第一章考研咨詢

一、基本概念第一章多項式1.整除:在g(x)|f(x)中，沒有限制g(x)≠0，因而整除概念比除的概念要廣一些；當g(x)|f(x)且g(x)≠

0時,有時用表示g(x)除f(x)所得的商式.2.最大公因式；3.互素；4.數(shù)域P上的不可約多項式；5.k重因式；6.本原多項式.二、基本結(jié)論1.帶余除法定理；如：設f(x)=x6-10x5+6x4-310x3-580x2+20x-1115,則f(12)=

.2.整除的若干性質(zhì)；一些簡單性質(zhì)：(1)任一多項式一定能整除它自身；(2)任一多項式一定能整除零多項式；(3)零次多項式能整除任一多項式；(4)零次多項式只能被零次多項式整除；(5)零多項式只能整除零多項式.注：整除與數(shù)域的關(guān)系：多項式的整除關(guān)系不會因為系數(shù)域的擴大而改變.3.最大公因式的表示定理；4.兩個多項式互素的充分必要條件；5.互素的若干性質(zhì)；6.不可約多項式的性質(zhì)；注：多項式的可約性與它所屬的數(shù)域有關(guān);并且可約與不可約都是對次數(shù)大于0的多項式而言的，因此對零次多項式和零多項式而言，既不是可約的，也不是不可約的.7.因式分解定理；8.多項式f(x)的重因式與f/(x)的重因式之間的關(guān)系;9.多項式f(x)沒有重因式的充要條件；10.多項式的有理根的相關(guān)定理；11.多項式可約與數(shù)域的關(guān)系；13.Eisenstein判別定理.12.多項式的根的相關(guān)結(jié)論；注：多項式的根與數(shù)域的關(guān)系.三、基本方法

1.關(guān)于最大公因式的證明，一般有以下幾種方法：

(1)利用定義；

(2)證明等式兩邊能互相整除；

(3)如果f(x)=q(x)g(x)+r(x)，且g(x)≠0，那么(f(x),g(x))=(g(x),r(x))；

(4)如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且有u(x)，v(x)∈P[x]使d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，則d(x)是f(x)，g(x)的一個最大公因式.

2.常常利用一些特殊多項式來求一個滿足要求的多項式.例如：求出所有的多項式f(x)，使得(x-1)f(x+1)-(x+2)f(x)≡0.于是g(x)為一個以1為周期的多項式，那么g(x)只能是任意常數(shù)，那么滿足題目條件的所有多項式f(x)即為：f(x)=C0(x+1)x(x-1)

（其中，C0為任意常數(shù)）□解：由題知令：那么有：g(x)=g(x+1)

3.常常利用多項式的根來討論多項式的可約性.例如：設a1,a2,…,an為互不相同的整數(shù)，g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1，證明：g(x)在有理數(shù)域Q上不可約。證明:假設g(x)在有理數(shù)域上可約，由g(x)的首項系數(shù)是1，可知它必然是一個本原多項式。對于本原多項式，在有理數(shù)域上可約等價于在整數(shù)集合上可約，于是存在兩個首項系數(shù)為1的整系數(shù)多項式f(x)，k(x)，使得:g(x)=f(x)k(x)，注意到g(ai)=-1(i=1,2,…,n)。于是f(ai)k(ai)=-1(i=1,2,…,n)，注意到f(ai)，k(ai)是整數(shù)，顯然有f(ai)+k(ai)=0(i=1,2,…,n).由f(x)，k(x)的次數(shù)均小于g(x)的次數(shù)可知l(x)=f(x)+k(x)的次數(shù)小于n,又由l(x)有n個不同的根ai

(i=1,2,…,n)，知l(x)=0，于是f(x)=-k(x)，可得g(x)=-(k(x))2≤0，而由g(x)的首項是xn，知當n足夠大時，總可以使得g(x)>0，這將導致矛盾。于是g(x)在有理數(shù)域上不可約?！跛?、本章選修內(nèi)容1.多元多項式；2.對稱多項式.1.基本習題：8;10;14;18;20;21;24;25.五、本章重點掌握的習題2.補充習題：1；2；3；6；12.一、基本概念第二章行列式1.逆序、逆序數(shù)；2.n級行列式；二、基本結(jié)論行列式的若干性質(zhì).三、基本方法掌握行列式的基本計算方法四、行列式的應用：1.解線性方程組；2.求矩陣的秩；3.判斷向量的相關(guān)性；4.求矩陣的特征值.五、本章選修內(nèi)容Laplace定理與行列式的乘法規(guī)則.1.基本習題：4；6；14；17；18.六、本章重點掌握的習題2.補充習題：3；4.一、基本概念第三章線性方程組1.線性組合，線性表出；2.向量組等價；3.線性相關(guān)；4.線性無關(guān)；5.極大線性無關(guān)組；6.向量組的秩；7.矩陣的行秩與列秩；8.矩陣的秩；9.基礎解系；二、基本結(jié)論1.向量組部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)2.向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)與齊次線性方程組的解的關(guān)，以及與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系；3.向量組的線性無關(guān)和相關(guān)與延長向量組和縮短向量組的關(guān)系；4.向量組的向量個數(shù)與向量組的線性相關(guān)（或無關(guān)）的關(guān)系；5.向量組的極大無關(guān)組的性質(zhì)；6.矩陣的秩的相關(guān)結(jié)論；7.系數(shù)矩陣的秩與方程組的解的關(guān)系；例如：設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為m×n矩陣,則：若Ax=0的解均是Bx=0的解,則秩r(A)≥r(B).于是若Ax=0與Bx=0同解,則秩r(A)=r(B).證明：設是Ax=0的基礎解系,是Bx=0的基礎解系.因為Ax=0的解均是Bx=0的解,所以必可由線性表出,又因線性無關(guān),故必有t≤s,即t=n-r(A)≤n-r(B)=s從而有r(A)≥r(B),即結(jié)論正確.8.線性方程組的通解形式及其求法.例如：設A是n階矩陣,秩r(A)=n-1.若矩陣A各行元素之和均為0,求方程組Ax=0的通解；若行列式|A|的代數(shù)余子式,求方程組Ax=0的通解.又如：已知4階方陣均為4維列向量,其中線性無關(guān),,如果,求線性方程組的通解.3.我們稱階梯形矩陣中每行第一個不為零的元素為主元，我們稱滿足以下兩個條件的階梯形矩陣為行最簡形：(1)主元都等于1.1.，i=1,2,…,s,令,如果只有零解，則線性無關(guān)。如果有非零解，則線性相關(guān)，這是證明線性無關(guān)（或線性相關(guān)）的一種基本方法.2.將線性方程組用矩陣表成AX=b，或用向量表成，將線性方程組有解與向量的線性表示互相轉(zhuǎn)化，會給解題帶來一些方便.

三、基本方法(2)主元所在的列除主元以外全為零.4.矩陣的行初等變換不改變列向量之間的線性關(guān)系.

將齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣A用行初等變換化成行最簡形，將主元所在的未知量保留在左邊，其它未知量移到右邊，容易求出基礎解系.

將非齊次線性方程組AX=b的增廣矩陣用行初等變換化成行最簡形，也容易求它的通解.

令A=(aij)∈Pn×s,如果

,

,j=1,2,…,s.設Q是n階可逆矩陣，用Q左乘上式兩邊,有:

如果,求向量組的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組表示，可將作列構(gòu)成矩陣A，然后用行初等變換將A化成行最簡形，則主元所在的列為的一個極大無關(guān)組，其余的列也容易用主元所在的列線性表示.四、本章選修內(nèi)容二元高次方程；1.基本習題：3；6；7；14；16；19；22；24；25；26.五、本章重點掌握的習題2.補充習題：2；4；8；9；10.一、基本概念第四、八章矩陣、λ-矩陣1.逆矩陣；2.轉(zhuǎn)置矩陣；3.伴隨矩陣；4.初等矩陣；5.矩陣等價；6.矩陣乘積.7.對稱矩陣、反對稱矩陣；8.上（下）三角矩陣、對角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣；9.λ-矩陣的秩；10.λ-矩陣可逆；11.λ-矩陣的初等變換;12.λ-矩陣的等價；13.λ-矩陣的標準形；14.λ-矩陣的k階行列式因子、不變因子、初等因子.二、基本結(jié)論1.矩陣乘法的運算律；2.可逆矩陣的性質(zhì)及運算律；3.矩陣秩的性質(zhì)；4.矩陣可逆的充要條件；8.λ-矩陣的性質(zhì)；9.λ-矩陣等價的充要條件；10.矩陣相似的充要條件；11.復數(shù)域上的矩陣與Jordan標準形的關(guān)系的相關(guān)結(jié)論；5.初等矩陣的性質(zhì)作用；6.λ-矩陣的可逆的充要條件；7.λ-矩陣的秩的標準形的性質(zhì)；

1.若A可逆,求A-1一般有兩種方法(當A具體給出時)(1)定義法；(2)伴隨矩陣的方法，A-1=A*/|A|；(3)初等變換方法，(A,E)（初等行變換）→(E,A-1).三、基本方法例.(大連理工大學,2005年)設均為n維列向量:,則A=I+可逆,A-1=

.

2.構(gòu)造分塊矩陣是證明有關(guān)矩陣秩的結(jié)論的一種常用的、有效的方法.

3.如果已知條件中出現(xiàn)A*，一般地，都要用到AA*=A*A=|A|E這一結(jié)論.

4.分塊矩陣的相關(guān)運算。例如：設有分塊矩陣,其中A,D都可逆，試證：(1)(2)(A-BD-1C)-1=A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1.

證明:(1)對矩陣作分塊矩陣的初等行變換如下：

兩邊同時取行列式，有：

即有：

(2)(A-BD-1C)(A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1)=(A-BD-1C)A-1-(A-BD-1C)A-1B(CA-1B-D)-1CA-1=I-BD-1CA-1-AA-1B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1CA-1B(CA-1B-D)-1CA-1

=I-BD-1CA-1-B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1((CA-1B-D)+D)(CA-1B-D)-1CA-1=I-BD-1CA-1-B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1CA-1+B(CA-1B-D)-1CA-1

=I即有：(A-BD-1C)-1=A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1□

5.求n階矩陣A的最小多項式的方法：

(1)A的最小多項式是A的特征多項式的因式，且與有相同的一次因式(可能重數(shù)不同),這樣可以確定A的最小多項式的范圍.

(2)將化成標準形,就是A的最小多項式。

(3)如果A是分塊對角矩陣

Ai的最小多項式是gi(x),i=1,…,s，則A的最小多項式是[g1(x),g2(x),…,gs(x)].

6.求方陣A的Jordan標準形：

(1)先求n階矩陣A的全部初等因子：

（其中可能相同，指數(shù)r1,r2,…,rs也可能相同）則A的Jordan標準形由s個Jordan塊構(gòu)成：一個初等因子對應一個Jordan塊Ji

,

(2)利用特征向量的方法求A的Jordan標準形。

A∈Pn×n,如果是A的單特征值，則對應一階Jordan塊Ji=()，如果是A的ri(ri>1)重特征值，屬于有k個線性無關(guān)的特征向量，則有k個以為對角元素的Jordan塊，這些Jordan塊的階數(shù)之和等于ri.

7.求n階矩陣A的初等因子的方法：

(1)將E-A用初等變換化成標準形，求出A的所有不變因子，然后將每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因子方冪的積，所有這些一次因子式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是A的所有初等因子。

(2)先求出A的所有行列式因子.利用求出A的不變因子.然后如(1)求出A的所有初等因子.

(3)用初等變換將化成對角形，用相應結(jié)論求出A的所有初等因子。

8.證明n階復數(shù)矩陣A與對角矩陣相似的方法：

(1)A有n個線性無關(guān)的特征向量；

(2)A的最小多項式?jīng)]有重根；

(3)A的初等因子都是一次的。(1)(2)

(3)利用初等因子求不變因子；

9.n階矩陣A的不變因子，行列式因子，初等因子三者之間的關(guān)系：

在A的全部初等因子中,將同一個一次因子(i=1,2,…,s)的方冪的那些初等因子按降冪排列，當這些初等因子的個數(shù)不足n時，就在后面補上適當個數(shù)的1，湊成n個。

(j=1,2,…,s),(rnj≥rn-1j≥…≥r1j)于是：

(4)A的所有初等因子的乘積等于A的所有不變因子的乘積,等于

.基本習題：P197：5；6；12；17；18；19；21；24；26；27.P357:2；5；6.四、本章重點掌握的習題：2.補充習題：P203：3；5；10；12.一、基本概念第五章二次型1.二次型；2.二次型的矩陣；3.非退化線性替換；4.矩陣合同；5.標準形；6.正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)、符號差；7.正定二次型；8.負定、半正定、半負定、不定.二、基本結(jié)論正定矩陣的若干充要條件；充分條件；必要條件.二、基本結(jié)論1.正定矩陣的若干充要條件；充分條件；必要條件.2.有關(guān)標準形、規(guī)范形的相關(guān)結(jié)論.

2.通常用下面的方法將二次型化為標準形：

(1)用配方法.(2)用初等變換法.(3)先求出二次型矩陣的特征根和特征向量,將其化為平方和的形式,然后再化為標準形.

1.將二次型的問題與對稱矩陣的問題互相轉(zhuǎn)化是經(jīng)常采用的一種方法。三、基本方法

3.將二次型化為規(guī)范形注意數(shù)域的限制條件.

4.A,B是實對稱矩陣,且A正定,則存在可逆矩陣P,使PTAP=E,PTBP為對角矩陣,這一結(jié)論是非常有用的.四、本章重點掌握的習題1.基本習題：4；8；10；11；13；16.2.補充習題：2；3；8.一、基本概念第六、七章線性空間與線性變換1.線性空間；2.維數(shù)、基、坐標；3.過渡矩陣；4.線性子空間；5.子空間的和與直和；6.同構(gòu)；7.線性變換；8.線性變換的矩陣；9.矩陣的相似；10.線性變換的特征值與特征向量；11.特征多項式；12.值域、核；13.不變子空間；14.最小多項式；二、基本結(jié)論1.線性空間的基的相關(guān)結(jié)論；3.兩個子空間相等的充要條件；2.一個集合成為某個空間的子空間的充要條件；4.子空間的基擴充為包含這個子空間的空間的基的相關(guān)結(jié)論；5.維數(shù)公式；6.直和的若干充要條件；7.兩個空間同構(gòu)的充要條件；8.線性變換的存在性與線性變換的性質(zhì);9.線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系；10.復數(shù)域上的矩陣與對角陣相似的充要條件；11.線性變換的值域與核的相關(guān)結(jié)論；解答:答案是“m+1”.例如：

設V1,V2是V的子空間,dimV1=dimV2=m,dim(V1∩V2)=m-1,則dim(V1+V2)=

.例如：設V1,V2是n維線性空間V的兩個不同的子空間,dimV1=dimV2=n-1,則dim(V1∩V2)=

.解答:答案是“n-2”.

1.V1,V2是線性空間V的兩個子空間,證明V=V1△V2只要證明以下兩點:(1)V1∩V2={0};(2)dimV=dimV1+dimV2.

3.證明多個子空間的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.

2.求線性空間V的基與維數(shù),