2023屆河北省灤南縣高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的焦距為，過左焦點作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點，若線段的中點在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．4．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．5．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A． B． C．- D．-9．若，則下列關系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．410．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．11．若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A．的值域為 B．為周期函數(shù)，且6為其一個周期C．的圖像關于對稱 D．函數(shù)的零點有無窮多個12．為得到y(tǒng)=sin(2x-πA．向左平移π3個單位B．向左平移πC．向右平移π3個單位D．向右平移π二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學用語可見，譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為__________．14．已知是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為______.15．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．16．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某健身館為響應十九屆四中全會提出的“聚焦增強人民體質(zhì)，健全促進全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對全民健身運動的參與程度，推出了健身促銷活動，收費標準如下：健身時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為20元（不足l小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨立地來該健身館健身，設甲、乙健身時間不超過1小時的概率分別為，，健身時間1小時以上且不超過2小時的概率分別為，，且兩人健身時間都不會超過3小時.（1）設甲、乙兩人所付的健身費用之和為隨機變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學期望；（2）此促銷活動推出后，健身館預計每天約有300人來參與健身活動，以這兩人健身費用之和的數(shù)學期望為依據(jù)，預測此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額.18．（12分）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為、，與直線的交點為，求線段的長.19．（12分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點，平面，，為線段上一點（不與端點重合）．（1）若，（?。┣笞C：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實數(shù)滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由．20．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當點G的橫坐標為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.21．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設與橢圓的另一個交點為，當?shù)拿娣e最小時，求的長．22．（10分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。?，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先判斷命題的真假,進而根據(jù)復合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因為，，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應用,解題的關鍵是判斷出命題的真假,難度較易.2、C【解析】

設線段的中點為，判斷出點的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設線段的中點為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.3、D【解析】

先計算，然后將進行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎題。4、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當直線經(jīng)過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于基礎題.5、A【解析】

將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.6、B【解析】

由數(shù)量積的定義可得,為實數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷；再根據(jù)判斷,由等價法即可判斷兩命題的關系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應用.7、B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點睛】本題考查了導數(shù)在恒成立問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.8、A【解析】分析：計算，由z1，是實數(shù)得，從而得解.詳解：復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實數(shù)，所以，即.故選A.點睛：本題主要考查了復數(shù)共軛的概念，屬于基礎題.9、D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.10、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項和公式得【詳解】解：因為，由等差數(shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項和，則．故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應用，如.11、D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學式子判斷得出結(jié)論是關鍵.12、D【解析】試題分析：因為，所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點：三角函數(shù)的圖像變換．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】三視圖還原如下圖：，由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以，，填?！军c睛】三視圖還原，當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。14、【解析】

依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，，所以，因為所以；故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎題.15、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案16、【解析】

觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個，還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰?！驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個，全為陰線的一個，1陰2陽的3個，1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰?！鄰?個卦中任取2卦，共有種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有，所求概率為。故答案為：?！军c睛】本題考查古典概型，解題關鍵是確定基本事件的個數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù)，這樣才能正確地確定基本事件的個數(shù)。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，40元（2）6000元【解析】

（1）甲、乙兩人所付的健身費用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費用之和共有9種情況，分情況計算即可（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.【詳解】解：（1）由題設知可能取值為0，20，40，60，80，則；；；；.故的分布列為：020406080所以數(shù)學期望（元）（2）此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額預計為：（元）【點睛】考查離散型隨機變量的分布列及其期望的求法，中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標方程即可；（2）設，，由，即可求出，則計算可得；【詳解】解：（1）圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）可化為，∴，即圓的極坐標方程為.（2）設，由，解得.設，由，解得.∵，∴.【點睛】本題考查了利用極坐標方程求曲線的交點弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、（1）（?。┳C明見解析（ⅱ）（2）存在，【解析】

（1）（i）連接交于點，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面（ii）推導出，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（2）設，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（?。┳C明：連接交于點，連接，，因為為線段的中點，所以,因為，所以因為∥所以四邊形為平行四邊形．所以又因為，所以又因為平面，平面，所以平面．（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中因為，，所以以為原點建立空間直角坐標系則，，，所以，，，平面的法向量為設平面的法向量為，則，即，取，得，設平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設所以，，設平面的法向量為，則，取，得，因為直線與平面所成的角的正弦值為，所以解得所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線，線面，面面的位置關系等知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.20、（1）（2）當G點橫坐標為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【解析】

（1）先求解導數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點G的橫坐標為整數(shù)進行判斷.【詳解】（1）設，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；（2）設點G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，，整理得，所以，，解得，因為直線AB的斜率，所以，且，線段AB的中點為M，所以直線EM的方程為：，所以E點坐標為(0，)，直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離，所以，設，因為p是質(zhì)數(shù)，且為整數(shù)，所以或，當時，，是無理數(shù)，不符題意，當時，，因為當時，，即是無理數(shù)，所以不符題意，當時，是無理數(shù)，不符題意，綜上，當G點橫坐標為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，拋物線中的切線問題通常借助導數(shù)來求解，四邊形的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問題，表示出面積的表達式是求解的關鍵，側(cè)