2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專(zhuān)題：猜想證明綜合壓軸題(含簡(jiǎn)單答案)

試卷第=page1111頁(yè)，共=sectionpages1212頁(yè)試卷第=page1212頁(yè)，共=sectionpages1212頁(yè)2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專(zhuān)題：猜想證明綜合壓軸題1．（1）如圖1，在正方形中，G是上一點(diǎn)（點(diǎn)G與B，C不重合），交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，試猜想線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）在其余條件不變的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，連接，，交于點(diǎn)P，如圖2，求證：；（3）如圖3是一塊長(zhǎng)為1米正方形銅板，由于磨損，該鋼板的頂點(diǎn)B、C、D均不能使用，王師傅計(jì)劃過(guò)點(diǎn)A裁出一個(gè)形如的零件，其中E、F、G分別在AB、CD、BC邊上，且F為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接AE，求王師傅能截出四邊形的最大面積是多少？2．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，下面是同學(xué)們的折紙過(guò)程：動(dòng)手操作：步驟一：將正方形紙片（邊長(zhǎng)為4cm）對(duì)折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為，再將紙片展開(kāi)，得到圖1．步驟二：將圖1中的紙片的右上角沿著折疊，使點(diǎn)D落到點(diǎn)G的位置，連接，，得到圖2．步驟三：在圖2的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)與邊交于點(diǎn)H，得到圖3．問(wèn)題解決：(1)在圖3中，連接，則的度數(shù)為_(kāi)_____，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)與邊交于點(diǎn)M，如圖4，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)將圖4中的正方形紙片過(guò)點(diǎn)折疊，使點(diǎn)落在邊上，然后再將正方形紙片展開(kāi)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出答案）．3．軸對(duì)稱(chēng)變換是幾何證明中重要的圖形變換之一，即尋找對(duì)稱(chēng)軸，將對(duì)稱(chēng)軸的一側(cè)圖形進(jìn)行翻折，來(lái)構(gòu)造滿足條件的幾何輔助線．【例題】如圖，是的平分線，且，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；分析：將沿直線翻折，得到，通過(guò)相關(guān)定理即可得到結(jié)論．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】如圖，為線段同側(cè)兩點(diǎn)，，，若，求的長(zhǎng)．4．已知：正方形中，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．(1)當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．(2)當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想并加以證明．(3)圖3中，若，求的面積為．5．（1）如圖1，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，且在對(duì)角線右側(cè)，連接，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，，．①試猜想與之間的位置關(guān)系為_(kāi)_____；②當(dāng)時(shí)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)E在矩形內(nèi)，且在對(duì)角線右側(cè)，連接，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，，，當(dāng)，且，求的值．6．如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)猜想：如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，位置關(guān)系是______________；(2)探究：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎?說(shuō)明理由；(3)拓展：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，則的長(zhǎng)是_______________．7．如圖，和分別位于兩側(cè)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，若，，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)使得，若，，，猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，是以為斜邊的等腰直角三角形，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)取最大值時(shí)的面積．8．如圖，和分別位于兩側(cè)，為中點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)F，在上取一點(diǎn)G使得．若，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，是以為斜邊的等腰直角三角形，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)取最大值時(shí)的面積．9．已知：中，，直線上取一點(diǎn)D，連接，線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接交直線于G．(1)喜歡思考問(wèn)題的小捷同學(xué)，想探索圖中線段和線段的數(shù)量關(guān)系．于是他畫(huà)了圖1所示當(dāng)D在邊上的時(shí)候的圖形，并通過(guò)測(cè)量得到了線段與的數(shù)量關(guān)系．你認(rèn)為小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中選一個(gè))．(2)當(dāng)D在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)請(qǐng)你根據(jù)題目要求補(bǔ)全圖2，①并在你補(bǔ)全的圖2中找出與相等的角___________________________②在圖2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立證明你的結(jié)論，若不成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)D在邊的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫(xiě)出的數(shù)量關(guān)系(用等式表示)．10．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，在正方形中，是上一點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．試猜想線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【延伸探究】（2）在其余條件不變的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，如圖②．求證：；【問(wèn)題解決】（3）如圖③，是一塊邊長(zhǎng)為米的正方形鋼板由于磨損，該鋼板的頂點(diǎn)，，均不能使用，王師傅計(jì)劃過(guò)點(diǎn)裁出一個(gè)形如四邊形的零件，其中點(diǎn)，，分別在，，邊上，且為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求王師傅能裁出四邊形的最大面積是多少？11．已知，和都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點(diǎn)，如圖1，D，E分別在，邊上，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖2，將固定不動(dòng)，由圖1位置繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，其他條件不變．試判斷，與的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若改變，請(qǐng)求出相關(guān)正確結(jié)論．12．如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．(1)______（填“”“”或“”）；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(4)將三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)為多少度時(shí)，與的大小是二倍關(guān)系．13．已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，求證：；(3)如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．14．綜合與實(shí)踐．項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組研究了一個(gè)問(wèn)題，如圖1，在矩形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，四邊形是矩形，連接．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出與的長(zhǎng)度比為；(2)如圖2，將矩形繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至點(diǎn)G落在邊上，求點(diǎn)到的距離；(3)將矩形繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至如圖3所示的位置時(shí)，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，等腰的底邊在x軸上，，，點(diǎn)在第一象限．(1)如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（用含t的代數(shù)式表示）(2)如圖2，在y軸負(fù)半軸上分別取點(diǎn)D和點(diǎn)E，連接，，，與交于點(diǎn)F，若，請(qǐng)猜想的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作交x軸于點(diǎn)G，連接，若，，請(qǐng)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．16．如圖，在中，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，可以猜想：且．請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖，寫(xiě)出證明過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖，在中垂直于的平分線于點(diǎn)，且交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】如圖，在中，，，，為中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到線段，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)．則面積的最大值為_(kāi)_____．17．在四邊形中，，點(diǎn)E在上，連接，與交于點(diǎn)F，，；(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，若，猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，W為中點(diǎn)，K為中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，連接，，若，求的長(zhǎng)．18．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一．小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)D，E分別在線段上，且．(1)的值_______；(2)觀察猜想：小華將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，①的值為_(kāi)______；②的度數(shù)為_(kāi)______度；(3)類(lèi)比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，請(qǐng)求出的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由．答案第=page33頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)答案第=page22頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)參考答案：1．（1），（3）王師傅能裁出四邊形的最大面積是平方米2．(1)，(2)，(3)3．例題：；拓展應(yīng)用：44．(1)，(2)，(3)7.55．（1）①②