(壓軸題)高中數(shù)學(xué)必修五第一章《數(shù)列》測試卷(答案解析)

Sa33,Sa33,5q一、選題1．某大樓共有12層有11人在第一層上了電梯，他們分別要去至12層每層1人，因特殊原因，電梯只能停在某一層，其余人要步行到所要去的樓層，假設(shè)初始的“不意”為，位乘客每向下步行一層“不滿意度”增量為，每向上步行1層的“不滿意度增為2，要使得10人不滿意”之和最小，電梯應(yīng)該停在第幾層（）A．B．C．D．2．在數(shù)列

n

，a

a

（N

*

），則a）10A．10B．C．D．3．已知數(shù)列

n

annn

，

a1

1，設(shè)數(shù)列項為

，則滿足14的大值為（）A．

B．4

C．

．

4．在等比數(shù)列

n

aaa，列3159n

列且

，9

等于（）A．

B．

C．16

．5．設(shè)首項為的列

項為，且an

ak,2akk

，若4042

，則正整數(shù)m的最小值為（）A．14B．C16D．6．已知等比數(shù)列

n

的前n項為

S

，則下列命題一定正確的是（）A．若

，a1

B．

，a1C．S，a．則a202127．已知數(shù)列項為，且滿足S，列為nnT

，若S

對*恒成立，則實數(shù)的值范圍是（）A．

B．

(

C．

9

．

8．在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問相逢時駑馬行幾里？（）A．540B．C855．9509．若

列其公比是q，且

a,a5

成等差數(shù)列，則等()A．1或2．或－2C．或2D．－或2

nn1491nn9nn1491nn910．知等比數(shù)列

n

4,a,213

2

成等差數(shù)列，則公比q）A．1

B．

C．D．11．差數(shù)列

n

項為

，已知

aa，a3432

，則

（）A．B．C．D．12．知數(shù)列，且an23a最小時，n的值有（）nnA．個

B．個

C．個

．個二、填題13．S是列nn

項，且

a

13

,Sn

*

，則SS13910

___________.14．知等差數(shù)列

n

，差是2，則數(shù)列

n

的前n項

的最小值是_______.15．?dāng)?shù)列

和為n

，若

n

，則

______.16．知等比數(shù)列

n

，a則5

的前項為_________．．等比數(shù){}的比為q，其前項積為T，并且滿足條件a，aa－1>0，

－－給下列結(jié)論：；a－1<0；③T的值是T中最大的；使>1成的最大然數(shù)n等98.其中所有正確結(jié)論的序號．18．知數(shù)列

n

n

和分別為S，T

，且

a，2Snn

，n

(2)(2n)n

，對任意的

nN*

，

kn

，恒成立，則的小值是__________．19．比數(shù)列

和S，若nn

，則______.620．們知道，斐波那契數(shù)是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)naa表示它的前n項，若已2n

，那么

a2022

．三、解題21．?dāng)?shù)列

n

a

2nN*a

，其中

a1

.

naSnaS（）明：

比列；（）

aba

，設(shè)數(shù)列

2021n

成立的最大自然數(shù)的.22．知數(shù)列

n

(2a

2n

n

，4231n2(aa2224（）；2n

．（）

，求數(shù)列

n23．?dāng)?shù)列

n

項和為S，知，2

n

n（）數(shù)列

n

式（）

nan

n

，記數(shù)列

項和n

，求證：

n

12

.24．知數(shù)列

n

a1

12

，

an

2

，n（）

nn

n

，求證：數(shù)列

；n1（）數(shù)列n和為S

，求證：

n

，n

.25．列

n

項之和為S，，pa1nn

(p為（）

p

時，求數(shù)列前n項之和（）時，求數(shù)列

，求.26．知

n

列，

n

為數(shù)的等比數(shù)列，

a1

，再從①

a10；4

；b45

這三個條件中選___________，___________兩個作為已知（）數(shù)列

；n（）數(shù)列

n

項.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要除

一選題1C解析：【分析】根據(jù)題意，假設(shè)電梯所停的樓層，表達(dá)“不意”之，利用等差數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)電梯所停的樓層是

n12)

，則

n2[1(12)]

((12)(13)232(2()15732開口向上，對稱軸為

，故S在n9時最小值

min

3

2

3142

．故選：C．【點睛】本題考查數(shù)列知識，考查函數(shù)思想的運用，考查計算能力，求“滿意度之是關(guān)鍵．2．B解析：【分析】根據(jù)等式關(guān)系得到數(shù)列【詳解】

n

為等差數(shù)列，求出公差得到其通項公式，最后代值求解即.a

n

2

n

n

（N

*

），

n

n

n

，即數(shù)列

n

列，aa13

，3

即

3，公d，則

a

（nN

*

），所以

a210

.故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是由題中所給關(guān)系得出其為等差數(shù)列，進而求出通項公式進行計算3．C解析：

n以nn3n以nn33n{}【分析】利用累加法可求得數(shù)列

n

式利用裂項求和法求得

，然后解不等式14【詳解】

即可得解因為

213

，所以

a2n1

，

n2

,

n

1

1122

12n

，由

n

2n

14

，化簡得3n

n20，得

43

，14*，所以，滿足

的的大值為

.故選：【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（）于等差比數(shù)列，利用公式法直接求和；（）于

nn

其n

列，

n

列利用錯位相減法和；（）于

n

利分組求和法；（）于

an

列其中

n

的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.4．C解析：【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得a，再由差數(shù)列性質(zhì)求解．【詳解】a

n

是等比數(shù)列，

a2915

，

a，以a，即a99

，

{bn

}

是等差數(shù)列，所以

b79

．故選：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是解

1202012020題關(guān)鍵，設(shè)

pl

是正整數(shù)，

p，{}n

是等差數(shù)列，則aa，若{}l5．C解析：【分析】

是等比數(shù)列，則

aa．時上述結(jié)也成立．mnpl根據(jù)已知遞推關(guān)系求出數(shù)列

{}n

的奇數(shù)項加成等比數(shù)列，偶數(shù)項加6成比數(shù)列，然求出S后，檢驗2n【詳解】

SS1416

可得．當(dāng)n為數(shù)時，

an

n

a

n

3)2a

n

，以aan

n

9)

，又

a，以a9,115

成等比數(shù)列，公比為2，

2n

10

n

，即

2n

n

，當(dāng)n為數(shù)時，

aa，以ann

，又a，以aa246

成等比數(shù)列，公比為2a

，即

a

n

n

，所以S

2n

10(1n))n11

n

n

，S14

7

2435，S2016

8

204980

，S24357151415

，所以滿足

4042

的正整數(shù)m的小值為．故選：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的和．解題關(guān)鍵是分類討論，確定數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別滿足的性質(zhì)，然后結(jié)合起來求得數(shù)列的偶數(shù)項的和，檢驗取2n具體數(shù)值的結(jié)論．6．B解析：【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項公分別討論

和S2021

即可得答案【詳解】當(dāng)，a，，，a當(dāng)時S分以下幾種情況，1當(dāng)

，此時aq2

；當(dāng)

q時a，時

，

20211na12nn1n111220211na12nn1n111246當(dāng)

時a，此時aa1

；當(dāng)時，此時aq

；故當(dāng)

時與可可負(fù)，故排除、.當(dāng)當(dāng)

q時，Sa，a，；2a時由于與1

同號，故

a1

，所以

a2

符號隨正變化，故D不正確B正；故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決時根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，分類討論公比的情形是解決問題的關(guān)鍵，分析出首項及公比的情況即可確定第二項的符,于中檔題7．D解析：【分析】由

2利用an

，得到數(shù)列

為項，為比等2比數(shù)列，進而得到

，n

為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項公式得到

，

，將

0

恒成立，轉(zhuǎn)化為

2

6

，從而得出答案【詳解】當(dāng)n，

，得1

；當(dāng)

時，由

，Sn

n

n

，兩式相減得

，所以數(shù)列

n

是以1為項，

12

為公比的等比數(shù)列．因為列，

，所以．，所，為公比的等比數(shù)a244n所以Sn124

，由S

，得322n

，2n

，所以

nnnnnnnnnnnn所以

62

，所以

．綜上，實數(shù)的值范圍是

(

．故選【點睛】方法點睛：數(shù)列與不等式知識相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明．在解決這些問題時，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題8．C解析：【分析】由已知條件轉(zhuǎn)化為兩個等差數(shù)列的前項為定值問題進而計算可得結(jié)果．【詳解】由題可知，良馬每日行程構(gòu)成一個首項為，差13的差數(shù)列

駑馬每日行程構(gòu)成一個首項為，公差為﹣的差數(shù)列

則a＝103+13（﹣）n，＝﹣（﹣）＝97.5﹣，則數(shù)列a}與列}的項和為，又?jǐn)?shù){a}的項和為

n×（n+90）×193+13n），2數(shù)列b}的n項和為

nn×（﹣0.5n＝×（﹣）2

nn×（）+（194.5﹣）2250，理得：25n+775n﹣＝，2+31n﹣0，解得：＝或＝﹣40（），即九日相逢，相逢時駑馬行了

9×（﹣）2故選：【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列及等差數(shù)列的前n項和，考查轉(zhuǎn)化思想，考分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．9．A解析：【解析】分析：由

a,a5

成等差數(shù)列可得

a5

，化簡可得

，解方程求得的.

n32151111n32151111S詳解：

,a

成等差數(shù)列，所以

a54

，q44

2

a

4

，q

2

，

，q

或2

，故選A.點睛：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式基本量運算，屬于簡單.比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量

a,q,n,1

，一般可以“知求”，通過列方程組所求問題可以迎刃解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng).10．解析：【分析】用等比數(shù)列的通項公式和等差中項公式求.【詳解】因為所以

4,,2成等差數(shù)列，1322aaa，31

2

4a11

，化簡得

q

2

0

，解得

q

或

.故選【點睛】本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合運.11．解析：【解析】設(shè)等差數(shù)列a}的差為dS=a+10a,a=34，3a+3d=11+dad=34，則a=2.本題選擇選項.12．解析：【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知

a100

0

，從而判斷數(shù)列

數(shù)，即可判斷n

n的前項最時，可的.【詳解】數(shù)列

列，

SSaaaa11992198a13199

2100，則

，1a100

0

，即

a100

0

，a1

，可以判斷數(shù)列

數(shù)，n99

0,a101

，bann

，

n

aa13

a23

ann2

，當(dāng)

n

項最時，n可取的值為，，，共4個.故選：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔.二、填題13．【分析】由代入化簡求得再結(jié)合求和方法計算可得結(jié)果【詳解】因為所以所以所以又所以數(shù)列是以為首項為公差的等差數(shù)列所以所以所以所以故答案為：【點晴】由代入化簡求得數(shù)列是等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵解析：

【分析】由

n

代入化簡求得，結(jié)合求和方法計算可得結(jié).【詳解】因為所以所以所以

aSSSSnSSnnn1n又

1a1所以數(shù)列3為項，為公差的等差數(shù)列，所以

S

所以

S

所以

SSn

1n2nn

2S2S所以

SS39

1111521

故答案為：【點晴】

由

n

代入化簡求得數(shù)列等差數(shù)列是解題的關(guān).14．【分析】本題先求等差數(shù)列n項和再由此求出數(shù)列的前n項和的最小值【詳解】解：∵等差數(shù)列的首項是公差是2∴時數(shù)列的前n項和的最小值是故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最小值的求法考查等差數(shù)解析：【分析】本題先求等差數(shù)列前項Snn

n2

2

，再由此求出數(shù)列

的前n項和

的最小值.【詳解】解：等數(shù)列

n

，公差是2，

Snn

n2

2

，

時，數(shù)列n

的前n項的小值是.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項的最小值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題15．【分析】分別計算出進而得出再由可得出的值【詳解】由題意可得故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列求和找出數(shù)列的規(guī)律是解答的關(guān)鍵考查計算能力屬于中等題解析：1008【分析】分別計算出

、a、a4k4k

、

4k

a

4k

4

4k

4

，再由20184

可得出

S

的值.【詳解】由題意可得

4k

，

121150199nn2121150199nn2123198501n

4k

k2

kk

，4k4k

k

k

，k

k

k

k

，2018504，S6504504201820183024

4

故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列求和，找出數(shù)列的規(guī)律是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等.16．【解析】因為已知等比數(shù)列中所以則故答案為【方法點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式屬于中檔題等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列的一類基本題型數(shù)列中的五個基本量一般可以知二求三通過列方程組所求問題可以迎刃解析：

【解析】因為已知等比數(shù)列

aa5

，

q

，則a1aa2,q2

21

，故答案為.【方法點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，屬于中檔.等數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量

a,q,n,1

，一般可以知求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng)用，在運算過程中，還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過17．①②③④【解析】由條件a1>1a49a50－－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①對；∵a1a99＝<1②對；因為所以T49的值是Tn最解析：②④【解析】由條件a>1aa－，a－1)(－可a>1，a<1，所以0<<1，對aa＝

250

<1，對因為>1a<1，以T的值是T中大的，對；T＝aa…a，aa＝a>1aa＝<1，所以使T>1成的最大自然數(shù)等于98.50故填②③④.18．【分析】首先利用與的關(guān)系式求數(shù)列的通項公式再利用裂項相消法求再利

n223nnn223nn用的最值求的最小值【詳解】當(dāng)時解得或當(dāng)兩式相減后可得整理后得：所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列即數(shù)列單調(diào)遞增當(dāng)時對任意的恒成立即的最小值是1解析：3【分析】首先利用與的系式，求數(shù)列n的最值求的小值【詳解】

n

式再利用裂項相消求T，利用Tnn當(dāng)n

時，

2S11

，解得

或a1

，

，n1

，當(dāng)，，式減后可得2a2nnnn整理后得：

n

an

n

，

數(shù)列

的等差數(shù)列，即n

a

，bn

2n1n

，1112

，數(shù)列

時，

Tn

對任意的

*，kn

，恒成立，n

max

，即

k

1,k最小值是.33故答案為：

13【點睛】易錯點睛：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，屬于難.決該問題應(yīng)該注意的事項：(1)數(shù)是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群立的點；(2)轉(zhuǎn)以函數(shù)為背景的條件時，應(yīng)該注意題的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；(3)利函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn).

S664664S66466419．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比從而列出關(guān)系式又接著用表示代入到關(guān)系式中可求出的值【詳解】因為等比數(shù)列的前項和為則成等比且所以又因為即所以整理得故答案為：【點睛】本題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的解析：

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到

S,n

2

,n

3

2n

成等比，從而列出關(guān)系式，又

，接著用S表，代入到關(guān)系式中，可求出63

96

的值.【詳解】因為等比數(shù)列

項和

，則

S,n2nn2

成等比，且

0n

，所以

S633

，又因為即

SS

，所以

1SS11SSS44

6

，整理得.故答案為：

.【點睛】本題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到

S,n2n3nn

成等比20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【詳解】由已知各式相加得即又所以故答案為：【點睛】本題考查了累加求和方法斐波那契數(shù)列的性質(zhì)考查了推理能力與計算能力屬于中檔題解析m【分析】由已知，

，

24

,

2020

2021

a

2022

，利用累加法即可得到答.【詳解】由已知，

，

24

,

2020

2021

a

2022

，各式相加得a3

，即

a，a，S202222020

，所以

a

.故答案為：

【點睛】本題考查了累求方法、斐那契數(shù)列的質(zhì)考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

n12n12三、解題21．1）明見解析；2最大自然數(shù)【分析】

n

.（）據(jù)題中件，可得

n

的表達(dá)式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；（）（）可得

1

1a

2

，則可得

2n

n

，根據(jù)錯位相減求和法，可求得S的表達(dá)式，根據(jù)的單調(diào)，代入數(shù)值，分析即可得答.【詳解】解：（）

a

2*a

，naaaannnnaaaaannnnn11a即n，11an

a項，比為的等比數(shù)列（）（）知，

1

1a

2

，a1即aann

，Sn

2

n

，2n

2

4

n

，①減②得nn.S2n.

4n1

n

a2a2n3na2a2n3n

n

n

n

2

，

.單遞增

11582021

，8

.故使

S

成立的最大自然數(shù)n.【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給形式，進行配湊和整理，根據(jù)等比數(shù)列定義，即可得證，求和常用的方法有：公法②倒序相加法③裂相消法④位相減法等，需熟練掌.22．）

2n

nn

q2；（）.5【分析】（）數(shù)列n項為

，利用

n2n

n

可求

2

.（）論

性后可求數(shù)列

n

的最小項，結(jié)合

2

可求數(shù)列

小項．【詳解】解：（）數(shù)列n項和為S，即

Sn

，

S

n

1((n2

．則

n2n

n

，故

2

n3

，當(dāng)

，

，也符合此式，

2n

n3n

．（）

222an3

．考慮奇數(shù)項a2

qn2n

，

2n

2n

nn2

n

n(2

2qnq2qnqn1)(2(21)(2

，

an2n5na23an2n5na23又

1

，

5

，得

112

，而

2q

，當(dāng)n時

2

2n

，當(dāng)n時，

a2n2

，即奇數(shù)項中a最．5而a5

qq，所以數(shù)列的小項為a55

．【點睛】思路點睛：數(shù)列的最大項最小項，一般根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性來處理，如果數(shù)列是分段數(shù)列，則可以分別討論各段上的最大項最小項，比較后可得原數(shù)列的最大項最小.23．1）

a

2

1

；（）明見解.【分析】（）用

n

消去S，到

n

列公式法求通項公；（）

a

2

代入

n

n

n

，用裂項相消法求出

，再證明

12

.【詳解】解：（）

ann

，

an2)nna

n

，即a2(nnnn

.又

aa，a2112a，a2a也足(n.1221n是以1為項2為比的等比數(shù)列，nn（）（）知

abaan

2n

12n

.Tn

2

11122

1

0

111n222

.【點睛】(1)證等差（比）數(shù)列的方法：定義法和等（比）中項法；(2)數(shù)求和的方法：公式法、分組求和法、序相加法、裂項相消法、錯位相減法．24．1）明見解析；2證明見解析.【分析】（）接利用義證明b

b

即得證；（）析得到，再利用等比數(shù)列求和得.nn

nnnnnnnnnnnnnn【詳解】解：（）

n

，aann2

，則

n

n

2n4aa4n24n2

，又

1

，所以數(shù)列

列；（）（）得，

n

n

n

，N

，n

n

n

，

，0

，13n時，當(dāng)

，112511

3

1n

111+2223

12n

11