對(duì)表面可以染上7不同的顏色，選取這組相對(duì)表面并染上不同顏色一共有3方法，用其余兩種顏色去染其他四個(gè)面只有2種法，共3672種所以一共有72種方法．