高二數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)學(xué)案：3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（第2課時(shí)）

注：這一講例、習(xí)題個(gè)數(shù)減少一點(diǎn)，是根據(jù)實(shí)際情況定點(diǎn)3．3．2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（第3課時(shí)）30**學(xué)習(xí)目標(biāo)**1.能應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題特別注意求最優(yōu)解是整數(shù)解的問題2.培養(yǎng)觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力**要點(diǎn)精講**線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題：第一種類型是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣安排運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；第二種類型是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項(xiàng)任務(wù)的人力、物力資源量最小**范例分析**1．產(chǎn)品安排問題例1某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t，需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過360t、B種礦石不超過200t、煤不超過300t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少（精確到0.1t），能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大？2．物資調(diào)運(yùn)問題例2已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和300萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個(gè)車站運(yùn)往外地.東車站每年最多能運(yùn)280萬噸煤，西車站每年最多能運(yùn)360萬噸煤，甲煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最少?3．下料問題例3要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？規(guī)律總結(jié)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解（4）根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解**基礎(chǔ)訓(xùn)練**一、選擇題1．在不等式表示的區(qū)域內(nèi),滿足目標(biāo)函數(shù)取得最小值的整數(shù)點(diǎn)是()A.B.C.D.2．某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為45個(gè)、50個(gè)，所用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2、3m2，用A種金屬板可造甲產(chǎn)品3個(gè)，乙產(chǎn)品5個(gè)，用B種金屬板可造甲、乙產(chǎn)品各6個(gè)，則A、B兩種金屬板各取多少張時(shí)，能完成計(jì)劃并能使總用料面積最?。浚ˋ．A用3張，B用6張 B．A用4張，B用5張C．A用2張，B用6張 D．A用3張，B用5張3．某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤(rùn)，該公司正確提財(cái)投資后，在兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為（）A.36萬元B.31.2萬元C.30.4萬元D.24萬元二、填空題4．若都是非負(fù)整數(shù),則滿足的點(diǎn)共有________個(gè)；5．某實(shí)驗(yàn)室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場(chǎng)上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價(jià)格為140元；另一種是每袋24千克，價(jià)格為120元.在滿足需要的條件下，最少要花費(fèi)元.三、解答題6．某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級(jí)子棉2噸、二級(jí)子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級(jí)子棉1噸、二級(jí)子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤(rùn)是600元，每1噸乙種棉紗的利潤(rùn)是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計(jì)劃中要求消耗一級(jí)子棉不超過300噸、二級(jí)子棉不超過250噸.甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到噸)，能使利潤(rùn)總額最大?7．某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí)，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí)；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時(shí)和9小時(shí)，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤(rùn)2千元和3千元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤(rùn)最大？**能力提高**8．（08年山東理12）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，使函?shù)的圖象過區(qū)域的的取值范圍是（）A． B． C．D．9．A市、B市和C市分別有某種機(jī)器10臺(tái)、10臺(tái)和8臺(tái)．現(xiàn)在決定把這些機(jī)器支援給D市18臺(tái)，E市10臺(tái)．已知從A市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)到D市、E市的運(yùn)費(fèi)分別為200元和800元；從B市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)分別為300元和700元；從C市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)分別為400元和500元．設(shè)從A市調(diào)x臺(tái)到D市，B市調(diào)y臺(tái)到D市，當(dāng)28臺(tái)機(jī)器全部調(diào)運(yùn)完畢后，用x、y表示總運(yùn)費(fèi)W（元），并求W的最小值和最大值．3．3．2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（第3課時(shí)）30例1．分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表：產(chǎn)品消耗量資源甲產(chǎn)品（1t）乙產(chǎn)品(1t)資源限額（t）A種礦石（t）104300B種礦石(t)54200煤(t)49360利潤(rùn)（元）6001000解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤(rùn)總額為z元，那么目標(biāo)函數(shù)為：z=600x+1000y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.作直線:600x+1000y=0,即直線l:3x+5y=0,把直線向右上方平移至1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=600x+1000y取最大值.解方程組得M的坐標(biāo)為x=≈12.4,y=≈34.4.答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大例2．解：設(shè)甲煤礦向東車站運(yùn)萬噸煤，乙煤礦向東車站運(yùn)萬噸煤，那么總運(yùn)費(fèi)z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(萬元)即z=780－0.5x－0.8y.x、y應(yīng)滿足：作出上面的不等式組所表示的平面區(qū)域設(shè)直線x+y=280與y軸的交點(diǎn)為M，則M(0，280)把直線l：0.5x+0.8y=0向上平移至經(jīng)過平面區(qū)域上的點(diǎn)M時(shí)，z的值最小∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，280)，∴甲煤礦生產(chǎn)的煤全部運(yùn)往西車站、乙煤礦向東車站運(yùn)280萬噸向西車站運(yùn)20萬噸時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少例3．解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，根據(jù)題意可得：作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域：目標(biāo)函數(shù)為z=x+y，作出在一組平行直線x+y=t（t為參數(shù)）中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線x+3y=37和直線2x+y=15的交點(diǎn)A（），直線方程為x+y=由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x，y）中，x、y必須滿足x，y∈Z，所以，可行域內(nèi)點(diǎn)()不是最優(yōu)解經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解答：要截得所需規(guī)格的三種鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張，兩種方法都最少要截得兩種鋼板共12張**參考答案**1．D；2．A；提示：設(shè)A、B兩種金屬板各取張，則；3．B；提示：設(shè)投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各萬元，則；4．21;5．500；6．解：將已知數(shù)據(jù)列成下表：資源消耗量資源消耗量甲種棉紗（1噸）乙種棉紗（1噸）資源限額（噸）一級(jí)子棉（噸）21300二級(jí)子棉（噸）12250利潤(rùn)（元）600900設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤(rùn)總額為z元，那么z=600x+900y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖)，即可行域作直線l：600x+900y=0，即直線l：2x+3y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=600x+900y取最大值.解方程組,得M的坐標(biāo)為x=≈117，y=≈67答：應(yīng)生產(chǎn)甲種棉紗117噸，乙種棉紗67噸，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大7．解：設(shè)每天生產(chǎn)A型桌子x張，B型桌子y張則，目標(biāo)函數(shù)為：z=2x+3y作出可行域：把直線：2x+3y=0向右上方平移至的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=2x+3y取最大值解方程得M的坐標(biāo)為（2，3）.答：每天應(yīng)生產(chǎn)A型桌子2張，B型桌子3張才能獲得最大利潤(rùn)7．解：區(qū)域是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）顯然，只需研究過、兩種情形，且即9．解：由題意可得，A市、B市、C市調(diào)往D市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為x、y、（18-x-y），調(diào)往E市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為（10-x）、（10-y）、[8-（18-x-y）]．于是得W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(18-x-y)+500[8-（18-x-y）]=-500x-300y+17200設(shè)Ｗ＝17200－100T，其中Ｔ＝