機(jī)械振動(dòng)演示

[1-1]機(jī)械(jīxiè)動(dòng)力學(xué)第二章振動(dòng)(zhèndòng)分析基礎(chǔ)精品資料第二章振動(dòng)分析(fēnxī)基礎(chǔ)§2－1概述

振動(dòng)(zhèndòng)分析的研究思路：一·動(dòng)力學(xué)模型

●任何實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)是無(wú)限復(fù)雜的,為了便于分析,要作簡(jiǎn)化,在簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上建立動(dòng)力學(xué)模型

●模型由三種理想化元件組成：質(zhì)量m阻尼c彈性k

●系統(tǒng)簡(jiǎn)化的程度取決于考慮問(wèn)題的復(fù)雜程度、計(jì)算精度、計(jì)算條件

●實(shí)際結(jié)構(gòu)兩種簡(jiǎn)化處理方式：對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、阻尼線性化處理

對(duì)其分布規(guī)律作離散化處理

●動(dòng)力學(xué)模型采用的正確與否要由實(shí)踐檢驗(yàn)

●動(dòng)力學(xué)模型分三類：a集中參數(shù)模型(常微分方程)b有限元模型(常微分方程)c連續(xù)彈性體模型(偏微分方程)[1-18]精品資料1·彈性元件：只有彈性,無(wú)慣性、阻尼(理想化元件)●彈簧所受外力Fx是位移x的函數(shù)：Fx=f(x)●在線性范圍內(nèi)Fx=kx(對(duì)彈簧的線性化處理)●通常假定彈簧沒(méi)有(méiyǒu)質(zhì)量若：彈簧質(zhì)量相對(duì)小,可忽略彈簧質(zhì)量相對(duì)較大,一定要處理●實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中許多構(gòu)件在一定(yīdìng)范圍內(nèi)所受作用力與變形是線性關(guān)系,可作線性彈性元件處理.例圖示懸臂梁根據(jù)材力P與變形δ的關(guān)系桿長(zhǎng)E材料彈性模量I抗彎截面慣性矩

設(shè)則P=kδ

因此懸臂梁相當(dāng)一個(gè)剛度為的線性彈簧[1-19]精品資料●角振動(dòng)系統(tǒng)：彈簧為扭轉(zhuǎn)彈簧M=kθM外力矩θ轉(zhuǎn)角k剛度扭振系統(tǒng)G軸材料剪切模量J軸截面極慣性矩M扭矩因此扭轉(zhuǎn)剛度：●從能量角度(jiǎodù)：不消耗能量,以勢(shì)能方式貯存能量.

●等效剛度：復(fù)雜彈性元件組合形式,可用等效彈簧取代等效彈簧的剛度用等效剛度表示(等于組合彈簧的剛度)并聯(lián)彈簧：比各組成彈簧”硬”共位移

串聯(lián)彈簧：比各組成彈簧”軟”共力

確定(quèdìng)彈性元件組合方式是”并聯(lián)”還是”串聯(lián)”關(guān)鍵看是”共位移”還是”共力”[1-20]精品資料見(jiàn)下例：例1a.兩彈簧共位移(wèiyí)(x)并聯(lián)

b.兩彈簧共力(Fs)串聯(lián)

例2

確定階梯軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度

解共力矩M，為串聯(lián)

由扭振2．阻尼元件(yuánjiàn):只有阻尼無(wú)慣性,彈性(理想元件(yuánjiàn))●振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼特性及模型是振動(dòng)分析最困難問(wèn)題之一,也是最活躍的研究方向之一●阻尼力是振動(dòng)速度的函數(shù)對(duì)線性阻尼器C:阻尼系數(shù)●阻尼元件(yuánjiàn)消耗能量以熱能聲能等方式耗散系統(tǒng)的機(jī)械能●角振動(dòng)系統(tǒng):有以上類似關(guān)系為阻尼力矩[1-21]例1

(a)(b)例2精品資料●非粘性阻尼:與速度成正比的阻尼為粘性(Viscous)阻尼,又稱線性阻尼

其它性質(zhì)的阻尼統(tǒng)稱非粘性阻尼工程中將非粘性阻尼折算成等效粘性阻尼系數(shù)Ceq

○折算原則:一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周期所消耗的能量

○非粘性阻尼種類：

a.

庫(kù)侖(Coulemb)阻尼即干磨擦阻尼

b.

流體阻尼:物體(wùtǐ)以較大速度在粘性很小的流體(空氣液體)中運(yùn)動(dòng).阻尼力與速度平方成正比:

c.

結(jié)構(gòu)阻尼：材料內(nèi)磨擦產(chǎn)生的阻尼(又稱材料阻尼)

由結(jié)構(gòu)各部件連接面之間相對(duì)滑移而產(chǎn)生的阻尼:滑移阻尼結(jié)構(gòu)阻尼=材料阻尼+滑移阻尼(兩項(xiàng)統(tǒng)稱)

3.質(zhì)量元件只有慣性無(wú)彈性和阻尼的理想元件.(略)

[1-22]精品資料.

二.動(dòng)力學(xué)模型的建立舉例說(shuō)明:南京工學(xué)院(東南大學(xué))為無(wú)錫機(jī)床廠外園磨床作振動(dòng)(zhèndòng)分析:[1-23]精品資料§2—2單自由度系統(tǒng)(xìtǒng)一.自由振動(dòng)

自由振動(dòng)的基本振動(dòng)特性只決定系統(tǒng)本身的參數(shù),因此是在理論上十分(shífēn)重要的一

種振動(dòng)形式.系統(tǒng)自由振動(dòng)所表現(xiàn)出的一些規(guī)律能反映出系統(tǒng)本身的一些”固有特

性”或”固有參數(shù)”.反映了系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的所有信息,是研究強(qiáng)迫振動(dòng)的基礎(chǔ).單自由度自由振動(dòng)概述

當(dāng)外界對(duì)系統(tǒng)沒(méi)有持續(xù)的激勵(lì)即F(t)=0但系統(tǒng)仍可以在初速度或初位移的作用下發(fā)生振動(dòng),稱為自由振動(dòng)

其運(yùn)動(dòng)微分方程為:二階常系數(shù)齊次微分方程,方程還可

其中（衰減系數(shù)）

（固有頻率）

方程特征方程

通解其中:

為特征方程的二個(gè)特征根為積分常數(shù),由初始條件定[1-24]精品資料系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況(qíngkuàng)隨α(衰減系數(shù))不同值,分五種情況(qíngkuàng)：

(1)α=0(無(wú)阻尼情況(qíngkuàng))α＞0(正阻尼(zǔní)情況)(2)α＜(弱阻尼(zǔní)情況)

(3)α＞(強(qiáng)阻尼(zǔní)情況)

(4)α=(臨界阻尼(zǔní)情況)(5)α＜0(負(fù)阻尼情況)

首先從無(wú)阻尼情況(最簡(jiǎn)單)介紹2.無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方程為（C=0,F(t)=0）

或式中

其通解:x(t)=Asin(t+φ)是系統(tǒng)自由振動(dòng)的角頻率,也稱為系統(tǒng)無(wú)阻尼固有頻率單位:Hz或1/sA振動(dòng)幅值φ初相角(由初始條件確定)[1-25]精品資料若記初始位移初始速度

則因

當(dāng)t=0時(shí)

得

分析(fēnxī)：●單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是正弦或余弦函數(shù),可用諧波函數(shù)表示,故稱簡(jiǎn)諧振動(dòng)●自由振動(dòng)的角頻率即為僅由系統(tǒng)本身參數(shù)確定,與外界激勵(lì),初始條件均無(wú)關(guān).反映(fǎnyìng)了系統(tǒng)內(nèi)在的特征.●自由振動(dòng)的振幅A和初相角由初始條件確定●無(wú)阻尼自由振動(dòng)是等幅振動(dòng)研究無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí),常用到“能量法”[1-26]精品資料3.能量(néngliàng)法：(1)

用能量的觀點(diǎn)研究振動(dòng)有時(shí)很方便.例只需計(jì)算系統(tǒng)固有頻率時(shí),可避免寫微分方程,直接得結(jié)果.(也可用能量法寫系統(tǒng)微分方程)

在無(wú)阻尼又無(wú)外作用力時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)量T和勢(shì)能U是守恒的.即

T+U=恒量(2--1)

對(duì)上式時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)：

（2--2）

式中:T為系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量所具有的動(dòng)能

U為系統(tǒng)的彈性勢(shì)能或重力勢(shì)能

由(2--1)式,有：任意選兩個(gè)瞬時(shí)(shùnshí)位置1和2機(jī)械能總和應(yīng)相等

對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)：通常選質(zhì)量塊經(jīng)過(guò)平衡位置為第一瞬時(shí)(shùnshí)位置,此時(shí)速度最大,動(dòng)能此時(shí)

再選質(zhì)量塊達(dá)最大位移時(shí)為第二瞬時(shí)(shùnshí)位置,此時(shí)速度為0,

而勢(shì)能（2--3）

利用(2--3)式可直接得系統(tǒng)固有頻率[1-27]精品資料例如圖測(cè)量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)(yīɡè)元件—無(wú)定向擺的示意圖,擺輪2上鉸接一搖桿1,搖桿另一端有敏感質(zhì)量M，在搖桿離轉(zhuǎn)軸0距離為a處左右各聯(lián)一剛度為k的平衡(pínghéng)彈簧,以保持?jǐn)[的垂直方向的穩(wěn)定位置.已知系統(tǒng)對(duì)0的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為解：以搖桿偏離平衡(pínghéng)位置的角位移θ為參數(shù)并設(shè):則搖桿通過(guò)靜平衡(pínghéng)位置時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能最大在搖桿擺到最大角位移處時(shí)系統(tǒng)最大勢(shì)能包括兩部分:彈性變形后儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能:質(zhì)量塊m的重心下降后重力勢(shì)能:由于

得:[1-28]精品資料（2）能量法求系統(tǒng)振動(dòng)微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)

例圖示一半徑為r,重量為w的園柱體在一個(gè)半徑為R的園柱面內(nèi)作無(wú)滑動(dòng)

的滾動(dòng),在園柱面最低位置0點(diǎn)左右微擺動(dòng).推導(dǎo)園柱體擺動(dòng)的微分方程(wēifēnfānɡchénɡ).解:園柱體有兩種運(yùn)動(dòng):

·園柱體質(zhì)心的線位移(R－r)θ,線速度為

·園柱體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng),因無(wú)滑動(dòng)(huádòng),角速度為(以A點(diǎn)為瞬心)

在任一瞬時(shí)位置,園柱體的動(dòng)能為:

為園柱體的質(zhì)量，為園柱體繞質(zhì)點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

園柱體的勢(shì)能為相對(duì)最低點(diǎn)O的重力勢(shì)能，在同一瞬時(shí)園柱體質(zhì)心升高了故按（2--2）式對(duì)于微幅擺動(dòng):上式可簡(jiǎn)化為:[1-29]精品資料（3）用能量(néngliàng)法計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量用能量法原理，可把彈簧的分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響加以估計(jì).得頻率準(zhǔn)確值。下面介紹用等效質(zhì)量進(jìn)行折算的一種近似方法。

先假定彈簧各截面的位移與其距固定端處的原始(yuánshǐ)距離成正比。設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為X，彈簧軸向長(zhǎng)為L(zhǎng),則距固定端ξ處，位移為，因此，當(dāng)質(zhì)量塊m在某一瞬時(shí)的速度為時(shí),彈簧在ξ處的微段dξ,相對(duì)速度為。設(shè)為彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，則彈簧dξ段的動(dòng)能為

整個(gè)彈簧的動(dòng)能為:

（整個(gè)彈簧質(zhì)量）

系統(tǒng)總動(dòng)能為質(zhì)量塊m的動(dòng)能和彈簧質(zhì)量的動(dòng)能之和，在質(zhì)量塊經(jīng)過(guò)靜平衡位置時(shí),系統(tǒng)最大動(dòng)能為:

系統(tǒng)的勢(shì)能仍與忽略彈簧質(zhì)量時(shí)一樣:由對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng):得:=代入:稱為系統(tǒng)等效質(zhì)量.[1-30]精品資料4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程(fāngchéng):

前面已述:

特征方程(fāngchéng):

通解:其中:（1）弱阻尼(zǔní)狀態(tài)為虛數(shù),令方程通解:若為方程的復(fù)解,數(shù)學(xué)上可證明,它的實(shí)部和虛部也是方程的解,由歐拉公式；=實(shí)部:虛部:均為方程解,且是線性無(wú)關(guān)解.由此,方程的通解為:[1-31]精品資料同時(shí)(tóngshí):當(dāng)初始條件t=0時(shí),代入得:

解得:分析:●由于有阻尼,振幅(zhènfú)隨時(shí)間衰減●有阻尼,系統(tǒng)振動(dòng)周期略有增大●可通過(guò)振幅(zhènfú)衰減曲線求阻尼大小值(對(duì)數(shù)減縮)[1-32]精品資料（2）強(qiáng)阻尼(zǔní)狀態(tài)，是非周期性蠕動(dòng)(3)臨界阻尼(zǔní)狀態(tài)