(壓軸題)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章《定積分》測試卷

22一、選題1．設(shè)

a

xdxb,c

，則

bc

的大小關(guān)系為（）

A．b

B．

C．

．2已知函數(shù)

f

的圖像如圖所示，

f

的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．

f

f

C．

2f

3．定積分

[x

]

的值為（）A．

．

．

．

4

4．曲線

y

，

y

和直線

圍成的圖形面積是（）A．

B．

C．

．e

5．

1

(1

2

)

（）A．

B．

C．

．

6．已知二次函數(shù)

f

的圖像如圖所示，它與軸圍圖形的面積為（）A．

B．

43

C．

．27．由直線

yxy

，及ｘ軸所圍成平面圖形的面積為（）A．

1B．

0

221C．0

．

8．曲線A．

ysin與直線B．2

y

圍成的封閉圖形的面積是πC．

．

π9．若向區(qū)域

落在由直線yx與曲線y

x圍區(qū)域內(nèi)的概率為）A．

B．

C．

．

10．

1

1

（）0A．1

B．

C．

．

11．

4

（）A．

B．C．4

．

12．曲線

yx

，y

1x

，x

圍成的封閉圖形的面積為A．

2ln

B．

2ln

C．

+2ln

．

+2ln2二、填題13．線x＝、線y＝+1與線y＝圍的圖形的面積為____．14．曲線

ysin.x與線x

所圍成的平面圖形的面積______.15．算16．圖所示，則陰影部分面積是

.

00．若

的展開式中項系數(shù)為4，

a

x

dx

________________218．直線

，

x

3

，

與曲線

y

所圍成的圖形的面積等于________．19．項式(ax

)的展開式的第二項的系數(shù)為

,則

的值為_____．20．線三、解題

與直線

所圍成的封閉圖形的面積____________．21．知函數(shù)

f()x

（R）

Fx)

（bR

）（）論

fx)

的單調(diào)性；（）

a

，

()()()

，若xx

（

0xx）是(x1

的兩個零點，且12

，試問曲線

y(x)

在點

處的切線能否與軸行？請說明理由.22．知函數(shù)

f(

，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)

)(2)

.（）函數(shù)

(x)f(x)(x

的單調(diào)區(qū)間；（）函數(shù)

F(x)

f(xxmxx

的值域為R，實數(shù)m的值范.23．知函數(shù)

f(xln

，R。（）曲線

f(x

在點（，）的切線與直線

垂直，求a的值；（）a，試問曲線

f()

與直線

y2

是否有公共點？如果有，求出所有公共點；若沒有，請說明理由。24．圖，有一塊半圓形空，開發(fā)商計劃建一個矩形游泳池

ABCD

及其矩形附屬設(shè)施EFGH

，并將剩余空地進(jìn)行綠化，園林局要求綠化面積應(yīng)最大化．其中半圓的圓心為O

，半徑為

，矩形的一邊AB在徑上，點

C

、D、

、H在周上，、在CD，且BOG

，設(shè)

BOC

．（）游泳池其附屬設(shè)施的占地面積為

f

，求

f

的表達(dá)式；（）樣設(shè)計能符合園林局的要求？

xxxx25．有一個以、OB為徑的扇形池塘，在OAOB上別取點C、D，OA、OB分交AB于E、F且

BD

，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著DE、EO

、OF、FC將池塘分成如圖所示的養(yǎng)殖區(qū)已知

OA

，

，EOF

2

）（）區(qū)的總面積為

，求的；（）養(yǎng)殖區(qū)、的每平方千米的年收入分別是萬元、萬、萬，試問：當(dāng)

為多少時，年總收入最大？26．

的開式中任取一項，設(shè)所取項為有理項的概率為α，求

1

d0【參答案試卷處理標(biāo)記，不要除1D解析：【解析】根據(jù)微積分定理，

a

x233

，

b

，

x44

，所以，選擇D。2．A

解析：【解析】解：觀察所給的函數(shù)圖象可知：

f

f4

f'

，整理可得：

2f

.本題選擇選項.3．B解析：【解析】試題分析：由定積分的幾何意義有

4x

表示的是以(2,0)

為圓心，半徑為2的圓的

部分，而表的直線yx

，x2,x

軸所圍成的面積，故

[x

]

表示的圖形如下圖的陰影部分，面積為

.故選考點：定積分幾何意義方的化.4．D解析：【解析】試題分析：根據(jù)題意畫出區(qū)域，作圖如下，由

{

yxy

解得交點為0，），∴所求面積為：

1111214322同，分面積即1111214322同，分面積即S

x

x

考點：定積分及其應(yīng)用5．D解析：【解析】因

2]dx

2dxx2

，故設(shè)

x

]2

，則1212，應(yīng)選答案D。

sin

2

2

1d(22426．B解析：【解析】設(shè)

f

f

的圖象上，則a

，由定積分幾何意義，圍成圖形的面積為S

，故選7．C解析：【解析】如圖，由直線，，x軸成平面形是紅色的部分，它和圖中藍(lán)色部分的面積1

1相∵藍(lán)色部

.0

0本題選擇C選項.

x(1,0)x(1,0)8．D解析：【解析】曲線

ysinx

與直線

y

51的兩個交點坐標(biāo)分別(,,),6則封閉圖形的面積為

5π6π

11sindxcosxx|2

5π6π6

π36本題選擇選項.點睛：用積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)此外，如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加．(2)根定積分的幾何意義可利用面積求定積．(3)若y＝(x)為函數(shù)，則

＝9．B解析：【解析】區(qū)域

y積為，據(jù)定積分定理可得直線x

與曲線y

圍成區(qū)域的面積為

dx

3x22326

，根據(jù)幾何概型概率公式可得該點落在由直線與線y10．解析：【分析】

x

1圍成區(qū)域內(nèi)的概率為，選．6令1x2

,(，表以為圓心，以1為半徑的圓的上半圓，再利用定積分的幾何意義求解即.

1111【詳解】令1x

,，所以

(x22

，

(

，它表示以

(1,0)

為圓心，以1為徑的圓的上半圓，如圖所示，0

1

表示由

xxy

1和半圓圍成的曲邊梯形的面積，即個的面4積由題得

14

個圓的面積為

144

.由定積分的幾何意義得

0

1

.故選：【點睛】本題主要考查定積分的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水.11．解析：【分析】設(shè)y

2

，變換得到

42dx

的幾何意義為圖中陰影面積，計算面積得到答.【詳解】設(shè)y

2，則

x

2

2

，其中

，

0

.

4

dx

的幾何意義為圖中陰影面積，設(shè)

BOC，易知

6

，則S故選：

1113OA22

.

S2112111S2112111【點睛】本題考查了定積分的幾何意義，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能.12．解析：【解析】【分析】聯(lián)立方程組，確定被積區(qū)間和被積函數(shù)，得出曲邊形的面積(4x)即可求2解，得到答案．【詳解】1由題意，聯(lián)立方程組1，得x，2所以曲線

y4x

，y

1x

，x2

圍成的封閉圖形的面積為

(4dxxx|2x22

2

ln2))2ln]22

，故選．【點睛】本題主要考查了利用定積分求解曲邊形的面積，其中解答中根據(jù)題意求解交點的坐標(biāo)，確定被積分區(qū)間和被積函數(shù)，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填題13．【分析】如圖所示：計算交點為計算積分得到面積【詳解】依題意令e+1＝ex+1得x＝1所以直線x＝0y＝與曲線y＝ex+1圍成的區(qū)域的面積為S故答案為：1【點睛】本題考查了利用積分求面積意在考

4444解析：【分析】如圖所示：計算交點為

計算積分

得到面積.【詳解】依題意，令e＝x，得＝所以直線x＝，y+1與曲線y＝x圍成的區(qū)域的面積為S

x

故答案為：【點睛】本題考查了利用積分求面積，意在考查學(xué)生的計算能.14．【分析】三角函數(shù)的對稱性可得求定積分可得【詳解】由三角函數(shù)的對稱性和題意可得S=2=2（sinx+cosx）+﹣0+1）﹣2故答案為2﹣2【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱性和定積解析：2【分析】三角函數(shù)的對稱性可得S=2【詳解】

0

sinx求定積分可得．由三角函數(shù)的對稱性和題意可得S=2

0

sinx=2（|4=2（0故答案為2﹣

2+）2（）=22﹣2

【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱性和定積分求面積，屬基礎(chǔ)題．15．【解析】【分析】利用微積分基本定理直接計算即可【詳解】即答案為【點睛】本題考查了定積分的運算屬于基礎(chǔ)題解析：

【解析】【分析】利用微積分基本定理直接計算即.【詳解】

即答案為.【點睛】本題考查了定積分的運算，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】試題分析：由題意得直線與拋物線解得交點分別為和拋物線與軸負(fù)半軸交點設(shè)陰影部分的面積為則考點：定積分在求面積中的應(yīng)用【方法點晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應(yīng)用其中解答中根據(jù)直線方解析：

【解析】試題分析：由題意得，直線

與拋物線

y

，解得交點分別為

(

和(1,2)

，拋物線

y

與x軸半軸交點(3,0)

，設(shè)陰影部分的面積為

，則S

(3

)dx

(3

)

2xdx

)33

．考點：定積分在求面積中的應(yīng)用．【方法點晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)直線方程與曲線方程的交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)是解答此類問題的關(guān)鍵，同時解答中注意圖形的分割，在軸方的部分積分為負(fù)（積分的幾何意義強(qiáng)調(diào)代數(shù)和），著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．

17．【解析】由題意得項的系數(shù)為所以點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項可依據(jù)條件寫出第項再由特定項的特點求出值即可(2)已知展開式的某項求特定項的系數(shù)可由某項得出參數(shù)項解析【解析】由題意得x項的系數(shù)為

a

，所以52e2

1x

525elnxe222點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求開式中的特定.可據(jù)條件寫出第r

項，再由特定項的特點求出r

值即可已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)可某項得出參數(shù)項，再通項寫出第r項由特定項得出r

值，最后求出其參數(shù)．【解析】試題分析：由定積分的幾何意義可知所求面積為考點：定積分的幾何意義解析3【解析】試題分析：由定積分的幾何意義可知所求面積為2

3

22sinxdxx0

．0考點：定積分的幾何意義．19．或【解析】試題分析：展開后第二項系數(shù)為時時考點1定積分；二項式定理解析：3或【解析】

試題分析：展開后第二項系數(shù)為

32aa時2

x31

，a

時

7x|考點：．積2二項式定理20．【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面積即可求得結(jié)論【詳解】曲線y=sinx與直線x=0x=π4y=0所圍成的封閉圖形的面積為0π4sinxdx=-cosx|0故答案

2x22x22解析：【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面即求得結(jié).【詳解】曲線

與直線

所圍成的封閉圖形的面積為，故答案為.【點睛】本題主要考查利用定積分求面積，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ).三、解題21．1）時，

f

，

f(x)

在

單調(diào)遞增，所以時，f(調(diào)減區(qū)間是

增區(qū)間是

a2

,

）f()

在x

處的切線不能平行于軸?！窘馕觥吭囶}分析：1）對函數(shù)求導(dǎo)，再依據(jù)到函數(shù)值與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系分類探求單調(diào)區(qū)間；（）假曲線

g處的切線能否與x軸行，然后依據(jù)假設(shè)建立方程組，最后再構(gòu)造函數(shù)

2t

導(dǎo)數(shù)的知識斷定假設(shè)不成。解：（）f

ax2x(1)當(dāng)

a

時，

f

單調(diào)遞增，（）

a

時，f

有x

,f

-0+

22200x022200x0f

↘

極小值f

↗aa所以時fx的增,(假設(shè)

切能平行于x軸

xx

,由假設(shè)及題意得：gx.................11................222x2..............................④x0由-得，222122ln1`即x.................⑤1

由得x令，x2

x2lnxx1xx012

x2x2xx.則式可化為

ln

2t

，設(shè)函數(shù)

tt

，則4t

,所以函數(shù)

2t

在于是，當(dāng)

時，有

，即

ln

tt

與矛.所以

f切線不能平行于軸

..點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，精心設(shè)置了兩個問題，旨在考查導(dǎo)數(shù)知識在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運用。求解第一問時，先函數(shù)的解析式進(jìn)行求導(dǎo)，再對參數(shù)進(jìn)行分類討論研究導(dǎo)函數(shù)的值的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求解第二問時，先假設(shè)存在x處的切線平行于x軸然后在假設(shè)的前提下進(jìn)行分析推證，從而得出與已知和假設(shè)矛盾的結(jié)論，使得問題獲解。22．單增區(qū)間為

(ln

，單調(diào)減區(qū)間為

(2)

]

.【解析】試題分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

,解于導(dǎo)函數(shù)的不等,求函的單調(diào)區(qū)間即可(2)函的導(dǎo)通過討論m的圍得到函數(shù)的值從確m的體范圍即可試題（）

h

x

.由

h

得

ln2

，由

h

得

.所以函數(shù)

的單調(diào)增區(qū)間為

，單調(diào)減區(qū)間為

.（）

f

.當(dāng)時，

f

當(dāng)時

f

1°當(dāng)

時，

f

x

上單調(diào)遞減，值域為

，

上單調(diào)遞減，值域為

，因為

的值域為，所以

e

，即

m.（）由（）知

時，

h

，故（）成立因為

，且

，所以當(dāng)

m

時，

恒成立，因此

m

.2°當(dāng)m時，

f所以函數(shù)

f

x

在

.

在（m，）單調(diào)遞減，值域為

因為

的值域為，所以

m

，即

m

.綜合1°，可，實數(shù)的值范圍是

10,e

.23．1）a；2）共點為（，）【解析】

，，試題分析：1）據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到

f'

，即；）構(gòu)造函數(shù)x

，研究這個函數(shù)的單調(diào)性，它和軸的交點個數(shù)即可得到

在（，）（1,負(fù)g

，故只有一個公共點。（）數(shù)

f

的定義域為

x2又曲線

y

在點（，

f

）處的切線與直線

x

垂直，所以

f

，即

a（）

時，

f

x

，

x令

x

g

1122當(dāng)

x

時，

g

，

g

在（

1,

）單調(diào)遞減；當(dāng)

0

時，

g

在（，單調(diào)遞增。又

（1,負(fù)因此，曲線

f

僅有一個公共點，公共點為1-1）24．1）

2

(2sin

)23

1338【解析】試題分析：1）據(jù)直角三角形求兩個矩形的長與寬，再根據(jù)矩形面積公式可得函數(shù)解析式，最后根據(jù)實際意義確定定義域）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，求導(dǎo)解得零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得函數(shù)最值試題（）題意，

cos

，

sin

，且

為等邊三角形，所以，HG，EH

sin，f

EFGHcos

R

．（）符合園局的要求，只要

f

最小，

由（），

f

(2cos2

令

f'

，即

2=0解得

33

或cos

=

（舍去），令=

，當(dāng)0當(dāng)

f'f'

是單調(diào)減函數(shù)，是單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)

時0

取得最小值答：當(dāng)足

33

時，符合園林局要求25．1）

3

（）

6【解析】試題分析：1）問考查解三角函數(shù)的實際應(yīng)用，由及BDAC可知OD

，根據(jù)條件易證

RtODERtOCF，所以COF